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既然y=y´和z=z´结果不能成立，那么就需要用更为科学严谨的逻辑，对时空变换式进行重新推导。
如图3-3，各对应坐标轴始终互相平行的S、S´惯性系，沿任意方向以恒速v做相对平移运动。因两惯性系的对应坐标轴互相平行，则速度v与两惯性系中各对应坐标轴间的夹角相等，即
（i=x，y，z）。以两惯性系原点重合的瞬时作为计时起点，由原点发出一沿速度v方向的光信号。根据光速不变原理，光信号到达任意点P的坐标，在两惯性系中分别为：
（3-22）
（3-23）
式（3-22）（3-23）中的
（i=x，y，z）
，是光速在各坐标轴上的速度分量。
在3.1.2节中已经证明，做相对运动的两惯性系，在运动方向上的坐标变换为线性关系。同理可证，图3-3中的两惯性系，对应坐标轴上的坐标变换，同样为线性关系。则点P在两惯性系中的坐标变换关系为：
（3-24）
（3-25）
式（3-24）（3-25）中的
（i=x，y，z），是速度v在各坐标轴上的速度分量。根据相对性原理，要求
（i=x，y，z）。
图3-3 两惯性系沿任意方向相对运动
将式（3-22）（3-23）（3-24）（3-25）联立为方程组，可得（参考3.1.2节。也可参照各种相对论专著中的方法求解，只是过程稍显复杂）：
（3-26）
同理可得
，即两惯性系各坐标轴方向的变换系数皆相等，即：
（i，j=x，y，z）（3-27）
再看时刻变换式的推导，由图3-3知，
，
。对式（3-25）中的
的等号两边除以
，并将式（3-27）代入，得（其实，使用任一条坐标轴的变换式，皆可得到如下结果）：
（3-28）
由解析几何知，
（参见图3-3），则式（3-28）表示为：
（3-29）
整理式（3-25），并与式（3-29）联立，得：
（3-30）
为应用方便及与旧时空变换式相比较（为表述方便，修正前的相对论，后文中皆冠以“旧”字，而修正后则冠以“新”字，以示区别），设
，则
，即将速度v调整至为xx´轴向，则y、z轴向的坐标和速度分量都为零，此时
。整理式（3-30），则新时空变换式为：
（3-31）
同理，新时空逆变换式为：
（3-32）
将式（3-31）（逆变换式略）表示成矩阵形式，则为：
（3-33）
式（3-33）表明，
不同惯性系之间的时空变换，不再是从前的“一组线性变换”，而是两惯性系的整个时空为线性变换。
新时空变换式（3-31）（3-32）与旧时空变换式（3-1）的明显区别，就是y´与y及z´与z不再是相等的关系，其正逆变换因失去了
的作用而不能再联立为方程组。由此可看出，
变换式直接明确了观察系和运动系，是有别于数学方程的，这对于正确理解狭义相对论，有着极其重要的意义。
由于导出新时空变换式的数学模型，其建立前提不再仅局限于沿xx´轴方向，而是沿任意方向，其逻辑推理过程严谨，适用范围真正做到了涵盖整个空间。这也再次显露出，数学模型是理论建立的极为关键环节。
关于闵可夫斯基时空，其并没有增加任何实质性内容，它只是使狭义相对论显得简洁紧凑些而已。不过这对争议从未间断过的相对论来说，这种更抽象化的做法只能使争议问题更加复杂，无形中也更加大了学习和理解难度。尤其是同一个概念使用不同的命名，如坐标尺、固有长度、原长（就是观察系中的长度）；标准尺、运动尺（就是运动系中的长度）；世界点和世界线（就是指观察系）；很是让人发晕。
由式（3-31）知，
，同理
。这与3.1.5节中，直接由光速不变原理得到的式（3-21），完全吻合。新时空变换式中横向坐标的变换关系，得以验证。下面利用新时空变换式，导出两个具有普遍意义的关系式。
在S´系中任意静置一长度为d´的杆棒，则其在各坐标轴上投影长分别为
，如图3-4。当S系与S´系以速度v沿OX轴相对运动时，
以S´系为观察系，则S´系为静尺（固有长度或称原长），S系为动尺（运动尺度）
。则由式（3-31）（也可
以S系为观察系，但需要使用式（3-32），那么S系为静尺，S´系为动尺
），得：
（3-34）
同理，得：
，
（3-35）
由解析几何关系知，
，
，结合（3-34）（3-35）得：
（3-36）
图3-4 尺缩公式的推导
由式（3-36）可知，尺度的变换关系完全可以脱离坐标系的约束。为了理解和应用的方便，可将式（3-36）表示为动尺
与静尺
的关系。因为式（3-36）是以S´系为观察系，S系为运动系，所以d´为静尺，d为动尺，则：
（3-37）
式（3-37）便是尺缩效应的数学表达形式，称为尺-速关系式。其与经典物理学中的公式一样，具有普遍性的意义。可见新时空变换式的尺缩，在整个三维空间都是相同的，或说， 整个运动空间是均匀收缩的空间。
同样，对于新时空变换式，无论是以纵向（平行于运动方向）坐标，还是以横向（垂直于运动方向）坐标为出发点，都会得到相同的时间变换关系（旧时空变换式在横向、纵向上，则会得到两种不同的时间变换结果，所以是错误的，见3.1.3节），即时间变换同样可脱离坐标系的约束。设观察系中经过的时间为
，运动系中经过的时间为
，将
、
代入式（3-15），得（也可由式（3-37）直接求得）：
（3-38）
式（3-38）便是“钟胀效应”的数学表达形式，称为钟-速关系式。
旧狭义相对论在变换式的应用方面，是有错误的。以图3-4杆棒的收缩为例，其是以S系为观察系，但却错误地应用了正变换式（显然与变换式的物理意义相违背）而得到
。因为其又错误地认定
为静尺度（运动系S´中的杆棒显然是动尺）。两次错误正好把错误抵消了，所以最终得到了正确结论。也因如此，这种错误叙述在旧狭义相对论中，成了一种标准。究其根本原因，就是把变换式当作了数学方程，导致了变换式的每次应用，都要进行绕来绕去的“分析”。
新狭义相对论的变换式应用，观察系中的物理量就是静物理量，运动系中物理量就是动物理量，正逆变换式直接便明确了观察系和运动系。根本无需那些让人发晕的（一会这个为观察系，一会又另一个为观察系）、且含有错误在内的多余解释。
对于纵向尺缩效应的检验，一般文献都有介绍，如通过宇宙射线中的
子在大气层中的衰变，进行验证
[7]
。下面再对横向尺缩效应进行验证：
由电磁理论可知，沿平行于一通电导线运动的电荷，将受到电流磁场的洛仑兹力作用。通电导线中的电流大小取决于导线中自由电子的漂移速度，当运动电荷与漂移速度相同时，电荷的受力仍符合洛仑兹力公式。这表明，同速运行两电荷间，仍符合洛仑兹力公式的作用规律，这为利用电磁理论验证两惯性系间的横向尺缩效应提供了可行性。
在两互相平行的无限大带电平板之间，有两个相距为d的异性点电荷A、B，且AB连线始终垂直于平板。平板静止不动，当电荷A、B以相同速度v向右运动时，两平板间的均强电场E，使A、B两电荷处于平衡状态，如图3-5。
图3-5 横向尺缩效应的验证
由图3-5知，电荷A将受到三个力的作用（电荷B的受力，略）：电场E对电荷A的作用力
，电荷B对电荷A的库仑力
，电荷B产生的磁场对电荷A的洛仑兹力
。由电磁理论知，
与
同向而与
反向，见图3-5中电荷A的受力分析图。因为两电荷处于平衡状态，则：
（3-39）
根据毕奥-萨伐尔定律，电荷B在电荷A处产生磁感应强度为：
。再结合洛仑兹力公式，得：
（3-40）
根据库仑定律，电荷A、B间的库仑力为：
（3-41）
根据电荷不变性原理（已经过无数实验证实），平板间的电荷无论是否运动，及处于任何位置，
始终保持不变。客观事件的发生是唯一的，不会随着观察系的改变而改变。可知，当在与电荷固联的惯性系中观察时，两电荷将会处于静止平衡状态，无洛仑兹力的作用，则
与两电荷间的静态库仑力
相等。设两电荷的静态间距为
，则：
（3-42）
将式（3-40）（3-41）（3-42）代入式（3-39）得：
（3-43）
整理式（3-43）得：
（3-44）
根据
，则由式（3-44），得：
（3-45）
式（3-45）所表达的横向尺缩关系，与式（3-37）完全吻合。至此，新时空变换式中的横向坐标变换（如
），再一次得到验证（见3.2.2节）。
现再给出尺-速关系式（3-37）的另一例证，麦克斯韦方程组的正确性是毋庸置疑的，并经过了大量实验的检验。由麦克斯韦方程组可以推导出比-萨定律 [9] ，说明比-萨定律仍适用于光速量级。将比-萨定律运用于运动电荷，则要求运动电荷的电场必须为球对称形状。这便从理论上再次证明了，尺缩效应存在于整个三维空间的结论，是完全正确的。
旧时空变换式的尺缩效应只存在于运动方向，这将使得运动电荷的电场不再是球对称形状 [3] ，其产生的磁场也不再符合由比-萨定律导出的运动电荷的磁感应强度。这意味着运动电荷在不同方向将有不同的电量值，从而与被无数实验证实的电荷不变性原理发生冲突。至此，旧时空变换式被彻底否定。
本节内容不仅是对横向尺缩效应的验证，更重要的是揭示了尺缩效应的形成机制，现总结如下：
（1）用处于平衡状态的两同性电荷，同样可得到式（3-45）关系，即尺缩效应的形成，与电荷的极性和大小均无关，这也是对狭义相对论材料无关性的验证。
（2）尺缩效应与运动力（洛仑兹力是运动力的一种）直接相关，且动尺收缩是真实的存在。
（3）狭义相对论要求，运动空间一定会发生尺缩钟胀效应。将本例中的电荷A、B，看作外部环境恒定的一个空间，则两电荷从静止加速至速度v，必受到一个沿尺缩方向的力作用，且加速度为零时，该 尺缩力 也为零，之后两电荷在电磁力作用下继续保持平衡状态。这表明，洛仑兹力是在尺缩发生之后产生的，或说磁场是电场尺缩的产物（在后文7.1.1节，将继续深入探讨）。否则，洛仑兹力与库仑力的反向关系，必将使两电荷远离而使尺缩钟胀效应或狭义相对论失效。
（4）尺缩效应的产生，必伴随着钟胀效应。此可作为对钟-速关系式（3-38）的验证，不再赘述。
（5）如果电荷A与电荷B的速度反向，且仍处于图3-5所示位置，还将会发生“尺胀钟缩”效应（尺缩钟胀的逆效应），其尺胀关系式为（推导过程略）：
，钟缩关系式为：
。虽然“尺胀钟缩”被分割在不同的两个惯性系中，但其对时间和距离的影响，确实是存在的（见后文§7.2）。
相对论的形成，主要是依靠数学推演，但数学毕竟不同于物理。虽然数学方程可以给出结果，但并不能揭示各种相对论效应的形成机理，从而给人以神奇感觉。再加上经典理论与旧相对论不能做到吻合，这无形中更增添了相对论的神秘色彩。通过本节可知，尺缩效应的产生，与运动力的产生直接相关，且完全符合经典力学逻辑。尺缩效应形成机理的揭示，对正确认识和理解狭义相对论，有着极为重要的意义。目前许多学者认定的电磁理论与旧狭义相对论精确相符说法 [3] ，不过是种主观愿望而已。这种对理性的漠视和对权威的迷信，严重影响了相对论的应用及后续理论的健康发展。
时空变换式是狭义相对论的最基本方程，其正确与否，关乎整个理论体系的成败。爱因斯坦的时空变换式，由于数学建模不严谨，使其所表述的客观规律不能被正确理解和揭示，这为后续的理论发展埋下了隐患。
通过对旧时空变换式导出过程中的每一环节，进行深入剖析，指出旧时空变换式在推导过程中存在严重的纰漏。对其修正后，重新推导出了新时空变换式，并进行了多方位的验证。其主要内容为：
（1）指出
（逆变换
）是种无确切依据的推测，应属于假设范畴。对其进行论证后，肯定了这一假设的正确性。论证的另一目的，是为了实现经典理论向狭义相对论的平滑过渡，并着重强调了洛仑兹变换式，不能简单地等同于数学方程，而是隐含规定了观察系和运动系，这对深入和正确理解狭义相对论有着极其重要的意义。
（2）论证了旧时空变换式的横向坐标不变，即y´=y（z坐标同，略），是猜测性结果，而不是科学推理结果，且是错误的。
（3）重新建立了推导新时空变换式的数学模型，即采用了两惯性系沿任意方向做相对运动，而非之前的仅沿xx´轴运动。最后得出了不同于旧时空变换式的新时空变换式。
（4）应用新时空变换式，给出了可脱离坐标系约束的尺缩和钟胀效应数学关系式，见式（3-37）和（3-38）。这为尺缩钟胀效应的应用，提供了极大方便。
（5）对新时空变换式进行了全方位验证（见3.2.3节），揭示了尺缩效应的机制，提出了尺缩力概念，并指出尺缩效应与运动力（如磁场）直接相关。这为下一步统一狭义相对论与经典理论，奠定了坚实的基础。
参考文献：
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[2]张元仲. 狭义相对论实验基础[M]. 北京：科学出版社，1979：32，50-52.
[3]李文博. 狭义相对论导引[M]. 哈尔滨：东北林业大学出版，1986：32，100，序2.
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