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汉密尔顿多年来一直在考虑三元数的代数，到了1843年秋天，就连他的孩子们也都在关注这个传奇故事。尽管他们年纪尚小，但汉密尔顿仍试图向8岁的阿奇博尔德和9岁的威廉·埃德温解释基本概念。他们每天吃早餐时都会问：“爸爸，你能做三元组乘法了吗？”而每次汉密尔顿都会伤心地摇头说：“不能，我只能做加法和减法。” [1]
在一些信件中，汉密尔顿令人感动地提到了他向孩子们解释代数的情形，而对于三元数，答案最初如同小菜一碟，至少对像汉密尔顿这样的天才来说如此。毕竟，通过复数数对，乘以实数( x , y )等价于在二维平面上旋转有向线段 OP = x +i y ，如图3–6、图3–7、图3–8所示。所以，在三维空间内肯定会有“三元数”( x , y , z )，你只需要旋转 OP = x +i y +j z 即可。当然，你必须创造出另一个像i一样的虚数j，但这看起来十分直接：将阿甘平面扩展到三维空间，让j处在第三条轴的方向上，因其方向与i不同，就会产生一个新的虚数。如果你按照i的定义来定义j，将其视作 x - z 平面上的旋转，你就会得到j 2 =–1。（事实上，工程师们今天用j表示–1，因为他们用 i 表示电流。）但之后，这个新虚数j和原来的虚数i在代数上又有何区别呢？
汉密尔顿做的第一件事是检验代数法则，德摩根和皮科克已经将其形式化。很明显，如果你将 x +i y +j z 和 a +i b +j c 相加，两个数的先后次序并不重要，而且你可以肯定的是，结合律对于这样的数也成立。 [2]
图4–1威廉·罗文·汉密尔顿爵士和他的儿子（大约1845年，图片经爱尔兰皇家科学院© RIA许可）。在那时，照相需要长时间的曝光，这可能解释了为什么照片上的汉密尔顿从来不笑。但据记载，他为人十分幽默
然后是现代数学家所说的代数“封闭性”。如果两个整数相加，你得到的仍然是整数；如果两个实数相加，你得到的仍然是实数；如果两个复数相加，你得到的仍然是复数。显然，如果两个三元数相加，则封闭性依然成立。这些规则既优雅又简单，唯一棘手的就是乘法。
通过展开（ x +i y ）（ a +i b ），汉密尔顿找到了乘法规则。但是，如果你在（ x +i y +j z ）和（ a +i b +j c ）相乘时逐项展开，你就会发现不仅需要令i 2 =j 2 =–1，还需要弄清楚ij和ji的含义。从表面上看，这些额外的项表明三元数的乘法不封闭。对纯数学家来说，这意味着针对三元数无法形成统一适用的乘性代数。（如果你永远不知道得到的乘积是什么类型的数，你就无法制定代数规则，使其适用于初始集合中每个可能的数。而如果没有规则，你就无法解方程。）
汉密尔顿从假设ij=0开始，以典型的数学研究风格尝试简化问题。这样做肯定会使乘法封闭，却有些牵强，因为在普通算术和代数中，两个非零量相乘不可能为零。（如果两个非零矩阵中的一个或两个的行列式为零，则它们的乘积可以为零，比如，当矩阵方程 AX =0时。但矩阵代数是在四元数之后才出现的。）还有其他法则需要检验。汉密尔顿特别担心“模定律”，我将在书末注释中对此加以解释。 [3] 然而，为了让它对于三元数可行，汉密尔顿发现ij不能为0。约翰·格雷夫斯是汉密尔顿的大学校友，他也在考虑扩展复平面，他的兄弟罗伯特后来写了一部关于汉密尔顿的传记。汉密尔顿告诉格雷夫斯，他绝望地尝试过让ij=–ji，尽管这就像ij=0一样违反普通算术。他甚至还尝试过令ij=j和ji=i。所有这些奇怪的做法确实在某些方面简化了乘法，但仍然不能满足模定律。 [4]
汉密尔顿肯定非常想就此放弃。也许，就像他的朋友德摩根说的那样，这是不可能做到的。