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数学家用了将近2500年的时间才总结出极限理论，有了它，就能为芝诺悖论和微积分提供令人满意的解决方案。最早的步骤之一涉及“收敛的无穷级数”的概念，对于这种级数，是可能将无穷多个越来越小的项相加，并从数学上证明结果是一个有限值的。数学爱好者们可能会意识到，芝诺那个从
A
到
B
的问题实际上是一个几何级数
…，它的和等于1。所以，你确实可以走完A和B之间的所有距离。不过，并非所有无穷级数都会“收敛”（即加出有限值），因此极限理论是区分它们的关键所在。积分也需要将无穷个量相加，你可以看到，它的历史与早期无穷级数的工作密切相关。
尽管极限和收敛的想法直到现代才得到了严格证明，但古代和中世纪的数学家早已使用巧妙的几何构造来得出有限级数的和了。他们用文字形式书写级数和算法，而第一个像我们今天所做的那样，用数字和符号形式书写级数的人似乎是哈里奥特，他在1600年左右完成了这项工作。他在一次步骤复杂但技巧熟练的计算中，使用了一个无穷几何级数和一个直观的极限论证，找到了计算螺旋线长度的代数表达式，从而得到了一艘船沿着固定的指南针方向在弯曲的地球上驶过的距离。（他的资助人沃尔特·罗利爵士希望获得最前沿的专业科学知识，以使航行更安全、更高效，因为他正计划从英国横渡未知的海洋到达美洲。）开始时，哈里奥特将螺旋线分割成小段，并假设它们的数量无限多，且长度不断减小。他用了几十页纸耗费几个月的时间来完成这项工作。除了早期对圆周长的估算之外，这是现存第一份用代数方法推导曲线长度的文献资料。今天，积分被用来计算这样的长度，如图2–3b所示。哈里奥特如果知道他的代数符号方法直接影响了英国的微积分先驱约翰·沃利斯，而沃利斯又影响了牛顿，那么他一定会很高兴。 [7]
图2–3b及相关框图还显示，要用微积分计算曲线的长度，你需要知道曲线公式，而这涉及“解析几何”领域。哈里奥特也在这方面做了一些尝试，但真正推广了解析几何或者说代数几何的人是笛卡儿，我们以他的名字“笛卡儿”命名直角坐标系。笛卡儿也没有发现利用这些坐标写出表示几何曲线（如上图2–3中的圆 x 2 + y 2 = r 2 ）的代数方程的非凡威力。他的主要目的是，证明将代数和几何结合起来解决问题会更容易：代数符号解放了思维，不必将复杂的几何构造可视化（像卡尔达诺那样配出立方解），而几何让代数运算有了具体的意义。20年后，沃利斯对这一问题的看法就不那么公正了，他显然更偏爱代数而不是几何。
沃利斯也更偏爱英国人而非法国人，因为他对费马等法国人对他早期工作的回应深感恼火。他还坚信，笛卡儿抄袭了哈里奥特的作品《使用分析学》，而当时持有这种观点的不止他一人。 [8] 不管怎么说，沃利斯在1655年出版了《无穷算术》一书，向代数微积分迈出了重要的一步。他甚至为无穷创造了一个符号，就是我们今天使用的∞。罗马人曾经用这一符号表示1 000。它也不时出现在各种情境中，比如，在埃及的蛇吞尾图像中，它象征着生与死的无尽循环。谁也不知道沃利斯为什么用它来表示无穷，或许他对这个符号的古老神秘含义印象深刻，但他更有可能是出于自己的加尔文主义者立场而做出了这样的选择，因为它代表一条永无止境的曲线。
沃利斯的故事让我们窥见了牛顿一鸣惊人之前的数学和政治背景。沃利斯是肯特郡一个乡村牧师的儿子，幸运的是，他的家人认识到他的才能并且支持他的学术追求。他最终去了剑桥大学，尽管他在那里并没有学到多少数学知识。圣诞节放假回家时，他注意到他的弟弟为了一笔交易正在学习算术，这才意识到这个学科的存在。出于好奇，他也跟着上了一课。正如他后来说的那样，
当时的数学并不被视为一门学科，而是只有交易员、商人、海员、木匠、土地测量员才需要了解的知识……在我所在学院（剑桥大学伊曼纽尔学院）的200多人中，我不知道还有谁的数学知识比我多，不过我的数学知识也很少。在我当上教授之前，从来都没有认真地学习过它（除了作为愉快的消遣）。 [9]
的确有这样一种说法：学习某门学科的最佳方式就是去讲授这门课！沃利斯一定学得很好，因为他成了牛顿出现之前最优秀的数学家之一。然而，这是一段相当曲折的历程。首先，他获得了神学专业的文学硕士学位。随后，他在剑桥大学女王学院获得了研究员职位，但任期很短（那时候的研究员必须是未婚人士，所以1645年新婚的沃利斯转任牧师）。之后，他偶然发现了自己擅长破译密码的才能。当时内战正酣，一位牧师同僚向他展示了一封被截获的密信，半开玩笑地问他能否破译。他在几小时内就破译了信息，这让沃利斯自己都感到十分惊讶。这也成为他人生中的一个转折点，因为当国王于1649年被处决时，如果你能证明自己对胜利者的忠诚，将会非常有用。沃利斯为议会党人破译了许多密码，展示出他的数学才能。牛津大学的萨维利安几何学教授因为是保皇党人而被解职，沃利斯随即被任命为接任者。（尽管他支持议会党，但也曾公开反对处决国王，并相当勇敢地在一份抗议文件上签了字。这一举动使他在君主制恢复之后，仍然受到当权派的青睐。此外，他更喜欢数学而不是政治，正如他对他的保皇党朋友所说的那样，他破译的大多数信息对议会党人来说并没有多大用处。） [10]
在牛津大学任职6年后，沃利斯出版了他的著作《无穷算术》。当时，大多数数学家仍然倾向于用有形的几何思想来开发处理无穷和无穷小增量的方法，在这个问题上，托马斯·霍布斯尤其直言不讳。他因为悲观的政治哲学论调而知名，即没有国家的保护，生活就会是“肮脏、野蛮和短暂的”。但他也涉猎数学，并宣称沃利斯的《无穷算术》是一本“糟糕的书”和“一堆丑陋的符号”，以此表达他对几何的偏爱。事实上，他谴责“所有将代数应用于几何的人”，他显然不是一个胸怀开阔的人。
尽管霍布斯和他的几何学同僚都支持几何，但10年后，正是沃利斯的书首次引导青年牛顿走上了微积分之路。20年后，牛顿写出了他的经典著作《原理》，它的全名是《自然哲学的数学原理》。就像当时的大多数欧洲学者一样，牛顿也用拉丁文写作。在这里，我应该补充一点：“物理学家”这个词是在19世纪诞生的，在此之前，理论物理被称为“自然哲学”。凭后见之明可知，两者的区别在于：自然哲学侧重于逻辑论证，而理论物理提供可以用实验检验的解释和预言，这也是牛顿倡导的观念转变。比如，传统的自然哲学家提出了“逻辑”假设，即某种机械的力量（如巨大的以太旋涡）携带着行星在轨道上运转。除了他们对行星运动的“解释”之外，没有实际证据表明这些旋涡确实存在。相比之下，牛顿则基于可观测的事实，给出了行星运动的解释，并从中推导出任何两个物体之间引力的定量公式，包括行星和太阳：这种引力与它们的质量之积成正比，与它们之间距离的平方成反比。在符号代数中，这就是著名的平方反比定律，即 F =G mM / r 2 ，其中 m 和 M 是质量， r 是距离，G是比例常数。也正是在《原理》中，牛顿首次发表了他的微积分一般算法，并用这些算法来研究运动理论。这些运动定律和万有引力定律如此普遍，以至于它们能够解释一片叶子的飘落、潮汐的涌动、抛出的球在空中的运动轨迹以及行星的运动轨道。这真是一项惊人的成就。
爱因斯坦详细解释了这一成就的重要性。“在牛顿之前，”他说，“不存在有关经验世界的更深层次特征的自洽物理因果系统。”他补充说，开普勒基于观察到的行星运动规律，包括行星运行的椭圆轨道，确立了行星是如何运动的，但也没有解释其中的原因。那是因为“这些规律关注的是运动的整体，而不是系统的运动状态如何导致随后发生的情况，它们正是我们现在所说的积分定律而不是微分定律”。 [11] 我们很快就会谈到牛顿微分形式的第二运动定律。稍后我们将看到，这种偏好微分而不是积分的倾向，是詹姆斯·克拉克·麦克斯韦揭开光之奥秘的关键所在。