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汉密尔顿将像 P = w +i x +j y +k z 这样的四元数分成两个部分。他把独立存在的实数称为“标量”，用 w 表示，而把虚数部分i x +j y +k z 命名为“矢量”。“矢量”这个词来自拉丁语中的“搭载者”，而天文学中的“径矢量”是指将一个点“搭载”到另一个点的可移动视线，比如从人的眼睛到一颗恒星或行星。但是，正如汉密尔顿后来在他的《四元数讲义》中指出的那样，“径矢量”是一个标量，只表示大小，而他的“矢量”既有大小又有方向。
汉密尔顿的虚数矢量i x +j y +k z 看起来很像你见过的矢量 x i + y j + z k ，但后一个矢量中的 i 、 j 、 k 不再是基本的虚数，而是真实的“单位矢量”，其大小或长度为“一个单位”（即恰好等于1）。你从中可以看到今天矢量的冰山一角，但在本书中，我们还需要再走一段路才能看到这一切是如何发生的。
四元数符号 P 包含四部分信息，标量 w 和矢量的三个分量 x 、 y 、 z 。所以，你可以认为 P 代表“一种复杂的想法”，这正是汉密尔顿在1841年写给德摩根的信中忧心的一点。
如果用黑体字区分汉密尔顿的矢量和标量，则我们可以将四元数 P 及其虚数“基”i、j、k写成：
P = w + p , 其中 p =i x +j y +k z
（汉密尔顿有时将虚数放在实数分量之后，就像我们对矢量所做的那样，所以虚数和实数在i x 、j y 、 k z中的先后顺序并不重要。如果你愿意，也可以将其写作 x i、 y j、 z k。）本质上，“一组基”是指一组沿各条轴的独立单位量。我们可以说这些基生成了计算发生的矢量空间，但这些概念当时还未得到恰当的表述。关键问题是，无论你用单位虚数基(i, j, k)，还是用单位矢量基( i , j , k )，并标明 p = x i + y j + z k , 都可以正确地表达矢量 p =i x +j y +k z 的信息。这是因为，重要的是在各种情况下分量都有相同的数值( x , y , z )，因为无论在哪种情况下，你使用的都是笛卡儿坐标系。而且，当你用矢量进行计算时，你需要的就是分量。
换言之，你可以将矢量视为存储数据的装置，数据体现在分量的值中，而基是装置的硬件。不同的装置有不同的设计，而这里的情况是：实数基为 i 、 j 、 k ，虚数基为i、j、k，它们都存储着同样的信息。这是一种事后回顾，实际上，从汉密尔顿的矢量到现代矢量的发展出人意料地充满争议。这是第8章的故事，我在此提及是为了照顾熟悉现代矢量的读者。
如果你确实熟悉矢量，则汉密尔顿的四元数在你看来可能很奇怪，就像把苹果和橘子加在了一起。因为在大学教授的矢量分析中，我们不会将矢量加到标量上。但在这个故事中，我们只需将矢量视为四维复数的虚数部分，就像汉密尔顿所做的那样，遵循他在布鲁姆桥上刻下的虚数规则的代数表达式。
谨记这一点后，我们现在取第二个四元数，
Q = a +i b +j c +k d (或者 a + b i+ c j+ d k)= a + q
汉密尔顿发现，当你逐个分量地展开 P 与 Q 的乘积，并把由此得到的所有项按标量或矢量分组，你就会得到两种新的乘法，这里用现代的点和叉表示：
PQ = wa− p ∙ q + w q + a p + p × q
考虑到该式实际上包含了22次乘法和11次加减法，这算得上是一个非常简洁的表达式了，而这种引人注目的简洁性就是四元数和整体矢量（由特殊符号表示，比如上文中的黑体字，而不是列出它们的分量）的厉害之处。除了负号之外，就计算而言，汉密尔顿的标量积和矢量积分别为 p · q 和 p × q ，与现代的乘积相同。所以，为了看清四元数（和整体矢量）乘法的简洁性，我在书末注释中给出了这些乘积的现代分量形式，但你可能已经在数学课上学过了。 [14] 你可能不知道，今天常用于矢量的黑体字本是出于英国人奥利弗·赫维赛德的个人偏好，我们稍后将正式介绍他。此外，美国物理学家乔赛亚·威拉德·吉布斯为我们提供了标量积（现在也被称为点乘）的点符号和矢量积（也被称为叉乘）的叉符号。
汉密尔顿并没有将这两种新的乘积指定为矢量的乘积，而是称它们为四元数乘积的“标量部分”和“矢量部分”。对于他的两个四元数 P 和 Q ，汉密尔顿令标量 w 和 a 为零，并像我们今天一样展开矢量分量的乘积，只不过他没有使用黑体字母、点或叉，而是用 S.PQ 表示“标量部分”（我们的标量积），用 V.PQ 表示“矢量部分”（我们的矢量积）。标量积是交换的，而矢量积不是，这一点在“右手定则”中有所体现（见图4–2）。这个规则的意思是，当你让右手的四指与拇指垂直，从矢量 p 的方向朝着矢量 q 的方向弯曲四指时，你的拇指所指方向就是矢量积 p × q 的方向。但如果你颠倒乘数的前后顺序，你的拇指将指向相反的方向。这意味着 p × q =– q × p 。由于矢量积不满足交换律，因此四元数乘积 PQ 也不满足交换律。
图4–2叉乘的右手定则。如果你将右手四指与拇指垂直，从 p 的箭头方向朝着 q 的箭头方向弯曲，即本例中的逆时针方向，则你的拇指所指方向就是 p × q 的方向：指向上方，即 z 的正向。要找到 q × p 的方向，你需要翻转右手，以顺时针方向弯曲四指，这时你的拇指将指向下方，z的负向。这时， p 和 q 位于 x-y （水平）平面内。但无论在哪个平面内，它们的矢量积都与该平面垂直
正如你在图4–2中看到的那样，矢量积或叉乘的关键之处在于，它们让两个矢量相乘得到另一个矢量；而标量积或点乘让两个矢量相乘得到一个标量。
这种非交换的矢量乘法是抽象代数界的一个极为重要的事件。正如汉密尔顿说的那样，这是一个“奇特甚至狂野”的启示。因为在4000年的数学历史记录中，人们第一次发现了一个自洽的代数系统，其中 XY 不等于 YX 。这意味着一个新的代数世界正等待人们去探索，谁也不知道其中会有多少潜在的应用。因此，汉密尔顿经常被称为“代数的解放者”。