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于是，早期天才的代表人物出现了，他就是艾萨克·牛顿。根据《牛津英语词典》，“天才”的定义是：“具有卓越的智力或创造力或其他自然能力或倾向的人。”这是一个在日常用语中常被滥用的词语，但它对牛顿来说名副其实，对我们将在这个故事中遇到的其他极具创造力的数学家和数学物理学家来说同样适用。他们的思想如此新颖，能够在数学革命中发挥关键作用，而这些革命为我们带来了矢量和张量微积分。当然，就连这些杰出的思想家也需要同行的启发和帮助，因为在现实生活中，“孤独的天才”几乎不存在。在长达200年的时间里，牛顿被神化为旷古绝今的天才，这种看法塑造但也限制了人们对数学家和理论物理学家的印象，直到19世纪末。毕竟，我们不可能都是天才，历史上许多优秀的数学思想家都曾做出过重要贡献。我们将在这个故事中遇到其中一些人，包括帮助这些备受赞誉的天才取得突破的同行。
牛顿之所以被称为天才，原因之一是他在数学和物理的许多分支中都做出了杰出贡献。用现代语言来说，他是一位实验物理学家，特别是在光的研究方面；他也是一位理论物理学家，特别是在关于运动和引力的理论方面；他还是一位应用数学家，就他和这个故事中的其他人及今天的许多研究者而言，当数学被应用于自然物理过程时，应用数学家便与理论物理产生了交集；他更是一位纯数学家，一个发明新的数学方法、概念和证明的人，专注于严谨性和美感。这些“纯”技术为应用数学家和理论物理学家后来的实际应用奠定了基础，微积分就是其中一个经典的例子。
微分和积分是微积分的两大分支，牛顿第一个为微积分找到了用符号表示的一般算法，并清楚地证明了它们之间的关系，他证明了积分是微分的逆运算。戈特弗里德·莱布尼茨也产生了这种想法，因为在哈里奥特、伽利略、皮埃尔·德·费马（因费马大定理而闻名）、艾萨克·巴罗（牛顿在剑桥大学的导师）和约翰·沃利斯等先驱者的努力下，微积分已“呼之欲出”。正是基于他们的工作，以及他们所追随的数学先贤做出的贡献，从古代的阿基米德和欧几里得到中世纪的海什木和尼古拉·奥雷斯姆，莱布尼茨和牛顿才各自独立创造出微积分的明确表达形式。
这两位创始人没有任何相似之处。牛顿对他的发现讳莫如深，因为他无法忍受自己可能会遭到批评的情况。他对很多事情的态度都相当古怪，尽管我对他有些许同情。20岁出头且待在母亲农场中的他，在1665—1667年伦敦大瘟疫期间，取得了微积分、光学和引力理论的初步突破。如此辉煌的成就，很难不令人感到敬畏，也很难不令人同情那个内心惶恐的青年。在他出生前，他的父亲便死于奥利弗·克伦威尔的议会党和查理一世的保皇党的内战中。对他的母亲汉娜来说，这必定是一段可怕的时光。她的丈夫死了，战事如此激烈，甚至波及了她农场附近的村庄。于是，她嫁给了富有的教区长巴纳巴斯·史密斯，并搬到了另一个城镇。不幸的是，因为史密斯的坚持，她把小牛顿留给外祖母照看。牛顿曾想过放火烧毁史密斯的房子，烧死他的母亲和史密斯；但事实上他唯一表现出来的破坏性行为就是偶尔的艺术涂鸦，或者时不时的夜间恶作剧，比如用爆炸的风筝吓唬迷信的村民。史密斯去世后，汉娜才回到牛顿身边，还带来了三个同母异父的弟妹，那时的牛顿大约10岁。 [4]
莱布尼茨的性格比牛顿要开朗得多。用莱布尼茨学者菲利普·维纳的话说：作为一个真正的文艺复兴时代的人，他是“一位律师、科学家、发明家、外交家、诗人、语言学家、逻辑学家，也是一位哲学家，虔诚地捍卫理性的培养，认为它是人类进步的希望”。 [5]
莱布尼茨6岁时，他的哲学教授父亲就去世了。他的外祖父是法学教授，莱布尼茨后来不仅获得了法学学士学位，还取得了法学博士学位。相比之下，牛顿的父亲是一个受教育程度很低的农民，他的母亲并不理解他的高智力、激情和才华：她在牛顿17岁时要求他退学，但他将农场管理得一团糟，母亲这才接受了校长和她受过剑桥大学教育的兄弟的建议，允许牛顿上大学。牛顿只能靠为一名富有的学生当仆人来支付剑桥的学费。对牛顿和我们来说幸运的是，他很快就成了那里的教授，并做出了惊人的发现。
学生时代的莱布尼茨没有像牛顿这样的烦恼，毕业后的他即过上了相当舒适的生活。他周游欧洲，替他的贵族资助人执行外交任务，并在途中与科学家和哲学家会面交谈。他建立了一个庞大的网络，包含约600名通信者——他是一位多产的书信作家，对世界和平、哲学和科学有着宏大的想法。尽管他有广泛的兴趣爱好和专业职责，但他仍然表现出了非凡的数学才能。学者型的牛顿是杰出的数学家和实验物理学家，而多才多艺的莱布尼茨也取得了重要发现，并且更擅长创造符号。
我在上一章强调了代数从文字到符号的缓慢发展历程，但在现代微积分发展的早期阶段，在韦达、哈里奥特和笛卡儿引入真正的代数符号半个世纪后，情况变得截然相反：微积分符号代表的概念是时人无法用文字充分解释的。这就是符号思维的特殊威力，它可以在初期带你进入超越一般性理解的新领域。
比如，尽管我一直在谈论“无穷”和“无穷小”量，但它们的定义非常难下。现代词典对“无穷小”的定义是“极其小”，但这对数学家来说没有什么意义，他们需要更精确的表达。直到牛顿–莱布尼茨微积分诞生的200年后，数学家才借助关于极限、连续性和函数的理论，找到了精确的定义。当你考虑计算运动物体在任何给定时间点的速度时，你需要比较它在那个时间点的位置和它在那一时间点后的位置，再用二者之差除以那个瞬时。但是，“瞬时”又是什么意思？你如何定义位置的增量？它们显然都很小，但小到何种程度？
牛顿称这些无穷小的变化为“瞬”，用符号
ο
（希腊字母omicron，意为“几乎为零”）表示。莱布尼茨称它们为“差分”或“微分”，并用d
t
、d
x
等符号表示。对于距离
x
相对于时间的变化率，牛顿使用了一个点（如
ẋ
）来表示；而莱布尼茨则用“比率”表示，比如将
x
相对于
t
的变化率、
y
相对于
x
的变化率分别写成
、
等。实际上，莱布尼茨主要使用的符号是d
y
∶d
x
。他的追随者们（特别是约翰·伯努利）将该比率推广为
的形式。你能看出谁的符号最终胜出，虽说牛顿的点标记法仍用于相对于时间的微分，在研究运动、波、场及随时间变化的各种其他量时都很重要。
牛顿和莱布尼茨都意识到了“无穷小”这个词的含义。莱布尼茨尝试通过完善古代的穷竭法来解释它，而牛顿则对我们现在所说的极限下了一个合理的初步定义。（你可以在书末注释中看到他们的这些尝试， [6] 以及与现代定义的比较，我在图2–4中也概述了极限的想法。）然而，在他们的计算中，莱布尼茨和牛顿经常做任何精明的学生都会做的事情：忽略这些微小的增量和瞬时，认为它们太小而无须担心。这有点儿像你在购买124.99美元的商品时，几乎不会计较从125.00美元中找回的1美分。这在实践中运作得很好，但与1美分一样，一“瞬时”实际上并不为零。如果你假设它是零，当你想要除以一“瞬时”时，你就会遇到理论问题。比如，要找到瞬时速度，你必须尝试做不可能的事情，即除以零。更糟糕的是，距离的微小变化也近似于零，这导致你将面临计算0除以0的难题。
正如阿基米德发现的那样，尝试进行无穷小量的相加已经够困难的了，更不用说将它们相除计算导数了。传说早在公元前450年，芝诺就在他的著名悖论中强调了这个困难。比如，他说，要从A点跑到B点，你必须先到达AB的一半；但在到达一半之前，你必须跑过1/4的距离，以此类推，永无休止。这意味着你永远无法真正开始。当然，每个人都知道，你完全可以从A点跑到B点。至少从现代的角度看，芝诺似乎只是为了说明给运动下定义是何等困难，因为它涉及距离的无穷小增量和时间的无穷小“瞬时”。