繁重的工作和抄袭指控：人们对《原理》的接纳

让当时的人们接受这样一个壮举并非易事。1687年，《原理》一出版就遭到了包括莱布尼茨在内的批评者的抨击。跟他同时代的人们一样，他对牛顿的数学天才感到惊叹，但作为一位哲学家，他对理论应该做什么与牛顿（及后来的爱因斯坦）有着截然不同的看法。牛顿认为行星运动的原因是引力，但莱布尼茨认为一个引力的理论也应该能解释引力本身。尤其是，他认为应该提出一种具体的机制，比如，用以太旋涡来解释引力是如何从物理上影响牛顿用数学描述的行星运动的瞬时变化的。由于这是自然哲学家长期以来定义科学理论的标志，许多批评者都同意莱布尼茨的观点。但牛顿开创了一个现代观点，即引力的存在是显而易见的，而且他量化了引力的效果，特别是它对行星运动的影响。但牛顿不想在他的引力理论中加入关于引力是什么的推测，因为那是无法检验的。牛顿当然想解释引力本身，但他知道自己取得的成就无论在概念还是所属范畴上皆前所未有，而更深入地理解引力的本质是后世研究者的责任。（爱因斯坦及其对张量的开创性应用就是以此为切入点的。）

对牛顿来说，比这些批评更令他不安的是罗伯特·胡克对他的剽窃指控。胡克在科学家中的名声一直不好，因为他经常自吹自擂，尤其喜欢公开批评牛顿。然而，历史学家在仔细地审视了胡克的工作后，发现他确实在关于行星运动的引力解释方面有独到的思考，比如，所有行星都有引力，而且引力与距离的平方“可能”成反比，因为光强度也是如此减弱的。尽管牛顿此前已经思考这个问题多年，但正是胡克在1679年写给他的信件激发了牛顿对这个问题的思考，关于这一点他在《原理》第一版中也承认了。胡克提出轨道运动由两种不同的“运动”组成，一种与轨道相切，一种指向轨道的中心。尽管这种直观的想法并不完全正确，但它将运动看成由矢量的分量组成是一大进步。牛顿最终证明，力是指向轨道中心的，而运动（速度）则与轨道相切。

胡克未能将引力概念推广到除行星之外的其他物体上，而且他也未能通过直接的实验或计算证明平方反比定律。相反，他基于对机械模型运动的仔细观察，提出了一些巧妙的类比。 ^[12] 与牛顿不同，他没有将行星运动规律推广为适用于各类运动的数学定律，因此，他没有像牛顿那样推导出我们今天所说的动能和势能守恒定律。胡克也没有利用他的引力观念来估计地球的扁率，以及解释潮汐、春分点的岁差或牛顿解释的其他谜题。因此，当胡克指控牛顿剽窃时，牛顿感到非常愤怒：尽管胡克的数学能力比人们长期以来以为的要强，但根本无法与牛顿匹敌。难怪牛顿对埃德蒙·哈雷说，如果胡克敢于声称自己是引力理论的发明者，那么“找出、确定并完成所有任务的数学家就只能满足于当一个干巴巴的计算苦力了”。他说得有道理。有趣的是，在今天的版权法中，受到保护的是表达形式，而不是想法。尽管最近数学教育者的观念出现了重大转变，强调计算在数学的历史和应用中的作用，但许多现代数学家仍然站在牛顿一边，认为他们的工作不仅仅是计算和应用，还有以优雅的方式创新。 ^[13]

牛顿并不排斥计算。他的许多研究都致力于此，因为并不总能找到方程的精确代数解，更不用说解决更复杂的问题了。所以你必须依靠数值计算来解决，代入数字，直至得到精确的答案，这多少会让人想起古代的穷竭法。卡尔达诺就是用这种方法得到他的三次方程的解 x =4的，但牛顿发展的不是一种而是几种系统的数值方法。

至于《原理》，在其首次出版的50年后，仍然有人认为牛顿的方法过于数学化，这使他的方程不能像机械模型那样提供因果解释。在法国，埃米莉·杜·夏特莱及其搭档——咄咄逼人的剧作家伏尔泰都是牛顿早期的支持者。他们曾在18世纪30年代合作出版了一本书，旨在向更广泛的受众介绍牛顿有关引力和光的理论。（除了相信光是一种物质粒子外，牛顿还进行了许多细致的实验，包括那些证明普通阳光是由彩虹的颜色组成的实验。杜·夏特莱进一步提出，不同的颜色与不同的热量有关，这在当时是一个非常前卫的想法。她将床单染成彩虹色，并记录每种颜色干燥所需的时间：紫罗兰色是第一个变干的颜色，然后依次是其他颜色，红色需要的干燥时间最长。这是一个优雅的自制实验，揭示出紫罗兰色是最冷的颜色，而红色是最暖的颜色，但仍需要后来的科学家加以确认和解释。） ^[14] 杜·夏特莱还写了一本比较莱布尼茨和牛顿思想的书。但她留给世人最重要的遗产，是将《原理》从拉丁语翻译成法语，这是人们第一次将其译为英语之外的常用语言。她的翻译如此出色，以至于至今仍然是颇具权威性的法语译本。相形之下，最初的英语译本早已被超越。（现代版本由I.伯纳德·科恩和安·惠特曼于1999年翻译出版。他们发现，杜·夏特莱的翻译对阐释17世纪晦涩的技术术语特别有帮助，这些术语自那时起就变得现代化了。）

杜·夏特莱在大约30岁时才开始接触数学，因为身为女性的她无法接受正规教育（就像一个世纪后的索菲·热尔曼和玛丽·萨默维尔一样），而且她在18岁时就嫁给了一个贵族——夏特莱侯爵。她的知识发现之旅和与伏尔泰的爱情故事极为浪漫，但她作为数学家的成长历程才真正鼓舞人心。她在自己位于香槟地区的城堡里，设立了最先进的图书馆和科学实验室，她和伏尔泰在那里共同招待来自四面八方的作家和学者。访客们要么沉浸在热闹的对话和伏尔泰特意为他们编写的戏剧小品中，要么尽情享受科学研究的宁静空间。正是其中的一位访客激发了杜·夏特莱翻译《原理》的热忱，她当时已经是数学物理前沿领域的权威人士。

在女性没有资格接受正规教育的时代，对一个基本上靠自学成才的女性来说，这仍然是一项令人惊叹的壮举。她最初自学数学，后来聘请了两位法国最好的数学家皮埃尔–路易·莫罗·莫帕蒂和亚历克西斯–克洛德·克莱罗来教她。伏尔泰也听了部分课程，他对杜·夏特莱的数学能力甘拜下风，并送了她一个“牛顿·夏特莱夫人”的绰号。

除了翻译500多页的牛顿巨著本身，杜·夏特莱还提供了180页的附录，其中包括一份110页的概述，介绍了引力理论自牛顿以来的发展，其中包括她的朋友莫帕蒂和克莱罗的贡献，另外70页是附加的数学内容，用以阐述牛顿的工作。牛顿使用了创新的几何构造法而不是符号微积分计算来证明他的大部分定理，即便在使用微积分时也用的是几何构造。 ^[15] 或许霍布斯发出的“一堆丑陋的符号”的谴责仍然在空气中回荡，但牛顿的证明如此巧妙与独特，这让人们无法轻而易举地加以推广。这意味着，人们无法拓展他关于运动的想法，开发新的应用。多少代学者在阅读他的著作时感到头疼不已：他既然发明了微积分，为什么不用它进行更清晰的阐述呢？显然，牛顿认为几何是当时最严谨、最直观的数学表达形式。

比如，从几何上想象速度这样的导数，即利用三角形的斜边的斜率表示距离和时间的无穷小变化，这肯定是极有帮助的。图2–4演示了这个概念，而我们熟悉的莱布尼茨代数符号 则反映了这种直观的几何表达。

然而，在导数的现代理论中，莱布尼茨的微积分符号会造成些许误导，因为 根本不是一个比率或分数，不能把它当作一个数 dy 除以另一个数 dx 所得的商。相反， 是一个作用于函数 y ( x )的算子。在现代语言中，它意味着， 指示你对 y ( x )进行“运算”，求导数。莱布尼茨的导数符号像普通分数一样可以运算。一个经典的例子是“链式法则”，你可以写出这样的方程 ，看上去就像你消去了两个dx一样。

牛顿更加注重严谨性，他没有建立如此清晰的符号。比如，使用莱布尼茨符号，你可以写下 ，这清楚地表明，以速度 v 运动的物体在瞬时d t 内走过了微小的距离d x 。相比之下，用牛顿的符号可表示为 vo = ẋo ，未能显而易见地表达其代表的物理解释。牛顿似乎认为，只要他采用几何构造，《原理》就会更易于理解。他预见到引力理论将会引起争议，所以不想过多地使用新的微积分，因为这门新学科涉及尚未解决的芝诺悖论。当他需要用到微积分时，他往往用图形下的面积和几何比率来表达，如图2–4所示，但他有时也会用代数来解释他的算法和图形。

半个世纪后，在瑞士数学家约翰·伯努利的努力下，微积分符号至少在欧洲大陆上变得更易于接受了。在莱布尼茨与牛顿关于微积分的优先发明权争夺战中，伯努利是莱布尼茨最热情的捍卫者，后来他还与杜·夏特莱的社交圈有过书信往来。在她的《数学原理》（即《原理》法语译本）附录中，杜·夏特莱用代数微积分重新构建了牛顿的几十个证明。而且，英国人无疑会认为这是一种恼人的讽刺，因为她用的是莱布尼茨的符号，而不是牛顿的。 ^[16]

杜·夏特莱、伯努利及其学生通过将牛顿在《原理》中的几何微积分翻译成莱布尼茨的符号，充分展现了牛顿的宽广视野。正是由于他们的努力，微积分在物理学和技术领域的重要作用才得到了证明。

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我们将在后面的章节中探讨矢量和张量微积分的内容，还有矢量和张量的想法及应用。我刚才把速率（speed）看作导数，但正如我在序言中提到的那样，用速度（velocity）表达更为精确，它给出了运动的方向和速率，其中包含了两个不同的信息。这就是汉密尔顿所说的矢量。速率就像任何标量或数字一样，只代表一种性质。

这样看来，矢量的概念似乎非常简单。然而，正如前文中揭示的那样，它对数学家、物理学家和工程师的用途大小也取决于它的符号表达。那么，如何表示和计算矢量呢？接下来我们将开始探讨这一话题，同时回答各种有趣的问题。比如，如果矢量真的这么简单，那么汉密尔顿在布鲁姆桥上迸发的灵感又有什么重大意义呢？

是时候更深入地探索这个故事了。

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[1] 声波反映了空气压力的变化，鹅卵石的冲击波在池塘的水中传播，但太阳光通过空旷的空间传播。那么，在光波中可能会有什么样的波纹呢？长期以来，人们一直假设存在无法检测的神秘物质以太，但麦克斯韦最终给出了答案（见第6章），参见玛丽·萨默维尔的回忆录： Personal Recollections from Early Life to Old Age of Mary Somerville , edited by her daughter Martha Charters Somerville(London: John Murray, 1873),132。

[2] 光学镊子利用激光束的辐射压力移动微小粒子，这是数学预言的另一个例子：麦克斯韦从数学上预言了辐射压力的存在，这一点在30年后的1901年通过实验得到了证实。 Maxwell on radiation pressure: Treatise on Electricity and Magnetism (Oxford:Clarendon Press, 1873, 3rd edition (1891) reprinted in 1954 by Dover), 2:440–41 (arts. 792–93)。

[3] 收藏家于19世纪50年代在埃及买下了阿默士当年的作品，它被称为莱因德莎草纸书，原件现存于大英博物馆。

[4] 有关牛顿的描述，参见Richard S. Westfall, Never at Rest: A Biography of Isaac Newton (Cambridge: Cambridge University Press, 1980)。韦斯特福尔也为《不列颠百科全书》撰写了有关牛顿的条目。

[5] 有关莱布尼茨的描述，参见Philip P. Wiener, ed., Leibniz Selections (New York:Charles Scribner’s Sons, 1951)前言第一页。

[6] 莱布尼茨指出，“微分小于任何给定的量”，而且，“如果某人不愿意接受无穷小量，则可以假定它们的值小到他认为必要的程度，从而不存在可比性，产生的误差也不会有任何后果，或者小于任何给定的大小”。牛顿表示：“量及它们之间的比率在任何有限的时间内趋于相等，而且，在此时间结束之前比任何给定的差更接近彼此，最后趋于相等。”
其现代定义是，假设在合适的区间内有意义的任何 f ( x )，如果对于任何大于零的数字 ε ，都能找到另一个同样大于零的数字δ，使 f ( x )在 a –δ < x < a +δ时满足 L – ε < f ( x ) < L + ε ，则 。对于 f ( x )在 x 趋于无穷大时的极限，如果我们能找到一个数字 M ，使当 n > M 时， f ( x )满足 L – ε < f ( x ) < L + ε ，则有 。这一定义是在牛顿尝试定义极限的两个世纪后才由柯西和威尔斯特拉斯确定的。

[7] 沃利斯在他的《无穷算术》一书中感谢了哈里奥特（以及奥特雷德和笛卡儿），参见Boyer, The History of Calculus and Its Conceptual Development (New York:Dover, 1959), 170。有关沃利斯对哈里奥特的感激与钦佩的具体细节，参见Stedall,“Rob’d of Glories,” 481–90。牛顿第一次发表微积分，参见《原理》第二卷。尽管他在该书中的大部分证明均采用几何方法，但有时也会以代数符号形式给出微积分算法，比如第二卷第二部分的引理2。

[8] 沃利斯对抗费马等人，参见Jacqueline Stedall, “John Wallis and the French: His Quarrels with Fermat, Pascal, Dulaurens, and Descartes,” Historia Mathematica 39 (2012):265–79。虽然沃利斯的观点有些夸张，但它们并非由笛卡儿首创，笛卡儿在撰写他著名的《几何学》之前是否曾经读过哈里奥特的《使用分析学》尚不清楚。当然，科学家各自独立做出某个发现并不罕见，而且笛卡儿在这方面的发展远超哈里奥特。但笛卡儿有时给出的资料来源确实不清楚，就连其法国同胞、韦达的编辑让·博朗格也指出了笛卡儿与哈里奥特二人工作中的相似之处。参见Stedall, “Rob’d of Glories,” 488–89,and Jacqueline Stedall, “Reconstructing Thomas Harriot’s Treatise on Equations,” in Thomas Harriot , vol. 2, Mathematics, Exploration, and Natural Philosophy in Early Modern England ,ed. Robert Fox (Farnham, Surrey: Ashgate, 2012), 62, and also Carl Boyer, The Rainbow: From Myth to Mathematics (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1987), 203, 211。

[9] Excerpt from his biography in John Stillwell, Mathematics and Its History (New York: Springer-Verlag, 1989), 110–12.

[10] See the Bodleian Library’s description of J. Wallis, A Collection of Letters and Other Papers , MS e Mus. 203, at https://archives .bodleian.ox.ac.uk/repositories/2/resources/5805; and J. J. O’Connor and E. F. Robertson, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wallis/.

[11] 爱因斯坦对牛顿的评价来自 Ideas and Opinions (1954; New York: Three Rivers Press, 1982), 254–55。

[12] 胡克对于行星运动的研究，参见Michael Nauenberg, “Robert Hooke’s Seminal Contributions to Orbital Dynamics,” Physics in Perspective 7 (2005): 1–31。给予胡克应有的尊重是很重要的，尽管我倾向于认为诺伯格夸大了胡克的数学能力，因为胡克的论点建立在一个单一结构的基础之上，而该结构很可能是在他读过牛顿的《论物体的运动》论文初稿之后于1685年提出的。胡克通过一种随距离直接变化的力来构建轨道，他使用了一种新颖的方法，但与《原理》中针对各种力和运动的数百种计算相比，这不过是一种计算而已。

[13] 参见letter to Halley quoted in Nauenberg, “Robert Hooke,” 7。诺伯格称之为一种“谩骂”，但依我看，他在为胡克辩护时有点儿过激。关于现代数学、计算与创造性对比，帕特里克·班格特异想天开的报告［发表于Australian Mathematical Society’s Gazette 32, no. 3 (July 2005)］表明，许多数学家都认为他们的课题与模式、语言、艺术或逻辑之间的关系大于应用。同样，2021年7月，奥利·瓦尔纳报道了学会成员对澳大利亚数学课程修订建议的反馈，他们批评其过于功利的做法。充分运用数学当然是令人兴奋的，对于社会也至关重要，但瓦尔纳对此表示哀叹，该建议“并未做出足够的努力来传达数学的内在美，以及人们可以从学习与理解新的数学概念中获得的乐趣”。

[14] 在蒸发过程中，热量提高了水分子的动能，使其能够逃脱将水分子结合成液体的电子键。紫色布料将较冷的紫色光反射到我们的眼中，同时吸收了热量，因此干得最快。

[15] 牛顿想计算在向心力作用下下落物体的速度，并将力定义为同速度增量（ I ）与时间增量的商成正比，即 dv/dt 的一种几何/微分版本；但他也以现代方式找到了 v ² 的导数，通过[( v + I ) ² – v ² ]/Δ y 得到2 v d v/ d y （他之所以使用 v ² ，实际上是为了证明动能是力所做的功）。

[16] 更多资料参考 Seduced by Logic: Émilie du Châtelet, Mary Somerville and the Newtonian Revolution (New York: Oxford University Press, 2012)。 duWFDZT5ZMlK93KXyaPG98iThbKI96AZSUTe2Bmpb81v06uqKH9fapFkcsSEDwPP