故事的惊人转折

你或许会从汉密尔顿的涂鸦中猜出这个令人惊讶的方向：它包含了虚数i。如果你试图求解 x ² +1=0之类的方程，虚数就会出现。更复杂的方程会引出更怪异的量，也就是实数和虚数的混合体，比如我们在第1章中遇到的邦贝利的2+11 。我也曾提到，笛卡儿大约在邦贝利一个世纪后创造了“虚数”这个词，此后又过了一个多世纪，在1777年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉创造了现代符号i，用它表示 。

欧拉还为我们提供了表示自然对数的底（或叫欧拉数）的符号e，并且推广了威廉·琼斯创造的符号π。但就像琼斯的π一样，直到几十年后，在另一位杰出数学家——德国的卡尔·弗里德里希·高斯使用了欧拉的i之后，它才真正流行起来。高斯也为像 a +i b 或 a + b i这样的实数与虚数混合体创造了“复数”这个名称，其中i的次序并不重要。同样，“复数”这个词也没有立即流行起来。所有这些都表明，创新思想的演变十分缓慢，如果你想获得迟来的认可，发表作品十分重要。

顺便提一下，在高斯本人不知情的情况下，他变成了自学成才的女数学家先驱索菲·热尔曼的导师。像他那个时代的大多数男性一样，高斯认为女性掌握不了高等数学，而热尔曼谨慎地以笔名“勒布朗”给高斯写信，阐述有关费马大定理证明的想法。当她最终透露自己的女性身份时，高斯感到非常惊讶，也十分动容。

但这与i有何关系呢？这取决于信息的表达方式，以及在遵循清晰的数学规则的情况下，何种数值构造的量可视为数学研究对象。

对i来说，如果数学家认真看待这一数字，他们应该如何理解它呢？毕竟仅仅是将数轴延伸到零的左边来表示负数就已经耗时良久，虽然我们只需将负数视为与正数同样真实的对应物即可。沃利斯迈出了这关键的一步，但他也认为负数必须大于无穷。这表明，即便是优秀的数学家，也很难掌握负数的概念（更不要说无穷了）。沃利斯也是第一个尝试用同样的方法处理复数的人，但没有成功。 ^[11]

这个表示问题还需要再过一个世纪才能解决，却在无意中为矢量的发明铺平了道路。与此同时，数学家需要更多地了解复数的数学本质。它们作为二次与三次方程的解粉墨登场，但它们是否在数学中扮演着更广泛的角色，使人们急于找到一种方法将其纳入数字系统中？

最先找到这一问题答案的人之一是欧拉，他也是史上最多产的数学家之一。他拥有惊人的记忆力和非凡的奉献精神，就连失明也无法阻挡他奋进的脚步。1735年，28岁的他失去了右眼的视力，59岁时，他几乎双眼失明，但在他的秘书、子女和孙辈的帮助下，他坚持做研究，直至76岁去世。令人敬畏的约翰·伯努利曾是莱布尼茨的坚定捍卫者和牛顿的梦魇，欧拉是他的学生，也是最早用符号微积分重写牛顿定律的人之一。欧拉从1727年开始与伯努利一起研究复数，但他在这一课题上的工作直至18世纪40年代才真正取得成果，当时他将i与“圆”函数sin θ 和cos θ 联系起来。（因为圆与旋转有关，而用于理解旋转的代数方法是汉密尔顿创造出矢量的关键所在。但他首先要理解旋转和i之间的联系。）

如图3–4所示，在半径为1的圆上表示出sin θ 和cos θ ，根据毕达哥拉斯定理将得到以下等式：

欧拉意识到，可以对上式进行因式分解，使它变成：

由此，他根据自然对数的底e的初步定义（见文末注释）， ^[12] 提出了现在被称为欧拉方程的恒等式：

（你如果像欧拉一样知道sin θ 、cos θ 和e ^θ 的泰勒级数，则很容易推导出这个公式，但这些细节对我们的故事来说并不重要。）

欧拉公式的应用极广，你可以在纯数学领域中依靠它大展身手，比如第1章提到的求复数的平方根、立方根和更高次根。它也具有很大的实际应用价值，比如模拟电路和其他类似波的现象，包括量子力学中的薛定谔方程（它主导了表示运动亚原子粒子可能状态的波函数）等。这是因为从数学上说，波是周期性的循环。比如，令 θ 旋转一整圈，则三角函数cos θ 和sin θ 会表现出周期性行为（见图3–5）。

绕圆旋转，也是理解实数和虚数之间关系的关键所在。实际上，由于π在圆的周长和面积公式中扮演了十分重要的角色，你可以在欧拉公式中选择 θ =π，从而看到圆与虚数之间的某种联系，得到人们公认最优雅的数学等式：

e ^iπ +1=0

它之所以优雅，是因为它简洁而深刻。它只有7个符号，这些符号以一种完全出乎意料的方式联系在一起。除基本的运算符号“+”和“=”之外，还包括：自然对数的底e，圆的神秘核心数字π，最重要的整数0和1，以及虚数i。谁能想到，所有这些不同类型的数字之间竟然存在着联系？这是一个神奇的等式。尽管欧拉从未真正写下它，但它极易从欧拉公式中推导出来，而且没有记录显示谁是第一个使用它的人，所以今天人们仍称之为欧拉方程。 ^[13]

尽管如此，欧拉对复数的本质仍然感到困惑，他也没有能够将其在某种“数轴”上表示出来。因此，没有人真正知道所有这些数字是如何联系在一起的。

欧拉以代数方法处理复数，并试图证明费马大定理，这一点乍看起来可能有些令人惊讶。我或许应该说，他试图证明的是这一定理的一个特例，即除了0之外，不存在令 x ³ + y ³ = z ³ 成立的整数 x 、 y 、 z 。这是一个三次方程，可以尝试使用卡尔达诺算法来求解，但这一算法通常会产生复数。基本的想法是：假设你有一个解，然后证明它与问题固有的假设相矛盾，比如 x 、 y 、 z 必须是整数。这个过程叫作反证法，它在纯数学领域极其有用。欧拉采取了类似邦贝利的方法，探索形如 （即 ）的数字的立方和立方根。

备受关注的费马大定理声称，如果 n 是一个大于2的整数，则不存在使 x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ 成立的非平凡的整数 x 、 y 、 z 。这个问题之所以有趣，是因为人们很容易就能找到 x ² + y ² = z ² 的解，古老的普林顿322号泥板早已列出了一系列这样的解。到了17世纪30年代，费马草草写下了一个闻名遐迩的注释，声称自己发现了一个奇妙的一般证明。即使他真的有所发现，现在也找不到了。他确实给出了 n =4时的证明，欧拉也给出了 n =3时的证明，但那已经是一个世纪之后的事了。 ^[14]

在接下来的两个世纪中，包括热尔曼在内的许多数学家都证明了费马大定理的一些特例，但直到20世纪90年代，安德鲁·怀尔斯才在创新思想和强大的算力的帮助下，完整地证明了费马大定理。但欧拉是证明之路上的拓荒者，这意味着他使用的形式为 a +i b 的符号代数数引起了注意，尽管其他人也做过类似的事情，其中包括法国人让·勒朗·达朗贝尔对欧拉没有在论文的致谢部分提到他而感到恼火。欧拉非常善于发展他人的初步想法，并将其用确定的形式表达出来，比如牛顿定律。但欧拉在他的确认资料来源方面表现得相当粗心。或许是因为他博览群书，并将各种想法带到如此深入的境地，以至于完全忘记了曾在什么地方读了些什么。 ^[15]

欧拉虽然未能在复数上有更大的建树，但他在以下两个项目上取得了重大成就：一是将i与圆函数联系起来，二是将 a +i b 视为一个代数量。如果你分别加减复数的实部和虚部，它就像一个普通的数。但正是在这一点上，半个世纪后的威廉·罗文·汉密尔顿遇到了麻烦，因为他认为这相当于把苹果和橘子加在一起。 ^[16]

当然，自欧拉时代以来发生了很多事，特别是数学家终于找到了一种方法，将这些奇怪的复数在某种数轴或者一个平面上表示出来。它是几何的而非代数的，但它非常直观。数学家终于可以安全地将这些混合体视为数字了，这一点大有裨益。在沃利斯做出相关尝试的一个多世纪后，解决这个问题的时机终于来了，几位数学家各自独立地产生了类似于现代表示形式的想法，如图3–6所示。其中最著名的是挪威测量员卡斯帕·韦塞尔在1799年产生的想法，但他开创性的努力在下个世纪的大部分时间内被埋没了。与韦塞尔大约同一时期的高斯也是其中一位，但他直到1831年才发表自己的想法。还有1806年提出类似想法的阿甘（其生平不详，但很可能是出生在瑞士的巴黎书店经理让·罗伯特·阿甘），为纪念他，我们经常称图3–6中的复平面为“阿甘平面”。英国人约翰·沃伦在1828年也产生了类似的想法。

最终，分量、圆、虚数和矢量，这些我一直在谈论的不同概念汇聚在一起。

你如果将图3–4中单位圆的概念叠加在图3–6的复平面上，就会得到图3–7，一个以实数轴和虚数轴的原点为中心的单位圆。数字+1对应于 θ =0，i对应于 θ =π/2或90°，–1对应于 θ =π或180°，–i对应于 θ =3π/2或270°。（你也可以沿逆时针方向旋转，则令–i对应于 θ =–π/2或–90°，以此类推。）但下面才是精彩的部分。如果你将1沿圆周移动到i，你就让它旋转了90°。换言之，旋转90°将数字1变成了数字i所在的位置，如同你写出1×i=i时一样。现在，将i旋转90°就得到了–1，如同i ² =–1一样。乘上虚数似乎确实等价于一次简单的旋转。所以，复平面的奇妙之处就在于，它展示了虚数是如何与实数产生联系的，即通过几何旋转。

此外，如图3–6所示，我们可以用点( a , b )的形式，在复平面中表示出一个由实部 a 和虚部i b 组成的复数 a +i b （或者 a + b i，随你喜欢）。如果你从原点到点( a , b )画一个箭头，就会看到它有一个实部和一个虚部分量。它显然也有方向，而且你可以根据其分量，用毕达哥拉斯定理算出其大小。（实际上，描述复数大小的量叫作“模”，复数 a +i b 的模为 ，类似于后来出现的矢量的大小。）你由此可以看到，正如牛顿曾经做的那样，阿甘、高斯、韦塞尔和沃伦等复数几何表达形式的发明者正在接近矢量的概念。牛顿从物理的角度处理问题，强调像力这样的物理量的大小和方向，这些19世纪初的数学家则从数论的角度出发处理这个问题。而汉密尔顿对矢量的明确定义，将这两种方法结合在了一起。 Ur/prQRSkVp8werFfYErZ/oamRl8T4RY29g9EVK4HITE4j4ZAVaYliH4nFt/oCmu