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经典物理学从伽利略开始，经过几百年的发展，形成了三大理论体系：（1）以牛顿的运动三定律和万有引力定律为基础的经典力学。（2）以麦克斯韦方程组为最高成就的经典电磁学。（3）以热力学三定律为基础的热力学宏观理论，及分子热运动为基础的统计物理学微观理论。这三大理论体系，无论是相互间的逻辑自洽性还是实践应用，都已臻完美，这就是通常所说的经典理论。当物理学家们对此感到非常满足时，物理学上空却出现了“两朵乌云”，即迈克尔孙-莫雷实验的“零结果”和黑体辐射的“紫外灾难”。
从17世纪到19世纪末，科学家们为了寻找一种力学模型来解释光学现象，发展起来了一套以太理论。光的波动说理论和麦克斯韦电磁理论，最初就是建立在以太的基础之上。以太在当时被认为是传播光的介质，且充满整个宇宙空间，是绝对静止的。一些以以太为基础构造的理论，看上去还得到了诸多实验的“证实”。
既然以太如此重要，就需要做个实验来证明它的存在。迈克耳逊与莫雷合作，多次高精度地测量了地球相对于以太的运动（其原理请参考相关文献），但在1887年公布的实验结果中，却没有发现地球相对于以太的运动。这大大震惊了当时的物理学家们，他们无法相信根本不存在以太这种东西。为了维护以太理论，一些科学家提出了各种不同的假说来解释迈-莫实验的零结果。其中最著名的就是洛伦兹的收缩假说，即一切物体都要在运动方向上按
的比例收缩（v为物体相对以太的速度，c为光速）。这一理论仍保留了以太的存在，但却与麦式电动力学不符，与一些实验也不符合
[1]
，最终因缺乏逻辑上的完备性和体系的严密性而被否定。
爱因斯坦全面分析了当时的物理学成果，断然否定了以太的存在，把视野投向了整个时空范围，提出了两个原理假设：
（1）相对性原理：一切物理定律在所有惯性系中都具有相同的形式。就是说，所有惯性系都是相同的，一切惯性系彼此等价。
（2）光速不变原理：无论光源或观测者如何运动，光速始终为常量c。
关于爱因斯坦的这两个假设，经受住了大量实验证实。现仅举两例极具说服力的实验：
（1）两菜塞实验（Cialdea,1972） [2] ：就是在旋转平台的对应两端各安置一个激光器，并发出平行光，其中一路经反光镜90°反射后透过一平行于反光镜的半透镜，另一路经该半透镜90°反射后，与前一路光发生干涉。按照以太理论，两路光的差频将周期性变化，但实验结果却没有变化。其给出的“以太漂移”上限是0.009km/s，精度远高于迈克耳逊-莫雷实验的0.95km/s，但仍始终测不出地球的绝对运动速度。这说明，所有惯性系都是等价的。从而有力地支持了狭义相对论的第一条基本假设—相对性原理。
（2）高速粒子的
辐射实验（Alvager等人，1964-1966）
[2]
：由同步加速器产生的速率为0.99975c的高速
介子，实验测得其衰变辐射出的光子的速率仍为c，明确地支持了狭义相对论的第二个基本假设—光速不变原理。
以上是说，两个原理假设的正确性是不容置疑的，所以不再讨论（第四章将再从理论上给出证明）。狭义相对论便是以两个原理为基础，通过建立数学模型而演绎出的理论，其总体框架如图3-1。
图3-1 狭义相对论总体框架
由图3-1可以看出（其中变换式指洛仑兹变换式。另外，传统的力变换式是通过动量变化率得到的，但动量变化率本身隐含着加速度成分），从两个原理到具体规律的得出，其推导过程不允许有丝毫差错，否则极可能得出一些不可思议的结果，且错误成因很难被发现。这同由具体规律而归纳总结出的经典理论，逻辑顺序正相反。从经典理论不断完善的过程可知，经典理论即使产生了差错，也较容易被及时发现并纠正。
无论是宇观还是微观，狭义相对论在现代物理学中都有着举足轻重的作用，是不允许有丝毫差错的。从前两章内容可以看到，物理学最易出错的部分，就是数学模型的建立和正确界定数学变量所表达的物理意义，而仅限于数学的运算则不易出错。可见， 时空变换式是整个狭义相对论的最核心方程，是最易出问题的环节，稍有差池便会对整个理论带不可预知的后果。
爱因斯坦获取时空变换式的大致过程为，设对应坐标轴相互平行的S´惯性系和S惯性系，以相对速度v沿x轴方向运动（参看图3-2），再根据两个原理假设，推算出的正、逆时空变换式（正逆变换式的差异，仅是动系速度v的符号相反）分别为：
（3-1）
式（3-1）便是目前狭义相对论的最核心方程--时空变换式，其中
，称为相对论因子。
关于狭义相对论的尺缩钟胀效应及质-速、质-能关系，都很好地得到了实验的检验。但随着理论推进，至加速度变换式及力变换式时，便得出了些不可能符合实验的奇怪结论，如加速度与力不平行（有违力概念定义的内涵），并表现出了逻辑上的不自洽性。这说明，实验只能对某一结论进行证实，而不能遍及整个理论，即实验是有局限性的。可见， 逻辑自洽性对于理论，丝毫不亚于实验对于理论的重要性。
无论是归纳性理论还是演绎性理论，对于一个完美理论，不但要求所有结论符合实验，还要求必须满足逻辑的自洽性。在狭义相对论中，仅其产生的佯谬不下十几种，根据“没有理一定不存在”观点，说明狭义相对论的自身必存在缺陷，所以极有必要对狭义相对论的各个部分进行重新审核。本章的主要内容，就是深入分析式（3-1）在推导过程中存在的问题，并予以修正及检验。
物理学中的假设一般分为两种，一种是在一定理论或实验的基础上提出的假设，如光速不变原理在当时之所以称假设，是因为光速不变在当时可以有两种解释：①以太发生了收缩，②时空是可变的。另一种是为达到某一目的而提出假设，如麦克斯韦的位移电流假设，因为唯有如此，才能使前人的研究成果得到高度的统一。
假设的提出必须尽快得到证实，否则，错误假设一旦被学术界普遍接受或流传开，将会给物理学带来很大的麻烦。如目前量子场论中的场量子化假设，在理论的演化过程中不得不又增添多个假设，但最后仍不能解决发散困难。还有宇爆模型假说，就更是疑难不断了。但目前的许多物理学家却罔顾疑难的产生，仍坚持这种假设是正确的，甚至认为正确的理论可以不必保持逻辑自洽性，从而使得关于微观和宇观的理论，充斥着各种玄学性观点，且造成了大量人力物力和时间的浪费。就是说，物理学假设的提出，必须慎之又慎，即便是为达到某一目的而提出的假设，也需要在与基本定律无冲突情况下，尽早给予证实，如麦克斯韦的位移电流假设，被证明是符合电流连续性原理的。从物理学的发展历史看，以不能被证明的假设而发展起来的学说，最终几乎无不以失败而招致淘汰，如以太说和地心说等。那种“大胆假设，小心求证”观点，不过是浮躁侥幸心态的表现。
在式（3-1）的整个导出过程（可参阅当前所有相关文献）中，除两个原理假设外，还隐藏着的一个前提条件：不同惯性系之间的时空变换必须是一组线性变换（几乎每部专著皆复制了此话，然而其却存在歧义：“一组”如果指整个惯性系，则各坐标轴的变换系数应相同；而如果是分别指三条坐标轴，则与“一组”不合。本书理解为仅指x轴），即
（逆变换
）。几乎所有文献皆是在此线性关系成立的基础上，将正、逆变换联立为方程组，再结合两个原理假设，而解出变换系数
。
不同文献专著在阐明上述线性关系的来历时，皆含糊其辞，且不尽相同。其出发点大致有两个：①时空是均匀的 [3] ，②符合相对性原理 [4] 。但仅凭这两点，很难看出不同惯性系间的变换一定是线性变换，更无具体的推导过程，这也是狭义相对论让许多人尤其是初学者感到困惑的原因之一。
另外还有一种说法是，上述线性关系已得到了数学上的证明。笔者查阅了很多资料，始终也没能找到其证明过程。而对于提出光速不变原理之前的数学，更不可能针对上述线性关系给出证明。
目前的专著文献中，皆将上述的“一组线性变换”当作一条定论。估计可能是继承了洛仑兹收缩假说思想，只不过是把相对以太的收缩换成了空间收缩。但遗憾的是，几乎所有文献在介绍或推导时空变换式之前，都没有关于收缩假说的详细推导过程（据说洛仑兹收缩式的推导过程很复杂）。按照物理学惯例，这应属于假设范畴，在此称之为隐藏假设。
隐藏假设的存在，使狭义相对论与经典理论在逻辑上形成了断层，这极易使人们对相对论的理解产生偏差，如一直就有人认为相对论性尺缩不是真实的。为了保持物理学逻辑的连续性，及 经典理论向狭义相对论的平滑过渡， 并达到深刻理解和学好相对论的目的，对隐藏假设进行严密论证，既是理论的需要，也是保持物理学完备性的不可或缺过程。
对应坐标轴相互平行的S、S´惯性系，以恒速v沿x轴做相对运动（后文凡涉及相对运动的惯性系，皆为S´系相对S系向右运行），如图3-2。根据相对性原理，则无论在哪个惯性系观察，另一惯性系的速度大小皆为v，只是方向相反。以两坐标原点重合的瞬时作为计时起点，自原点O沿x轴发出一光信号。当光信号到达任意点P时，根据光速不变原理，在S系中观察，光信号相当于由O点发出，而在S´系中观察，则光信号相当于由O´点发出（有些文献将此归结为同时的相对性 [4] ，很令人费解），则：
（3-2）
（3-3）
图3-2 两惯性系间的坐标变换
按照几何观点或伽利略变换，点P在两惯性系中的坐标关系为：
（3-4）
（3-5）
式（3-4）一般称为逆变换式，而式（3-5）则称为正变换式。从方程的物理意义看，式（3-4）同式（3-2）一样，观察者处于S系；式（3-5）同（3-3）一样，观察者处于S´系。
将式（3-2）（3-3）（3-4）（3-5）联立为方程组，为了消去t´，将式（3-4）等号两边同除以x´，再将式（3-3）代入，可得：
（3-6）
同理，式（3-5）等号两边同除以x，再将式（3-2）代入，得：
（3-7）
式（3-6）×（3-7）得：
，这显然不能成立。可见，式（3-2）（3-3）（3-4）（3-5）联立成的方程组，在通常观念下不能成立，即伽利略变换与光速不变原理发生了冲突。但式（3-2）（3-3）（3-4）（3-5）中的每一个方程建立，都是成立的，这就需要从物理的角度，分析方程组不成立的原因，而不可纠结于数学方程本身。
由于式（3-2）（3-4）与式（3-3）（3-5），属于两个不同惯性系的观察结果，可知方程组不成立的唯一可能，就是运动系的坐标，代入到观察者所在惯性系时，其尺度发生了改变。就是说，S´系中的x´映射到S系中时，其大小发生了改变。反之亦然。
根据相对性原理，无论在哪一个惯性系中观察，另一惯性系的尺度变化比例，都应是相同的。设尺度的变化比例为k，则式（3-6）中的x´变为kx´（此时观察者处于S系），才能保持式（3-6）成立。同理，式（3-7）中的x变为kx（此时观察者处于S´系），才能保持式（3-7）成立。如此，同名坐标值在任一惯性系中，都可以保持不变，即保持观察者所在惯性系中的尺度。这与洛仑兹收缩假说，或许有着相同的判断思路。如此，则式（3-6）（3-7）变为：
（3-8）
（3-9）
式（3-8）×（3-9），可得：
（3-10）
式（3-10）表明，速度v不能大于光速，否则将成为无物理意义的虚数，
称为相对论因子。整理式（3-8）（3-9），并结合式（3-2）（3-3），便可回到式（3-1）形式，为：
（3-11）
（3-12）
式（3-11）（3-12）表明，光速不变原理与经典理论完全可以融洽地统一起来，即相对运动的两惯性系，在运动方向上为线性变换。式（3-11）的物理意义为：
在S系中观察，S´系中x´轴上的尺度，按线性规律发生了收缩，需要用
系数修正，才能保证式（3-11）成立。
同理，式（3-12）的观察者处于S´系，则S系中x轴上的尺度，按照相同的线性规律收缩。如此，便在物理上证明了“不同惯性系之间的时空变换必须是一组线性变换”的结论（见3.1.2节），隐藏假设得以证明。变换系数为
的变换，称为洛仑兹变换。变换系数为1的变换，便是伽利略变换。
由以上可知，对于洛仑兹变换式，必须约定运动系和观察者所在惯性系：正变换式的观察者处于S´系，运动系为S系；逆变换式的观察者处于S系，运动系为S´系。或说，变换式的等号左端为静止系，等号右端为运动系。 可见，理解和运用好洛仑兹变换式的关键，首先必须明确观察者所在惯性系。
在之前的专著文献中，多是将正逆变换式看作两个普通的方程组，而忽视了变换式的物理意义，即在某些数学推演过程中不加区别地对待静止系和运动系。这对于变换系数为1的伽利略变换式是可以的，但对于变换系数为
的洛仑兹变换，如果不考虑正逆变换的物理意义，必会造成动静时空的混乱。毫不夸张地说，将数学凌驾于物理学之上所谓现代物理学，已失去了物理学本来面目，而成了一种似是而非的理论（这些将随着理论的深入而显露无遗）。
这便是洛仑兹变换式区别于伽利略变换式或普通数学方程所特有的意义
（后文中若无特别说明，变换式皆是指洛仑兹变换式）。
根据语境的不同，观察者所在的惯性系一般称为实验室系、静系、观察系，另一惯性系则称为运动系。为避免一个概念出现多种称谓现象，后文仅使用 观察系和运动系 称谓。
注意：相对性原理表明一切惯性系等价，但这不意味着一切惯性系都平权。由于目前表达物理惯性系的唯一方式为数学坐标系，而这样的惯性系是平权的（见图3-2），这无形之中扩大了物理惯性系的外延。狭义相对论中的大多佯谬，便产生于惯性系的平权性，这也是狭义相对论始终争议不断的根本原因。这说明，数学这种纯思维产物，永远不可以替代物理。在第七章将详细论述，现实中的不同惯性系具有非平权性，狭义相对论中的佯谬问题将从根本上得以解决。
由（3-4）（3-5）可以看出，运动系尺度的改变，也必然会造成时间改变。早前关于时刻变换式形式的选取，处于忽略状态，下面进行详细论述。
将式（3-2）（3-3）代入式（3-12），且等号两边再除以c，得：
（3-13）
同理，将式（3-2）（3-3）代入式（3-11），得：
（3-14）
式（3-13）（3-14）便是时刻的正、逆变换式。其物理意义为，观察系中的某一时刻，在运动系中将随着x坐标的不同，而对应着不同的时刻。
式（3-13）或（3-14）中的括号内最右边一项，如果表达为
或
形式，则将形成
或
形式。下面将会看到，该形式会造成在不同惯性系观察时，时刻的变换系数出现不对等问题，从而导致正、逆时刻变换式不再等价，进而与相对性原理相悖，这是不允许的。就是说，
或
形式，看似更简洁些，但却不符合变换式所表达的物理意义，所以不能作为最终形式。这也同时表明，
数学运算不能脱离具体物理背景，数学只能充当物理研究的运算工具。
下面对（3-13）（3-14）形式进行验证：
根据变换式的物理意义，如果以S´系为观察系，则必须应用式（3-13），则同一事件在两个做相对运动的惯性系中，所经过的时间变换关系为：
（3-15）
同理：若以S系为观察系，则必须应用时刻的逆变换式，可得
。就是说，无论哪个为观察系，运动系都具有相同的时间改变量，如此便保证了时间变换与相对性原理的符合。因为
，所以在观察系中经过的时间大于运动系中经过的时间，或说，运动系比观察系的时间变慢了，这就是“钟胀效应”。
而如果时刻变换式中采用
形式，则同一事件在两个做相对运动的惯性系中，所经过的时间变换关系为：
（3-16）
（3-17）
式（3-16）与式（3-17）显然不等，表明在不同的惯性系观察，会有不同的时间变化量，这显然与相对性原理相悖，所以
形式不能成立。
前面只是讨论了沿运动方向的时空变换，现再探讨整个三维空间的时空变换。早前时空变换式在推导过程中的不严谨处，除上节中的隐藏假设外，还存在一个猜测，即横向（垂直于运动方向）坐标变换y´=y（z坐标变换与之相同，见式（3-1），后面略）的获取。在所有文献专著中，有直接给出结果的 [3][4][5] ，有将y=ky´与y´=ky联立成方程组而求得的 [6] 。还有的利用了时空间隔不变性，但在推导过程却偷换概念而仅使用空间间隔，得出k=1的结论 [1] 。可见，获得y´=y的理由非常混乱，但本质上皆不过是对直觉的迎合。现提出以下三点质疑：
（1）如图3-2，沿xx´轴做相对运动的S、S´系，假如在各坐标轴重合的瞬时，由原点沿y轴和x轴同时各发出一光信号，则光信号所到达的坐标点必为：y´=x´和y=x。如果式（3-1）中的y=y´是正确的，则得x=x´，这就完全违背了基本变换关系
，而回到了伽利略变换，所以式（3-1）中横向坐标的变换关系，如y=y´，不能成立。
（2）根据光速不变原理，任一点发出的光信号，其到达点在S´系和S系中的方程分别为：
，
（3-18）
以S系为观察系，根据式（3-1）中的时刻变换关系，得：
（3-19）
由式（3-18）（3-19）可得：
（3-20）
根据不同坐标轴的对应关系，可得：
（3-21）
由（3-21）可看出，只有x轴的坐标变换，符合由式（3-1）得出的
结果。横向坐标则与式（3-1）中
相冲突，即式（3-1）与光速不变原理相矛盾，所以不能成立。
（3）在S´系中静置一根长为d´的杆棒，则光信号由一端到达另一端所需时间为：
。设S系为观察系，当杆棒平行于xx´轴放置时，因为
（
），则
。而当杆棒平行于yy´轴放置时，因为
，则
。S系的时间值对应了S´系的两个时间值，这无论如何都是荒唐的。另外，当杆棒任意放置时，还会得出杆棒发生转动的结果
[4]
，这显然与角动量守恒定律相冲突，所以
不能成立。
下面再探讨y=ky´与y´=ky不能联立为方程组的原因：
（1）从变换式物理意义看，y=ky´是S系中的观察结果，而y´=ky则是S´系中的观察结果。如果k≠1，则y=ky´与y´=ky中的同名坐标值是不相等的，所以y=ky´与y´=ky不可以联立为方程组。而xx´轴方向的坐标，是经过修正后的值（见式（3-8）和（3-9）），即同名坐标值相等，所以可以联立为方程组。
（2）对于y与y´间的变换，是因为两惯性系存在相对运动，才需要求解的。如果y=ky´与y´=ky联立的方程组成立，因为其并不包含有运动成分，所以不能用于做相对运动的两惯性系。
（3）从式（3-11）和式（3-12）的导出过程可以看出，原点发出的光信号是沿x轴向（多数文献也是如此 [4] ），而非任意方向，所以光信号到达点的横向坐标应是y´=y=0，z´=z=0，但这并不能代表其坐标值不为零的情况下，y´=y仍然成立。可知y´=y完全是凭直觉认定的关系式，而不是严谨的科学推理结果。鉴于此，有些教材干脆把光信号的到达点，改为空间任一点，但在推导过程中，却仍继续使用沿x轴前进的光信号（x´=ct´和x=ct） [7] ，这显然是对推理过程中的不严谨性所做的有意掩盖，从而违背了基本的科学推导准则。
由以上可看出，y´=y的获取，实质上是先认定其正确，后为了增强y=y´的说服力，而主观附会出各种推理过程，其本质就是直觉上的想当然或称猜测，且是个错误的猜测。更确切地说，式（3-1）不过是洛仑兹收缩式与伽利略变换式的简单组合。
另外，还有人试图用等高笔杆思想实验，来说明y=y´的正确性。是说，S系和S´系中各有一个等高的竖直笔，当S系与S´系相对运动时，则等高笔将在另一系中画出线条。如果y≠y´，则线条的高度将会不同。根据相对性原理，将形成到底哪一系中的线条高，哪一系中的线条矮的悖论 [8] ，由此得出y=y´是“正确”的结论。其实这种情况同时间佯谬的形成一样，是由两惯性系的平权性带来的悖论（此情况将在第七章予以解决），其根本不能作为y=y´的理由。
用数学解决物理问题，就好比解应用题，首先必须全面考虑题中所给出的和隐藏的所有条件，并正确理解。然后才能建立起正确的数学模型，并得到正确的结果。否则，不但不能获得满分，还会得出些奇怪结果。y=y´和z=z´便是不顾变换式物理意义，将变换式完全等效为数学方程所带来的错误结果。可见，目前较为流行的唯数学论观念，必须要坚决摒弃，否则物理学必将被带入歧途。严谨的推理是科学的宗旨，也是贯穿本书的宗旨，更是暴露现代物理学中错误的最可行方式。