横空出世的神童

1805年8月3日午夜，8月4日零点的钟声即将敲响，威廉·罗文·汉密尔顿在都柏林出生了。他的父亲阿奇博尔德是一名律师，母亲萨拉天赋异禀。威廉是这对夫妇5个存活下来的孩子中唯一的男孩，他的天赋出众，父母把他托付给了受过大学教育的叔叔詹姆斯·汉密尔顿，詹姆斯是一位英国国教牧师、古典学者、语言学家兼教区学校校长。从3岁起，威廉大部分时间都和他叔叔生活在一起，叔叔早早就培养了他的语言能力，据说他13岁时便已精通希腊语、拉丁语、希伯来语、法语、德语和意大利语，并在学习梵文、波斯语和阿拉伯语。

威廉的计算能力同样非凡，但詹姆斯在这方面可能不太擅长，虽然他尽力为侄子寻找合适的教科书。就这样，年少的威廉凭借他的法语能力，阅读了一本法语教科书来自学微积分，因此他学习的是莱布尼茨微积分，而不是牛顿微积分。16岁时，他开始阅读皮埃尔–西蒙·拉普拉斯的《天体力学论》。这本书对牛顿的《原理》进行了重大革新，概述了数学天文学百年来取得的所有进步。拉普拉斯是一位伟大的数学家，但少年汉密尔顿在他的推理中发现了一个错误，恰好与合成的平行四边形法则有关。显然，他已经踏上了开创矢量之路。

那是在1821年，与此同时，一位自学成才的苏格兰女性也在私下里研读《天体力学论》。10年后，她出版的教科书《天空的机制》震惊了英国数学界。她就是玛丽·萨默维尔，我们前面提及的那位直到90多岁仍在研究汉密尔顿四元数的女数学家。她的著作是对拉普拉斯五卷本前两卷的扩展与解释，英文版本共610页，还附有70页向非专业人士概述基本内容的“预备论文”。玛丽亚·埃奇沃斯读了概述部分，欲罢不能：她发现她的朋友萨默维尔的作品简洁明了，是一本“崇高的科学”著作。而在学术界，乔治·皮科克是对这本书印象最深刻的剑桥数学家之一。此书受到了如此之高的评价，于是他们决定采用该书作为剑桥天文学专业高年级学生的教科书。（的确，书中使用了莱布尼茨微积分，这有助于进一步推动皮科克的课程改革。而且这本书如此优秀，在下个世纪仍然是一本标准教材。）萨默维尔对评论家的如下言辞感到格外兴奋，他们说：一位自学成才的女性写下了一本少有男性能理解的书，这是何等辉煌的成就。但她也非常愤懑，因为女性被剥夺了接受良好教育的机会。19世纪60年代末，萨默维尔是第一位签署约翰·斯图亚特·密尔的妇女选举权请愿书（最终未能成功）的人。 ^[23]

相比之下，汉密尔顿得到了上大学的机会。他在都柏林圣三一学院学习，那里的古典文学和数学教学水平都很优异。他也表现得非常出色，不到22岁就被任命为天文学教授和爱尔兰皇家天文学家。正如我提到的那样，几年后，他因使用数学方法预言锥形折射而成名。之后，二十几岁的他提出了一种新的动力学解释，在物理学的许多领域中都发挥了重要作用，比如在描述运动物体系统的力学中，以及在描述电子的（量子）力学方程（即薛定谔方程）中。1833年，28岁的他向爱尔兰皇家科学院提出了有关复数“数对”的初步想法，并在30岁时因在数学方面的杰出贡献而受封爵士。

1837年年底，32岁的汉密尔顿当选为爱尔兰皇家科学院院长，而他首先做的事情之一，就是向70岁的玛丽亚·埃奇沃斯寻求建议。爱尔兰皇家科学院的宗旨是促进科学和人文学科的发展，埃奇沃斯的父亲是该机构的创始人之一，但汉密尔顿觉得文学没有得到足够的关注。“众所周知，”他在给埃奇沃斯的信中写道，“您不仅是文学的爱好者，也是成功的追求者和强有力的推动者。对于与此相关的任何问题，您的意见必定非常宝贵。”埃奇沃斯的作品今天可能已经被大多数人遗忘了，尽管在2009年《卫报》评选的“1000本必读小说”中有两部她的作品。她是19世纪早期最著名的爱尔兰小说家，除了汉密尔顿，像沃尔特·斯科特和简·奥斯汀这样的人物也对她赞誉有加。她给汉密尔顿提出了一些明智的建议，比如，为论文竞赛提供奖牌，并将订阅费调整到普通文学爱好者能够承担的水平。他满怀感激地在就职演说中采纳了埃奇沃斯的大部分建议。不幸的是，他没有勇气采纳她提出的关于允许女性参加科学院讨论之夜的建议。长期以来，埃奇沃斯一直在推动女性获得接受教育和参与科学研究的权利，她对汉密尔顿在回信中罗列的借口不甚满意。然而，他仍然主持了1842年埃奇沃斯当选为科学院荣誉会员的仪式，她是第一位获此殊荣的本国女性。另有3位外国女性获得过这一荣誉，其中包括玛丽·萨默维尔和卡罗琳·赫歇尔（约翰·赫歇尔的姑姑，她的侄子和哥哥威廉都是天文学家）。然而，由于她们身居国外，不太可能因为想参加会议而引起男性同行的不满。直到1949年，女性才首次被允许成为爱尔兰皇家科学院的正式会员。 ^[24]

虽然汉密尔顿在女性权利问题上的表现令人失望，不像他在数学上的观念那样超前，但他接下来做的事对于矢量的发展非常重要。虽然高斯等人已经想到可以将复数表示为复平面上的一个点，但汉密尔顿将其视为一条“有向线段”，换言之就是一个箭头。 ^[25] 韦塞尔也有类似的想法，但无论是汉密尔顿还是主流数学界中的其他人，都不知道他有这种想法。阿甘也考虑过有向线段，但汉密尔顿的下一步才是矢量的真正基础。如果你将两个数对或两个“箭头”（ x , y ）和（ a , b ）在阿甘平面上相乘，就相当于在二维平面上进行了一次旋转，如图3–8所示。所以，复数乘法与旋转的几何操作相关联，就像乘上i一样。汉密尔顿想知道，是否有可能通过三元组的乘法来表示三维空间内的旋转？

他从1841年开始认真研究这个问题，当时他读了他的好友德摩根的一篇论文，文章的结论是：似乎根本无法用代数形式来表示三维几何。虚数i在二维空间内施展了旋转的魔力，但德摩根认为没有更多的这类符号可用了，没有哪种新的代数思想能够将几何从二维平面扩展至整个三维空间。

这正是汉密尔顿面临的挑战。

---

[1] 国际单位制的通用简写为SI。

[2] 参见David Marshall Miller, “The Parallelogram Rule from Pseudo-Aristotle to Newton,” Archive for History of Exact Sciences 71 (2017): 157–91, esp. 161–66。按照现代标准，《力学问题》中仅包含一个初级的平行四边形法则，但很少有人理解其重要意义。

[3] 45°假定你从正面射击，而不是有一定高度。参见Michael Brooks, The Art of More (Melbourne: Scribe, 2021), 94。此段和下一段，要感谢布鲁克斯，同时也感谢J. J. 奥康纳和E. F. 罗伯逊撰写的关于塔尔塔里亚的文章（发表在圣安德鲁斯大学的Mac Tutor数学史档案网站上），见https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tartaglia/#：~:text=Quick%20Info&text=Tartaglia%20was%20an%20Italian%20 mathematician,published%20in%20Cardan%27s%20Ars%20Magna。

[4] Miller, “Parallelogram Rule,” 164.

[5] Marlowe’s Military Mathematics in Marlowe’s ‘Tamburlaine I and II,’” Cahiers Élizabéthain 95, no. 1 (2018): 19–39.

[6] 伽利略和哈里奥特对落体运动与水平投射物的分析是正确的，但他们将抛射体的运动视为单一的减速运动，而不是各自独立的运动分量，参见Matthias Schemmel, “Thomas Harriot as an English Galileo: The Force of Shared Knowledge in Early Modern Mechanics,” in Thomas Harriot , vol. 2, Mathematics, Exploration and Natural Philosophy in Early Modern England , ed. Robert Fox (Farnham, Surrey: Ashgate, 2012),89–111, esp. 95, 97。

[7] 伽利略、斯泰芬、笛卡儿与平行四边形法则，参见Miller, “Parallelogram Rule,” 166, 167, 170, 183, 186。

[8] 左侧的实心圆 a 和 A 代表两个球的起点。它们在中间发生碰撞并反弹到点状圆所示位置。图下方的计算考虑了球的速度和质量，哈里奥特研究的是在给定时间间隔 x 内发生的情况，因此速度以球之间线条的方向和长度来表示，类似于我们今天使用的矢量表示方法。
哈里奥特详细解释了他是如何运用平行四边形法则的。比如，他说如果没有碰撞，则在第二个时间间隔 x 内，球 a 将以相同的速度沿相同的路线 ab 继续运动，因此他在直觉上理解了牛顿第一定律。然而，碰撞后，这种运动被“转换”到平行线 fc 上。他强调，这并非实际的转换，而是为了“组合成明显的运动”。第二个球同样如此， AB 的运动被转换到 FC 上。
通过组合每个球在碰撞前后的运动可以找到点 f 和 F 的位置。比如，对于第一个球， bf 等于我们所说的两个矢量之和，即球的初始运动的垂直分量 bd 加上由大球的动量产生的额外运动的垂直分量。
利用动量守恒和动能守恒法则可以更容易地完成这一计算，但哈里奥特不知道这些概念。他的图示的对称性表明，他假定“冲量”是守恒的。注意，他在这里犯了一个小错误，参见Johannes Lohne, “Essays on Thomas Harriot,” Archive for History of Exact Sciences 20, nos. 3/4 (1979): 189–312, and Jon V. Pepper, “Harriot’s Manuscript on the Theory of Impacts,” Annals of Science 33, no. 2 (1976): 131–51, DOI: 10.1080/00033797600200191。

[9] Lohne, “Essays on Thomas Harriot,” for an English translation from the original Latin.

[10] Jacqueline Stedall, “Rob’d of Glories: The Posthumous Misfortunes of Thomas Harriot and His Algebra,” Archive for History of Exact Sciences 54, no. 6 ( June 2000): 483. Wallis and Fermat : Miller, “Parallelogram Rule,” 171–72, 186–87.

[11] 沃利斯试图找到形如 x ² +2 bx + c ² =0的二次方程复数解的求解方法。如果你还记得可以通过配平方法推导出二次方程的求根公式，你就会知道 。当 b ≥ c 时，沃利斯找到了一种利用实数数轴上的点表示两个解的方法。于是，他尝试用一种类似的方法处理当b < c 时的复数解。他避免直接处理虚数单位i，而是使用笨重的三角形作图表示这些解。

[12] 欧拉对e的定义的现代版本是 。虽然这一想法最早是由雅各布·伯努利在研究复利时提出的，但欧拉认识到了这个数字的威力，并让人们注意到它的存在。他也曾将其写成泰勒级数的形式，人们正是通过这一级数来计算e的多位小数近似值的，比如计算器上显示的2.718281 828。

[13] 有关欧拉及其方程，参见Ed Sandifer, “How Euler Did It,” MAA Online , August 2007。亦可参阅Carl Boyer, History of Mathematics , rev. Uta Merzbach (New York: John Wiley and Sons, 1991), 443–44 (and 441–42 on Euler and college math). De Moivre and Newton: Orlando Merlino ,“A Short History of Complex Numbers,” University of Rhode Island, January 2006。

[14] 关于欧拉和费马大定理，后来的数学家发现费马在他的证明中未曾证明其中一步，但它是正确的。有关这一点，以及欧拉在证明中使用复数的事实，参见Harold M.Edwards，“Fermat’s Last Theorem,” Scientific American 239, no. 4 (October 1978): 104–23。

[15] 索菲·热尔曼没有发表她有关费马大定理的工作，但拉格朗日将他证明 n =5时的一个结果归功于她。

[16] 关于汉密尔顿的苹果和橘子，参见Karen Hunger Parshall, “The Development of Abstract Algebra,” in The Princeton Companion to Mathematics , ed. Timothy Gowers et al. (Princeton, NJ: Princeton University Press, 2010), 95–106, esp. 105。

[17] Gauss quoted by Christian Gérini, “Argand’s Geometric Representation of Imaginary Numbers,” University of Toulon, January 2009, English trans. Helen Tomlinson,April 2017, online at http://www.bibnum.education.fr/sites/default/files/21-argand-analysis.pdf. See this also for Argand’s “directed lines.” De Morgan quoted in Raymond Flood and Robin Wilson, The Great Mathematicians (London: Arcturus, 2011), 143. For more context on De Morgan : Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (New York: Oxford University Press 1982), 155–56.

[18] Babbage quoted in Dirk Struik, A Concise History of Mathematics (New York:Dover, 1967), 168.

[19] Hamilton quoted in Janet Folina, “Newton and Hamilton: In Defense of Truth in Algebra,” Southern Journal of Philosophy 50, no. 3 (2012): 515.

[20] 汉密尔顿从负数/时间的科学到复数再到四元数的发展过程，参见Explanation in the Historiography of Mathematics: The Case of Hamilton’s Quaternions, Studies in History and Philosophy of Science Part A 26, no. 4 (1995): 593–616。

[21] 关于德摩根论及汉密尔顿的数对，参见Diana Willment, Complex Numbers from 1600 to 1840 (master’s thesis, Middlesex University, 1985), 102. Hamilton, symbolism, De Morgan : Koetsier, “Explanation,” 610。

[22] Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (Notre Dame, IN: University of Notre Dame Press, 1967), 22; and Daniel Brown, The Poetry of Victorian Scientists: Style, Science and Nonsense (Cambridge: Cambridge University Press, 2013), 1. Maria Edgeworth on Hamilton : “Miss Edgeworth Advises,” Royal Irish Academy (RIA) (blog), June 24, 2018,https://www.ria.ie/news/library-library-blog/miss-edgeworth-advises.

[23] Seduced by Logic: Émilie du Châtelet, Mary Somerville and the Newtonian Revolution (New York: Oxford University Press, 2012), 195, 197–98.

[24] RIA (blog), “Miss Edgeworth Advises,” and Clare O’Halloran, “‘Better without the Ladies’: The Royal Irish Academy and the Admission of Women Members,” 18 ^th –19 ^th Century Social Perspectives ( History Ireland ) 19, no. 6 (November/December 2011): 42–46.

[25] Lectures on Quaternions , 35. duWFDZT5ZMlK93KXyaPG98iThbKI96AZSUTe2Bmpb81v06uqKH9fapFkcsSEDwPP