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1.重要不等式：∀ a ， b ∈ R ，有 a 2 ＋ b 2 ≥2 ab ，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立.
2.基本不等式：
，当且仅当
a
＝
b
时，等号成立.
（1）其中，
叫做正数
a
，
b
的算术平均数，
叫做正数
a
，
b
的几何平均数；
（2）基本不等式使用的条件：一正二定三相等.
一正：正数才适用， a ， b ﹥0；
二定：题干中必须存在定值，要么 a ＋ b 为定值，要么 ab 为定值；
三相等：当且仅当 a ＝ b 时，取得等号.
（3）基本不等式的无字证明，如右图.
已知 x ， y 都是正实数.
（1）积定和最小：如果积
xy
是定值
P
，那么当
x
＝
y
时，和
x
＋
y
有最小值
；
（2）和定积最大：如果和
x
＋
y
是定值
S
，那么当
x
＝
y
时，积
xy
有最大值
.
1.扩展：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数，
即
.
2.基本不等式的常用变形与常考模型：
（1）
；
；
（2）当
ab
﹥0时，
；当
ab
﹤0时，
；
（3）当
t
﹥0时，
；当
t
﹤0时，
.
1.基本概念：若变量 x 与 y 的范围一致，当 x 与 y 互换位置后，题目不发生改变，则称 x 与 y 为对称变量（注意：条件和结论中的式子都要对称）.
2.方法原理：若条件和结论中的变量 x 与 y 是对称的，那么当所求问题取得最值时， x 与 y 的“贡献”是一样的.此时，令 x ＝ y 即可迅速解答题目.
3.对称性原理是不能被证明的一种方法，只能迅速解答选填，不能用来解决大题.