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早在那次布鲁姆桥电光石火的灵感迸发的10年前，汉密尔顿就利用微分学获得了他的第一个重大发现。他从理论上预言了一种新的光学现象，即在某些晶体中存在一种从未有人观察到的特殊折射。
光学研究光的行为，这对物理学家和数学家来说都是一个激动人心的话题，尽管谁也不知道光究竟是什么。然而，越来越多的物理学家产生了与牛顿不同的观点，认为光不是粒子而是某种波。麦克斯韦将这一观点推向了极致，并在这一过程中突出展现了矢量微积分的重要性。但主流观念直到1801年才开始发生转变，这得益于一个物理学中的经典实验——托马斯·杨的双缝实验。
该实验的基本想法是：观察两束光相互影响时会发生什么，以及由此产生的相互作用模式符合波还是粒子的性质。你可以看到，向一个池塘中投入两块石头时产生的波的模式。石头撞击水面产生由内向外扩散的同心圆波纹，在某些地方，来自一块石头的波峰会与来自另一块石头的波峰相遇。当发生这样的情况时，水面上升，两处波峰结合并产生更高的波峰。如果你用光做同样的实验，并且光确实以波的形式传播，你就会看到两束光波相互加强时亮度增加的效果。而在某些地方，水表面的波则相互抵消：一列波的波峰与另一列波的波谷相遇，水面因此变成平的。这种效果在光学中就相当于暗斑，因为光波相互抵消，光就消失了。那么，光到底是不是波？这就是托马斯·杨想要探索的问题。
他让光通过两个微小的针孔，形成两束光，并让这两束光照射到屏幕上，从而显现出“干涉图样”。如果光是由粒子构成的，每束光就会径直前行，你将看到两个与针孔方向一致的明亮斑，类似于有两个开口的邮筒所投下的两堆信件，或者两股射向屏幕的乒乓球流。但如果光以波的形式传播，两束光就会绕过针孔（即“衍射”），产生像池塘波纹一样的圆形波纹，而相互交错的波纹会在屏幕上产生明暗相间的干涉图样。果不其然，这正是杨所看到的，所以这是一个绝佳的实验。一个世纪后，爱因斯坦引入了光子的概念。光子与牛顿风格的物质粒子不同，但在与原子的相互作用中，它们可以表现出类似粒子的性质。除了这一奇异的发现，量子物理学家还改进了杨的实验，证明光子和电子等亚原子物质粒子都能产生波的干涉图样。换言之，在一定条件下，光和物质都可以表现出波或粒子的行为。但此乃后话，当下我们还是回到杨的光波理论。
杨是玛丽·萨默维尔的朋友，据她回忆，起初在英国很少有人认真对待杨的光波推演，因为没有人愿意贬低伟大的牛顿。（事实上，当时牛顿拒绝波动理论的理由很充分。）但阻碍人们接受杨的实验结果的不仅是牛顿的名声，也有现实情况，谁也不知道光波可能是由什么构成的，或者它怎样才能穿越真空从太阳到达地球。不过，这并没有阻止19世纪早期的数学家，比如汉密尔顿，从理论上探索光波。从牛顿时代的克里斯蒂安·惠更斯开始，研究人员为此前赴后继。 [1]
在分析光波通过各种形状的晶体时的表现的过程中，汉密尔顿发现，当这些波从某一特定方向进入某种类型（被称为“双轴”）的晶体时，它们会被折射成一个光锥，而不是你在普通棱镜中看到的光带。今天，“锥形折射”的激光束具有各种实际用途，包括操控化学分子或血细胞的光学镊子，以及用于自由空间光通信。 [2]
然而，在1832年年初，谁都没有见过锥形折射现象（更不要说激光了）。于是，汉密尔顿请他的实验物理学家兼好友汉弗莱·劳埃德出手相助，看能否发现这种新型折射。实验成功了，汉密尔顿一举成名，因为这可能是数学第一次被用来预言物理现象的存在，而不是解释已知的物理现象。随之而来的突破还有很多：关于海王星存在的预言将在10年后出现，以及随后的一系列预言，从无线电波和辐射压力到光子、 E = mc 2 ，再到希格斯玻色子和引力波等。
* * *
不到20岁，汉密尔顿就已发表了第一篇有关光学的数学论文，他对锥形折射的数学预言被验证时才27岁。而他做出这一非凡预言借助的主要工具之一就是微积分。
微积分有两个分支：微分和积分。微分的本质与变化率有关，比如速度，即距离随时间的变化率。在对折射的研究中，汉密尔顿使用导数来显示某些与光程长度和波速有关的量在晶体表面的变化状况。各种光滑变化的现象都可以通过微分学建模，比如加热和制冷、生物和原子的生长和衰减、各种类型的波、生态系统、热梯度和地形梯度、数学函数的斜率、金融趋势等。
至于积分，它作为一种计算工具，是为了解决古代数学家曾经面对的难题而开发的，比如，计算田地和平面图形的面积，以及水池和运河的容积。这样的应用在今天的科技社会中就更多了，比如，计算飞机机翼的升力面面积；确定制造产品所需的原材料面积（从计算机和汽车车身到桥梁和摩天大楼）；通过密度和体积确定建筑材料的重量，以确保结构有足够的承重能力；在手术期间监测患者的血容量……我可以列举出更多，但你应该看到了它的应用范围有多广泛。
你可能是通过求曲线 y = f ( x )下的近似面积而首次接触积分学的。其中， f ( x )是描述某一曲线的关于 x 的函数，比如，对于以原点为中心和焦点的抛物线， f ( x )= x 2 。该曲线下的面积近似等于很多个细长的矩形面积之和，其中每个矩形的面积为 y d x ，如图2–1所示。你使用的矩形数量越多，每个矩形就越细长，得到的近似值就越精确。这是一种直观的几何方法，但通过积分算法的代数公式，你可以将无穷多个细长矩形“加起来”，得到准确的面积。你也可以用类似的方法计算体积，即将无穷多个圆柱形切片加起来，每一个的体积都趋于无穷小。
如今，“将无穷多个加起来”这句话很容易理解，但能够操控无穷确实相当了不起。与回避我们之前遇到的虚数一样，古代数学家也完全回避了“无穷”这个概念。
比如，如果你今天想要严格推导圆的面积（π r 2 ）或周长（2π r ）公式，你就会对它的代数方程积分，如图2–3所示。相比之下，大约3500年前，埃及抄写员阿默士在一份奇迹般保存至今的莎草纸书上记录了一个简单的几何结构，用一个八边形近似求一个圆的面积。如图2–2中所示，他得到的面积计算结果，出人意料地为π这个常数提供了一个相当准确的近似值。要得到圆的近似周长，阿默士只需要用毕达哥拉斯定理求出4个角处的直角三角形的斜边长度，再对八边形的各边求和。 [3]
图2–1求曲线下方的面积。阴影矩形对应于图像上的一般点 (
x
,
y
)，其面积（长乘宽）为
y
d
x
。当你对函数
y
=
f
(
x
)在
x
=0到
x
=
b
之间积分时，你实际上是在计算当d
x
趋于无穷小时所有这些矩形的面积之和。这个积分写作
，或者更具体地说，这个函数写作
。它等于由
x
=0、
x
=
b
、
x
轴（即
y
=0）、
f
(
x
)这4条线围成的图形面积
在阿默士记录了他那个时代的数学的1000年后，讲希腊语的数学家发明了“穷竭法”。这种方法通过增加多边形的边数来求圆的近似面积，直到达到所需的精度。这是古代数学家对严谨性的一次杰出尝试，叙拉古的阿基米德就是其中之一。为了求圆的周长，他从一个内接正六边形开始，再将边数加倍，比较前后两个多边形的周长。他不断地加倍边数和比较周长，由此找到了一种算法，用于比较从正六边形到正96边形的周长。这无疑是一个令人印象深刻的计算壮举。如果你想象画出它，你就会发现，正96边形的周长与圆的周长非常近似，足以让阿基米德将π值精确到
之间。这个上限值是很多人在学校里学到的：
，即3.14286，而π的现代值为3.14159（两者都四舍五入至小数点后第5位）。
然而，将96个边相加并不等同于将无限个边相加，后者将多边形变成了一个真正的圆。相比之下，在微积分中，曲线的长度是通过积分曲线的微小线段的代数公式来求得的，这个微小线段用d s 表示。它相当于阿基米德96个边中的一个无穷小的边，其长度是通过类比毕达哥拉斯定理来求得的。在图2–3b的例子中，你可以看到它甚至与阿默士的方法也有某种原始的相似性。
图2–2古埃及人如何估算圆的面积和周长。图中正方形的边长为9个长度单位，所以它的面积是81个平方单位。内接八边形的面积=正方形的面积减去4个角处的三角形面积= 81–4×（3×3/2）=63个平方单位。这看起来非常接近64个平方单位，而√64比√63更容易计算，所以在阿默士的记录中，圆的面积等于边长为8个长度单位的正方形的面积。由于八边形可被近似视为正方形的内切圆，所以圆的半径为9/2个长度单位。圆的面积公式是
A
=
Nr
2
，其中
N
相当于π：
N
=
A/r
2
=64 /（9/2）
2
=256/81≈3.16，π的现代值略大于3.14。
使用毕达哥拉斯定理计算四角处三角形斜边的长度，然后将八边形各边边长相加，并与半径为9/2的圆周长公式做比较，即可知埃及人给出的π的近似值为3.2，十分接近3.16
图2–3a用积分法求圆的面积。这里的基本想法是：先求出半圆
与
x
轴围成的面积，再乘2
图2–3b用积分法求圆的周长。这里的基本想法是：将所有的小弧段d s 相加（我会给出计算方法，但与本书其他部分一样，如果你对这些细节不感兴趣，就可以跳过它们，继续阅读下面的故事）
选择极坐标，令 x = r cos θ ，则对于给定的半径 r ，我们有d x =– r sin θ d θ ；再令 y = r sin θ 。（下一章图3–4将给出sin θ 和cos θ 的定义，但那里的半径为1。）然后，使用倍角公式，我们可以得到：
之后，在第二个积分中交换积分上下限，以去掉d x 的负号，最后求得半径为 r 的圆的面积是：
你也可以用相对简单的二重积分来完成这一计算（我们将在第6章简单介绍二重积分）。
再次令 x = r cos θ , y = r sin θ ，则对于给定的半径 r ，我们可以得到d x =– r sin θ d θ ，d y = r cos θ d θ 。因此，无穷小的周长弧段为：
从 θ =0至 θ =2π，围绕整个圆积分，我们求得半径为 r 的圆的周长为2π r 。
如果阿基米德没有在公元前212年罗马人围攻叙拉古时被杀，他就有可能发明微积分。他离世时大约75岁，杀死他的士兵显然不尊重长者或数学。据说，阿基米德因为太专注于计算，结果没有听到士兵的命令。2000年后，在法国大革命期间，一位了不起的青年女性读到了这个故事。阿基米德对数学的痴迷令她激动不已，并下定决心钻研数学。但她只能自学，因为那时候的大多数女孩都没有接受教育的权利。像几乎所有人一样，她的父母认为女性的身体通常比男性弱小，繁重的学习会损害她的健康，令她无法生育，甚至会使她发疯。她就是索菲·热尔曼，20世纪前最优秀的女数学家之一。她在自己最重要的研究中使用了微分，创立了振动表面的数学理论。
虽然阿基米德不幸离世，但如果他有关这一主题的最重要手稿未被中世纪的抄写员部分洗掉并覆盖，微积分可能早就出现了。这份手稿直到1906年才被发现，它表明阿基米德曾有过一些非凡的发现。他仅仅使用具体的几何图形和机械类比法，便找到了计算球体和曲面形容器体积的方法，这是今天在大学积分课程中教授的“旋转体”体积的计算方法的雏形。但这位天才的杰作以及这些宝贵的信息早已遗失，以至于早期数学家不得不重新发现这些方法。