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如果不考虑德摩根在抽象代数基础方面的开创性工作，那么他显然是一个有趣的人。他活泼开朗，思想开放，甚至没有信仰宗教。即使在学校里，他也更喜欢坐在长凳上解方程，而不是聆听教授讲课。他自诩“独立的”基督徒，追求宗教信仰与知识上的自由，他虽然在牛顿的三一学院学习，但拒绝向英国国教宣誓（获得剑桥和牛津大学研究员资格必需）。牛顿也曾拒绝宣誓，但并不是因为他支持宗教信仰自由，而是因为他是神秘的阿里乌教信徒，不信仰基督教。但他实在太聪明了，国王给了他特别豁免权，让他最终获得了剑桥大学的研究员资格。德摩根很快便发表了有关牛顿思想的精辟论文。他非常钦佩牛顿的才华和道德操守。但他也仗义执言，不避讳谈论这位伟大数学家的缺点，特别是牛顿与莱布尼茨的微积分发明优先权的争议。这是很少有人敢做的事，因为牛顿的思想似乎充满了神性，被人供奉在神坛上长达200年之久。 [5]
像汉密尔顿一样，德摩根未满22岁就当上了教授，而且是英国第一所非宗教大学的教授，即新成立的伦敦大学，该校不久后更名为伦敦大学学院。他们俩的年龄相差不到一岁。德摩根婴儿时期有一只眼睛失明，他在学校因视力残疾而受到欺凌，但像欧拉一样，他并没有因此萎靡不振，而是最终变成了一流的数学家。
德摩根的幸运之处在于，他的妻子索菲亚·弗伦德也受过良好教育，是一位社会活动家、辩论家和心灵修行者，与他志同道合。他们俩都对追求自由满怀热情，这让他们决定登记结婚，以此宣布他们自由的宗教信仰。相比之下，汉密尔顿具有令人“敬畏的本性”，他是一个坚定的英国国教徒，他的妻子海伦据说更加虔诚。 [6]
汉密尔顿也是一个情感丰富的人，没有海伦在身边他就无法轻松自如地工作。自汉密尔顿被任命为爱尔兰皇家天文学家以来，他们一直住在都柏林郊外5英里处的邓辛克天文台。但有时，特别是海伦怀孕或哺乳时，她会因为住在那样一个黑暗、偏远的地方而感到焦虑。这时她会离开家，住到附近的亲戚那里，而汉密尔顿也经常陪她一起。1841年，大约在他们的女儿海伦·伊丽莎出生一年后，海伦离开了她的丈夫和孩子，前往英国的姐姐家。她在那里住了大约一年，其间关于这段失败的婚姻和汉密尔顿为此酗酒的谣言四处流传。雪上加霜的是，他年轻时曾因严格的婚恋习俗造成的误解而无缘与他的初恋凯瑟琳·迪斯尼结合，对此，简·奥斯汀在几十年前的小说中曾有入木三分的描写。禁酒运动在19世纪三四十年代开展得如火如荼，对社交饮酒的进一步限制导致这种情况进一步恶化。这些故事每过10年就会愈演愈烈，让汉密尔顿的一生都声誉蒙污，且持续至今。 [7]
最近的学术研究表明，汉密尔顿的婚姻远比谣言所传美满得多，但德摩根的家庭生活似乎格外幸福。索菲亚的父母是诗人拜伦的妻子拜伦夫人的朋友，1840—1842年，当汉密尔顿夫妇忙于应付海伦的焦虑和疾病时，德摩根则在辅导拜伦夫妇杰出的女儿艾达·洛夫莱斯。（她的第一位数学导师是玛丽·萨默维尔，但萨默维尔后来迁居意大利，去享受那里更宜人的气候。）一年后，洛夫莱斯撰写了她对查尔斯·巴贝奇所设计的先进计算机器的数学发展，其中的内容被认为是世界上第一个计算机程序。该文于汉密尔顿发现四元数的当月发表，事实证明，这是一个颇具预测性的巧合，因为正如我们即将看到的那样，计算机编程揭示了四元数在计算方面的简明扼要的特点。 [8]
与此同时，汉密尔顿仍在苦苦寻觅四元数。当德摩根声称不可能建立三维复代数时，汉密尔顿将其视为一次重大的挑战。如同2000年前欧几里得为几何学所做的那样，他和德摩根都在寻找使代数有意义的方法，都想赋予它逻辑基础。正是这种欧几里得式的严谨作风，让牛顿通过几何而不是更紧凑但方法上仍不稳定的代数微积分来证明《原理》中的定理。对于更基础的代数问题，由于缺乏对负数和虚数的具体解释，早期数学家对它们十分排斥。但德摩根在这种情况下颇具讽刺意味地指出：“要让心灵获得慰藉，没有什么比拒绝一切可能带来麻烦的东西更为有效。” [9]
汉密尔顿绝不是一个安于现状的人，他总是奋力求索，时而试试这个，时而试试那个，从未放弃这样的想法：如果你能用实数( x , y )建立普通二维复数的代数，你就能将其扩展到( x , y , z )。你甚至可以像他在1841年告诉德摩根的那样，将其扩展到任何维数，比如 a =( a 1 , a 2 ,… , a n )，其中 a 1 , a 2 ,…, a n 是实数。他颇具先见之明地说，符号 a 是“一种（复杂）思想的象征”。他继续用他的时间数学哲学来阐述这一点，并向德摩根提出， n 可以取任意值，它代表事件的时序，因此存在“因果关系”。尽管汉密尔顿最终会摆脱对时间的迷恋，但在这里他看到了一些重要的东西：一个符号可以编码许多信息，或者“一种复杂的思想”。正如我曾提到的那样，这部分展示了矢量和张量的力量，也有助于解释四元数为什么可以节省算力。 [10]
汉密尔顿没有停下求索的脚步，他的书房里布满了纸张，桌子上、地板上全都是。他经常废寝忘食，靠在房间里吃些点心充饥。突然有一天，他的坚持得到了回报，一个惊人的想法倏然浮现在他的脑海中。正如他向约翰·格雷夫斯解释的那样：“我突然想到，我们必须在某种意义上承认空间存在第四维。”他的意思是，如果他引入第三个虚数 k ，那就意味着存在一个新的四维复数 a +i b +j c +k d 。如果他将k定义为ij，则三元数的模数定律终会起作用。这个奇妙的洞见击中了他，就像“电路闭合，火花闪耀”，与1843年的那个秋日他和海伦走过都柏林的布鲁姆桥时的情形一样。 [11]
说到他对新四维数字的命名，“四元数”这个词听上去确实不错，而汉密尔顿刚好对韵文有敏锐的听觉。正如德摩根后来回忆的那样：“汉密尔顿本人说，‘我靠数学谋生，但我是一位诗人’。这样的格言可能会让我们的读者感到惊讶，但他们应该记住，数学发明的驱动力不是推理，而是想象力。”然而，汉密尔顿的朋友华兹华斯认为，汉密尔顿的想象力更适用于数学而不是诗歌。汉密尔顿极富创造力，创立了矢量分析，用量子先驱埃尔温·薛定谔的话来说，他还是量子力学核心数学的奠基人。 [12]
在获得电光石火般的灵感后，汉密尔顿非常兴奋，并立刻在石桥上刻下了一行简单的公式：
i 2 =j 2 =k 2 =ijk=–1
这个公式涵盖了他所说的“几何计算”所需的一切，包括计算三维空间内的旋转。因为这一行简单的等式简洁地写出了三个虚数之间必要的代数关系：
ij=k= − ji, jk=i= − kj, ki=j= − ik
（如果你用代数方法处理这行涂鸦，就可以看到它是如何推导出来的。比如，k 2 =ijk⇔k=ij。） [13] 根据这些定义，如果你有耐心进行以下这类四维乘法运算：
你就会看到，四元数不仅满足模定律，而且满足所有普通实数与复数的法则（除了交换律）。换言之，
最后这个结论极具启发性，你甚至可以在进行烦琐的乘法运算之前猜到它，因为i乘j等虚数乘法不满足交换律。汉密尔顿并非心甘情愿地采取这一步骤，因为他多年来竭尽全力想让三元数和四元数适用常规的算术法则。他十分勇敢地迈出了这一步，并意识到自己发现了一种全新的代数，他在这一点上值得称赞。