汉密尔顿的加入

必须承认，19世纪30年代的汉密尔顿还有很长的路要走。起初，他只知道沃伦在复平面上的工作，而不知道高斯或其他人的工作。但沃伦的工作启发他想象一种思考复数及其几何旋转的方式：解方程时，我们可以像处理普通数字一样处理复数，而且不涉及将苹果与橘子加在一起的问题。

他以一种相当聪明的方式解决了这个难题。你可以取任意两个复数相加与相乘，就好像它们是普通的二项式一样，只不过i的平方等于–1，这样一来，你会得到以下两个公式：

今天我们在数学课上就是这样做的，欧拉、高斯和其他人亦如此，当时这种做法看似一种权宜之计，因为人们还不适应这种数或算术。正如高斯告诉天文学家彼得·汉森的那样，“ 的真正含义生动地浮现在我的脑海里，但要用语言清晰地表达它非常困难；语言只能给出一种不切实际的幻象”。汉密尔顿的朋友奥古斯塔斯·德摩根声称他“已经证明了符号 是没有意义的，或者说是自相矛盾和荒谬的”。 ^[17]

汉密尔顿说：既然i是苹果中的橘子，那么我们为什么不在没有这个分散注意力的家伙存在的情况下定义复数，但仍然遵循相同的加法和乘法规则呢？我们为什么不以实数的“数对”［现代数学家称其为“有序对”，比如( a , b )，( c , d )］来思考复数，然后定义加法和乘法规则，并使它们遵循相同的模式呢？

更早时代的数学家，尤其是高斯，已经接近了这种想法，但只有汉密尔顿清楚地阐述了它。这一想法并非从一开始就取得了成功。几千年来，乘法一直是一个数字乘另一个数字，相比之下汉密尔顿的数对乘法规则混合了乘法、加法和减法运算，与传统乘法截然不同。

但它的时代即将到来，因为汉密尔顿的英国同事德摩根和乔治·皮科克已经开始探索一种完全符号化的代数。这种代数始于哈里奥特和沃利斯，形成了一个不仅脱离了几何也脱离了算术的代数概念。换言之，代数是以符号定义的，这些符号不必有具体意义，但必须遵循已确立的规则，就像汉密尔顿的数对一样。皮科克和德摩根首先表达了普通代数的规则，尽管人们已经直观地使用了它们数百年，乃至数千年。毕竟，你用三个苹果加上两个苹果，或者用两个苹果加上三个苹果，这一顺序对结果而言并不重要。所以，你可能会认为，称其为“加法交换律”似乎没有必要。当然，除非你让代数超越数值，升级为一种关于纯粹抽象的符号和运算的科学，正如皮科克和他的学生德摩根所做的那样。

皮科克对符号的兴趣最初是在微积分的背景下产生的。我曾在第2章中提到，莱布尼茨的微分符号相较牛顿的点标记法更有启发性。皮科克曾是剑桥的一个青年学者团体中的一员，其他成员包括原型计算机的发明者查尔斯·巴贝奇，以及发现天王星的著名天文学家的儿子约翰·赫歇尔，他本人也是著名的天文学家。他们主张课程改革，用莱布尼茨的微积分取代牛顿的微积分。巴贝奇俏皮地说，这些年轻的特立独行者提倡“纯粹微分主义原则，而不是大学里的流数守旧派”。 ^[18]

对于纯粹符号的代数，汉密尔顿本人最初横跨于两个阵营。他赞同复平面上的几何表示具有说明性，本质上并不是数学的。但他不属于纯粹的符号主义者，因为他认为代数探讨的应该是比一套规则更具体的东西。他甚至怀疑，这两个阵营是否如同空间和时间一样联系在一起。德国哲学家伊曼努尔·康德说过，我们的存在依赖于预先存在的空间和时间，而几何是空间表示的基本语言。因此，汉密尔顿猜想，或许代数是一种关于时间的科学？毕竟，我们标记时间和空间的方式是“让思想具体化，让精神依附于身体，给思维的行为和激情赋予外在的存在形式，让我们从远处观望自己”。 ^[19]

汉密尔顿从小就写诗，撇开诗歌不谈，他的时间代数今天听起来仍有些奇怪，因为我们已经习惯用 x 和 y 或 a 和 b 或我们选择的任何代数符号。他的符号主义阵营的同事也不喜欢它。但正如莱布尼茨和其他人在很久以前指出的那样，我们对时间（和空间）的概念是相互关联的：这个发生在那个之前，这个正在发生，诸如此类。爱因斯坦将基于这个想法推导出一个逻辑结论，并在此过程中提出一些奇怪的新想法，比如时间减慢和“现在”本身是相对的。与此同时，汉密尔顿意识到，这些时间点之间的关系可以用代数式来表达。他的重点是纯数学而不是物理，否则他可能会成为爱因斯坦工作的先锋。事实上，他引用了牛顿的工作，后者在描述事物如何变化时曾借助增加的“时刻”和时间的“流动”。我们现在称牛顿的概念为导数，但他当时称其为“流数”。汉密尔顿提出，如果你认为数字本身代表在有向线段上的“时刻”之间的心理“步伐”，那么你可以将算术法则“解释”为关于时间的科学，从而将时间的概念引入基础领域。

尽管汉密尔顿后来从“瞬时”转移到空间的点，并将他的“步伐”确定为矢量，但这些“步伐”相当深奥。你可以通过一个例子理解他的思路：两个负数的乘积是正数，这是一个令人困惑但似乎不可避免的事实，所以 (–3)×(–1)等于3。正如汉密尔顿所说的那样，在他的哲学中，你可以认为“两次连续的反转将回到最初的方向”，并以此解释这个奇怪的结果。这里的关键点在于，方向在他的矢量概念中至关重要：两次反转箭头的方向，就会让它回到最初的方向。这类似于你说“我不会不去”，两个“不”相互抵消，就像两个负号相互抵消或“回到”原来的正方向一样。这确实有助于我们理解两个都小于零的数字相乘会得到正数这一现象。 ^[20]

最终，通过对“数对”算术的定义，汉密尔顿确实更接近于纯粹符号的方法。显然，对于德摩根也是这样。他“倾向于认为”，如果你把时间排除在外而只关注实数，那么汉密尔顿“最终”可能会提供一种通过符号代数而不是直观的几何图形思考复数的方法。 ^[21]

我们今天可能很奇怪，为什么会有人担心负数和复数的特性以及代数运算规则，因为我们已经习惯了在有需要时使用它们，而不必担心潜在的概念问题。但正因为一些最伟大的数学家曾担心过这类事情，才有了现代数学和许多技术的诞生。当汉密尔顿于1837年发表他有关复数数对的论文时，他明确表示，他的重点就只是数学研究。他当然不可能知道，美国国家航空航天局今天会使用他的最终研究成果，推动宇宙飞船的升空！所以，虽然他最初有关时间的观念看起来是错误的，但正是这种跳出常规的思考，以及这种对数字和算术基础的关注，最终引导汉密尔顿发明了矢量和四元数这些在今天得到广泛应用的概念。

值得注意的是，汉密尔顿的灵感不仅来自数学家，也来自像康德这样的哲学家，以及作家和诗人：威廉·华兹华斯、著名小说家和教育理论家玛丽亚·埃奇沃斯、浪漫主义者弗朗西斯·博福特·埃奇沃斯（玛丽亚的同父异母弟弟）和塞缪尔·泰勒·柯勒律治都是他的挚友。华兹华斯说，汉密尔顿和柯勒律治是他见过的两个最了不起、最有天赋的人。当玛丽亚·埃奇沃斯第一次见到当时只有19岁的汉密尔顿时，她认为他“兼具真正的天才所具有的淳朴与坦率”。 ^[22]

在19世纪，如此多样化的影响不像今天这样少见，因为像科学一样，当时的数学还没有变得十分复杂与专业化。但即使在那个时代，汉密尔顿也绝非常人。 duWFDZT5ZMlK93KXyaPG98iThbKI96AZSUTe2Bmpb81v06uqKH9fapFkcsSEDwPP