第3章
有关矢量的想法

数学家本不应以涂鸦闻名，但威廉·罗文·汉密尔顿在布鲁姆桥上的涂鸦吸引了广泛关注。他这种带有轻微破坏性行为的灵感迸发，往往离不开长期、有创造性的深刻思考。矢量历经了数百年时间，在众多数学家的努力下，才迎来了这一刻的闪耀：汉密尔顿在石桥上刻下了他的优雅结论。下面我们将重新审视令人敬畏的牛顿，作为本章故事的开端。

人们对牛顿的印象并不太好，但我对这位天才无疑是十分钦佩的。我也喜欢他那些琐碎的生活细节，比如，他会在书页上折角，他会沉迷工作而忘了吃饭。还有这样一件事：传说中的那棵苹果树仍然生长在他家的花园里，而且其后代遍布世界各地，包括我所在的大学。

我以前只是理所当然地接受了矢量，并未意识到牛顿的处理方法是何等重要。比如，在创建基于证据且可验证的自然物理理论时，他看到了定义如力、速度和动量等基本物理量，使其既有方向又有大小的必要性。正如我们看到的那样，今天的中学生用箭头来表达这种双重性质。出人意料的是，矢量本身历经了漫长的时间才出现，就连牛顿也没有完全理解这个概念。

他在这方面的关键见解在于，根据力对物体的影响来定义力。牛顿运动第二定律指出，作用力与产生的“运动变化”成正比，而这种“变化”与力的作用方向相同。牛顿用文字形式的方程给出了“运动量”的详细定义，即“物质量”（质量）乘速度。如果用符号表示，运动量是 mv ，我们称之为“动量”。用现代语言来说，牛顿的“运动变化”就是物体动量的变化率，用矢量术语表达第二定律就是：

如果物体的质量在运动过程中没有发生明显变化（除非它以极快的速度相对于测量者运动，否则这种变化不会发生），则上式等同于 F = m 。或者说质量乘加速度，即 F = ma 。黑体的 F （力）、 a （加速度）和 v （速度）表明它们是矢量，但这是事后诸葛。虽然牛顿的力和动量都具有大小和方向，但它们并不属于真正的数学矢量，因为当时还没有一个一般的概念来描述如何对它们进行加法或乘法运算。你可能会认为，考虑到矢量最明显的特征是能够同时表示大小和方向，担心加法和乘法问题似乎令人费解。然而，正如我们将会看到的那样，矢量相乘开辟了一个全新的物理学应用领域。而且，矢量代数将矢量作为数学量处理，而不是简单地作为物理类比，这让矢量不仅适用于理论物理学，也在数值建模、数据分析、工程、人工智能和机器人技术等领域中得到应用。

与此同时，在牛顿时代，有一种简单的加法运算规则颇为实用，即通过图3–1所示的“平行四边形法则”将两个矢量相加。实际上，在矢量的形式发展之前，这里的“加法”可能是错误的说法，正确的说法应该是“合成”。在运动定律的前两个推论中，牛顿清楚地解释了这一规则，并具体地展示了对角线方向上的力是怎样由两个“分量”组合而成的（反之亦然，它可以被“分解”成分量）。平行四边形法则当然也适用于速度，牛顿出色地将其运用在他的行星和日常运动理论中。

虽然“运动”这个概念看起来如此简单，但正如芝诺展示的那样，要给它一个有效的定义并不容易，尤其是这个定义应该能让你预测在各种力的作用下物体将如何运动。莱布尼茨在其1695年发表的《论动力学》中，花了大量笔墨试图弄清楚这一点，但他没有提及《自然哲学的数学原理》。牛顿也有样学样，在《自然哲学的数学原理》第三版中删去了对莱布尼茨微积分的感谢，微积分的发明优先权之争自此全面展开。莱布尼茨在他的论文中只字不提牛顿的思想，这不仅仅是气量问题，也表明了理解新思想是何等艰难。莱布尼茨或许是他那个时代最伟大的哲学家，也是一位勇于创新的科学思想家，但他似乎没有意识到，当牛顿以动量变化给力下定义时，他就已经向运动分析迈出了一大步。（后来的物理学家当然看到了这一成就，并最终将力的国际单位 ^[1] 命名为“牛顿”。）

然而，有趣的是，即使是牛顿也未能建立矢量代数的概念，更不要说矢量微积分了。这一点凸显了提出数学新概念的艰难程度，并揭示出矢量看似简单，事实上却颇有迷惑性。

* * *

在牛顿写出《自然哲学的数学原理》之前，人类已经走过了一段漫长的道路，世界上一众优秀的思想家孕育了平行四边形法则。像牛顿和莱布尼茨一样，这些思想家一直试图弄清应该如何理解物体的运动方式及力的作用方式。你可以通过想象如何从头开始定义“力”去感受他们面临的困难。《牛津英语词典》给出的定义是“力量，施加的力度或冲力，强烈的努力”。这只给出了一个大致的想法，它无助于你发射通信卫星或设计风力涡轮机。你需要的是一个可用于矢量微积分的定量描述，以便实现这些应用。

当然，显而易见的是，如果你对一个物体施加两倍的力，它就会移动两倍的距离，这是古代哲学家早已掌握的量化步骤。然而，在这种情况下，两次推动都与其运动的方向相同，所以我们很难清楚地看出，方向和力度也应该成为力的定义的一部分。但是，古人确实瞥见了来自两个不同方向的“分量”组合成作用力的想法。比如，在托勒密的行星运动机械模型中，行星似乎是由在它们的轨道上缓慢滚动的齿轮驱动的。

通过平行四边形法则组合不同运动的概念，首次出现在《力学问题》中，这本书是亚里士多德学派成员在公元前4世纪末撰写的，比托勒密的时代早将近500年。这本手稿曾一度遗失，作为伟大的中世纪阿拉伯翻译运动的产物，在文艺复兴时期被重新发现于欧洲。事实证明，它对力学的处理方式启发了早期现代物理学家，比如塔尔塔里亚和伽利略。他们试图弄清楚，怎样才能通过分量运动组合出物体的运动路径，比如，当网球被击飞到空中时，斜向上的运动和向下作用的重力是如何组合的。 ^[2]

实际上，塔尔塔里亚和伽利略对网球在空中的飞行轨迹的兴趣并不大，他们更感兴趣的是箭和炮弹的飞行轨迹，因为那个时代宗教和帝国之间的战争似乎无休无止。枪炮变得更加精密，比如，铸铁技术的革新意味着炮弹质量更轻但威力更大。而且，人们越来越清楚地知道，预先知道导弹的飞行轨迹，有助于更有效地部署这些新武器。已出版的炮兵手册上记录了各种枪炮射击的观测范围和角度，数学家开始利用这些数据，从数学上描述抛射体的运动路径。 ^[3]

16世纪30年代初，在塔尔塔里亚与卡尔达诺展开有关三次方程解法的激烈争论的几年前，塔尔塔里亚设法通过计算得出，如果你想让炮弹的射程更远，炮身就应该与地面成45°角。如果你直接瞄准某个遥远的目标，重力很可能会导致你无法达成目的。而如果像以往那样，将炮口指向高处并希望取得最佳效果，那你会经常错失目标，反倒摧毁了其他目标。塔尔塔里亚备受良心上的谴责，因为他知道，研究战争武器就是在危害人们的生命。于是，他烧毁了自己的论文，以免因为从事这种“恶毒和残酷”的工作而受到上帝的惩罚。

然而，这是一个可怕的时代。作为一个在意大利北部长大的孩子，塔尔塔里亚曾遭受法国士兵刀刃相向的恐怖伤害。十二三岁时，法国人冲进了他们的城镇，他和母亲、妹妹躲在教堂里，但年幼的塔尔塔里亚的嘴和下巴还是被挥舞的刀刃划伤。尽管有这样的不幸遭遇，并且缺乏正规教育，他还是成为16世纪初最杰出的数学家之一。对于在弹道学方面的工作，作为一名虔诚基督徒的他决定和他的资助人谈谈，因为信仰伊斯兰教的奥斯曼帝国正在进一步向信仰基督教的欧洲扩张。

随后，塔尔塔里亚继续研究这个课题。他在给出了将大炮倾斜45度角发射的建议之后，设计了一种用于测量这种角度的象限仪。他还尝试构建理论上的弹道轨迹。对于炮弹，我们可以在非常接近现实的情况下假定忽略空气阻力（尽管对于羽毛不成立），所以显而易见的是，这样的路径仅由两个不同的分量构成：一个沿着发射的方向，一个沿着重力的方向。但塔尔塔里亚的尝试并未取得成功。首先，他的分量并不是定义清晰的力或速度，而是直观的“运动”。毕竟，他的尝试距离开创性的牛顿运动定律建立还有150年。更重要的是，塔尔塔里亚从未按照矢量法则把这些“运动”相加（或“组合”）。他在评论《力学问题》时直接忽略了平行四边形法则，因为跟大多数同时代的人一样，他并不理解它的重要意义。 ^[4]

其次，独立分量的想法是，每个分量都能独立于其他分量发生作用，而他并没有这一想法。如图3–1所示，这个想法是平行四边形法则的关键。这意味着，如果你在这个分析中去掉重力这个分量，只让另一个分量（即沿着炮弹发射方向的分量）起作用，那么你会推断出炮弹将以相同的速度沿最初的方向继续运动。这就是牛顿第一运动定律，尽管在他之前已经有人凭直觉意识到了这一点，比如伽利略和哈里奥特。

然而，像自亚里士多德时代以来的几乎所有人一样，塔尔塔里亚认为一个物体不可能同时有两个彼此独立作用的运动分量。因此，他没有通过平行四边形法则将两个分量组合起来，也就未能解释观测到的运动结果。正如你在图3–2中看到的那样，他的抛射体最初沿斜向分量的方向运动，然后又沿向下分量的方向运动。他没有意识到二者从一开始就在共同发生作用，这让炮弹的运动路径实际上从一开始便是弯曲的而不是直的，因为重力一直在向下拉炮弹。相反，他的路径的中间部分突然向下弯，代表在重力作用下炮弹“突然”压倒初始外力，轨迹发生变化，随后炮弹垂直下落。

尽管塔尔塔里亚的工作是弹道学研究的第一次重大尝试，但其中的缺陷表明，没有人真正了解重力的作用机制，更不要说理解矢量了，这种状况一直持续到半个世纪后伽利略和哈里奥特登上历史舞台。彼时战火仍未熄灭，对“战争艺术”的智力和审美迷恋依然存在。战争游戏是像哈里奥特的第二位资助人诺森伯兰伯爵这样的人的消遣，他曾在军队短暂服役，这让他极其痴迷军事战略，以至于对一种复杂的棋盘游戏乐此不疲。该游戏中有140个铜制士兵，每个士兵都有一根铁矛，另外还有320个携带小型火枪的铅制士兵。战争也是艺术创作的主题之一，像乔尔乔·瓦萨里和阿尔布雷希特·阿尔特多夫等文艺复兴时期的艺术家都画过战斗的鸟瞰场景。而在当时的英国，威廉·莎士比亚和克里斯托弗·马洛用有力的语言和巧妙的舞台布景，在《亨利五世》和《帖木儿大帝》等戏剧中展现了宏大的战争场面。有证据表明马洛认识哈里奥特，人们猜测他们可能讨论过“战争艺术”，马洛是以一个诗人和剧作家的身份，而哈里奥特是以一个从事弹道学研究的数学家的身份。 ^[5]

不过，没有证据表明伽利略和哈里奥特相识，虽然他们都对那个时代的尖端科学感兴趣，其中不仅有弹道学，还包括所有受重力影响的运动。因此，他们各自独立地发现了自由落体的一般规律。在日常生活中，如果忽略空气阻力，则所有物体，无论其质量和大小，都会以相同的速率下落。但塔尔塔里亚认为，一枚炮弹要比一个网球的下落速度更快，所以它们的抛射体轨迹不同。但哈里奥特和伽利略都证明了，在真空中，所有抛射体都会描绘出形状相同的运动路径，即一条抛物线。如果你把一根喷水的软管斜放，你很容易就会看到这种形状，连续的水滴共同描绘出抛射体的轨迹形状。但证明这是一条符合方程 y =– ax ² + bx + c 的抛物线，则是另一回事。如果你在中学或大学学过数学或物理（或者你提前看过图8–1），你就会知道，只需十几行，就可以运用牛顿定律、矢量和微积分规则证明这一点。然而，伽利略和哈里奥特并不知道这些技巧，所以他们在寻找合适的方程拟合数据时，不得不进行了长达数月的计算。

相比之下，你可以看到，图3–2中塔尔塔里亚绘制的抛射体轨迹绝对不是一条抛物线。伽利略和哈里奥特之所以能成功，是因为他们意识到分量运动确实可以独立作用。这也是他们凭直觉意识到了牛顿第一定律的原因。 ^[6]

伽利略有关抛射体的工作影响了牛顿，牛顿在《原理》中也做了引用。但伽利略从未掌握完整的平行四边形法则。他虽用该法则计算出合力的大小，但没有考虑到方向，与他同时代的大多数人也是如此。笛卡儿虽用这个法则计算了分量的大小和方向，但他将它们视为不同的量，而不是一个量（如速度或力）的不同方面。所以，你可以看到，矢量的含义远比我们意识到的要丰富！ ^[7]

1619年，哈里奥特在分析碰撞力学时接近了这个想法。除了战争和战争游戏，台球游戏在当时也颇为流行，至少对像哈里奥特的资助人诺森伯兰伯爵这样的贵族来说如此。不幸的是，1605年诺森伯兰伯爵被关进了伦敦塔，成为詹姆斯一世国王的囚犯，并在监狱中度过了16年的时光。他设法通过玩战争游戏来消磨时间，还在伦敦塔的庭院中建造了一个保龄球道。与此同时，他也会花时间思考科学问题，并基于自己对保龄球和台球的兴趣，要求哈里奥特为他解释碰撞运动的力学原理。

哈里奥特的文章是人类对这一课题的首次详细分析，也是牛顿之前最复杂的矢量分析之一。我在图3–3中重现了哈里奥特的矢量图。球 a 和球 A 的大小表明了它们的质量，它们从左侧相互靠近，在中间的点 b 和点 B 处碰撞，然后反弹到虚线圆 c 和 C 表示的位置上。我在文末注释中解释了他的计算， ^[8] 但你只需观察哈里奥特的绘图即可看出，他利用了平行四边形来分析这里展示的两种类型的碰撞。尽管他使用的术语有些过时（他用的是运动和冲力而不是速度和力），但他掌握了现代平行四边形法则的精髓，指定了大小和方向，而且使用了可独立作用的分量，两者组合起来产生了最终的运动或力。唯一的问题是，他并未公开发表这篇文章。 ^[9]

他的同胞约翰·沃利斯可能看到了这篇文章。沃利斯肯定读过哈里奥特的部分手稿，以及哈里奥特去世后出版的代数教科书《使用分析学》。正如我提过的，沃利斯深受哈里奥特的符号代数表示法的启发，并且他也研究了碰撞这一课题。牛顿在《原理》中引用了沃利斯的工作，认为它具有重要的影响。在1671年的一篇力学论文中，沃利斯清楚地阐述了平行四边形法则，在1687年《原理》出版前的几十年里也有几个人这样做过，包括多才多艺的费马（他的日常工作是法学而不是数学）。 ^[10]

你可能会认为，平行四边形法则在《原理》中开花结果，再加上牛顿对力、加速度和速度的矢量化定义，所以是牛顿激发了人们对完整的数学上的矢量分析的探索。但情况并非如此，至少他没有直接引起相关探索。他的工作确实有贡献，因为它展示了矢量在物理学中何其重要，但那是在矢量代数以完全不同且出人意料的方向出现之后。