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随着物理学的发展，数学已成为解决物理问题不可或缺的重要工具，而联接数学与物理的核心纽带，便是建立起既涵盖所需物理条件，又便于数学运算的模型。
如图1-3，设机械波在细长棒中以速度v自左向右传播，以波到达O点开始计时。根据惠更斯原理，细长棒的O点可看做新的波源。现分析波在L段中的波能量，设L段在波作用下所产生的线变为
，其弹性恢复力为F，如此便形成了整个L段的弹性势能。而L段的伸缩运动，则形成波的动能。如此，L段中的势能和动能，便与波紧密地结合起来。可知，
与图1-1中P点的振幅y等价，而L则与x等价，即式（1-2）的
，
。
根据胁强与胁变的关系，即杨氏弹性模量定义，得：
（1-14）
图1-3 纵波能量的重新推导示意图
根据胡克定律
和弹性势能公式，并结合式（1-14），得L段的弹性势能为：
（1-15）
将体积
和波速
代入式（1-15），得：
（1-16）
频率为周期倒数，相当于旋转矢量旋转一周所需时间的倒数。角频率
等于旋转矢量旋转某一角度，所需时间的倒数。设波由O点传播L距离所需时间为
，则
，将
和式（1-2）代入式（1-16），得：
（1-17）
L段形变时的伸缩运动，形成的L段动能，与式（1-5）的导出过程完全相同，只需将式（1-5）的微分形式改写为普通形式即可，为：
（1-18）
比较式（1-17）与式（1-18），可知波的动能和势能，相位相差90°，这与孤立振动系统的动能与势能转换关系完全相同。如此，便得到了动、势能相互转换，且符合机械能守恒定律的机械波能量传播方程。将式（1-17）与式（1-18）相加，并将原始定义
代入，得L段的总波能量为：
（1-19）
当图1-3中的L趋于零时，则式（1-19）或者式（1-17）和式（1-18），便代表了细长棒的任一微元中，波所具有的全部势能和动能。可见，图1-3完整地展现了某段媒质中，波的全部动能和势能。至此，机械波的零点困难被彻底解决。
再从波的物理机制角度看，振动是波的源，波是振动在介质中的传递过程，波在本质上就是媒质质点的振动，所以棒的任一微元中也可看做只有一个质点振动。根据惠更斯原理，波在细长棒中传播时，棒的任一微元都可看做波源，即振动源。由此可知，波能量与振动能量只能具有相同的数学表达形式，而无须借助本节复杂推理过程。重新推理只是为了增强可信度，也是否定错误结论的必须过程。目的是让人们更清晰地认识到，无论问题的复杂化还是简单化，其结果都应殊途同归，这是完美理论的必备特征。