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科学分析需要健全的理性思维，而理性思维的首要标准是清晰性，这种清晰性首先是对概念的要求。由于自然语言具有不明确性，常常包含歧义和含混，进而妨碍交流，因此，澄清概念对科学认识有重大意义。
明确概念的基本逻辑方法包括概念的限制与概括、划分与分类以及定义。本节讲解概念的限制与概括、划分与分类，而定义理论放到第二章专门讲解。
凡是从属关系的两个概念，它们的外延和内涵具有反变关系。即：一个概念的外延越大，则它的内涵越少；一个概念的外延越小，则它的内涵越多。反之，一个概念的内涵越少，则它的外延越大；一个概念的内涵越多，则它的外延越小。根据这一反变关系，就能懂得如何缩小、扩大概念的外延，使之形成一个新的概念。这就是概念的限制和概括。
（一）概念的限制
概念的限制，就是指通过增加概念的内涵、缩小概念的外延来明确概念的逻辑方法。限制的目的与作用在于，有助于人们对事物的认识从一般过渡到特殊，掌握具体事物的特质，使人们的认识更加具体化，从而在表达思想过程中，概念表达按需要更加准确，论证更加严密。
概念的限制，在语言上通常表现为增加修饰语。
例1： 据说有位著名的女演员曾经发过这样一番感慨：做人难，做女人更难，做名女人尤其难，做单身的名女人难上难。这句话，从“人”到“女人”到“名女人”再到“单身的名女人”，通过逐渐增加的修饰语对原概念一步一步加以限制，形成了新的概念。
不过，也有不通过增加修饰语，而是直接换语词进行限制的。
例2： 傅雷给傅聪的临别赠言是：第一，做人；第二，做艺术家；第三，做音乐家；最后才是钢琴家。这里的连续限制过程是：人→艺术家→音乐家→钢琴家。经过限制，我们得到了以原来的概念为属概念的种概念。
外延大的概念可以连续多次进行限制，但限制是有极限的，这个极限就是单独概念，因为单独概念的外延只有一个。比如，把“钢琴家”限制为“傅聪”就不能再限制了。
有时候我们写文章时不注意修饰语的合理使用，就会出现一些对概念的不合理的限制。
案例 天体
据英国《自然》杂志报道，一个英国天文学家小组发现了宇宙中最亮的一个天体。据称，这个天体也是宇宙中最遥远的天体之一。
分析：宇宙是无限的，现在发现是最亮的，未必就是整个宇宙中最亮的。可惜，该例在传播科学信息的同时，却又不自觉地违反了科学。如果学会明确概念的逻辑方法，则可以避免此类错误。如将外延过大的概念“发现宇宙中最亮的一个天体”限制为“迄今为止所发现的宇宙中最亮的一个天体”，则可以纠正该例的错误。
例3： 修改前的《婚姻法》规定准予离婚的条件是夫妻“感情确已破裂”。怎么确定“破裂”，较为模糊，在操作上如何判定“感情破裂”，可能会带来一些主观因素，因此操作上有一定的困难。
现行的《民法典》则在第一千零七十九条对“破裂”做出了明确的规定：“（一）重婚或者与他人同居；（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；（四）因感情不和分居满二年；（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。”
分析： 这种条件的明确规定，实际上就是对“感情确已破裂”的“破裂”概念的进一步限制，从而使离婚条件不再模糊。
（二）概念的概括
概念的概括是指通过减少概念的内涵以扩大概念的外延，由一个外延较小的概念过渡到一个外延较大的概念，即由种概念过渡到属概念的逻辑推演方法。
例1： 鲁迅先生说过：“有缺点的战士终究是战士，完美的苍蝇也终究是苍蝇。”
由“有缺点的战士”到“战士”，由“完美的苍蝇”到“苍蝇”都是概念的概括。
概括的推演方法也有两种。
一种方法是在被概括的概念前去掉种概念的限制词。
例2： “现代中国男性小说家”可以概括为“现代中国小说家”。这里，种概念“现代中国男性小说家”的修饰语“男性”被去掉了，内涵减少了，外延得到了扩大，过渡到了它的属概念“现代中国小说家”。
另一种方法是将表示属概念的词语替换掉种概念的词语。
例3： “教师”概括为“知识分子”。
概括同样可以连续进行，但也有极限，概括的极限是哲学范畴。因为哲学范畴是外延最大的属，没有比它更大的属概念了。
例如： “物体”概括为“物质”，物质是一个哲学范畴，这时就不能再概括了。
（三）限制和概括要避免的逻辑错误
错误的概括和限制，可称为“不当限制”和“不当概括”。
在进行限制和概括的过程中要注意以下两个问题，以避免犯逻辑错误。
一是，可以通过增加或减少修饰语的方法对概念进行限制或概括，但并不是所有的修饰语的增加或减少都是限制或概括。
例1： 把“天安门”加上修饰语变成“雄伟的天安门”，这并不是对概念的限制，而只是单纯的修饰。
例2： “能导电的金属”与“金属”“不必要的浪费”与“浪费”都不构成种属关系，因为前者都不是对后者的限制，后者也不是对前者的概括。
二是，要注意区分整体与部分关系和属种关系。由部分到整体或由整体到部分并不是概括和限制。
例3： 以下例子里的概念都没有属种关系，不能限制和概括。
·“厦门大学哲学系”和“厦门大学”是部分与整体关系而非属种关系。
·“星期一”与“星期一下午”是整体与部分的关系。
·“勇敢”与“勇敢的战士”是全异关系。
·“省政府”与“县政府”不是属种关系。
·“美洲”“美国”“加利福尼亚州”是整体与部分的关系。
总之，通过限制和概括之后形成的概念与原概念应当构成属种关系，如果不是，那么这种限制和概括就是错误的。
案例 不当概括
下列两个案例都存在不当概括。
案例一：
某年中秋节前夕一家媒体以“都是冠生园惹的祸”，披露了南京冠生园使用过时月饼馅的事件，但其后不久就遭到上海冠生园等几家冠生园起诉。
案例二：
广州一家媒体曾以“进口涂料惊现致癌魔影”为题，报道了广州出入境检验检疫部门检测出多种进口涂料含有重金属、游离甲醛等有害物质，某些检测指标甚至超标几十倍的事件。这一报道立刻引起一些进口涂料公司的激烈反应。据瑞典福乐阁涂料公司在北京向各媒体称，由于这篇报道，福乐阁涂料8月份仅在深圳的销售额就下降了近60%。按福乐阁公司的说法，在欧洲，媒体报道中，事件主体A就是A，B就是B，如果由于媒体的报道而使A公司的产品问题株连了其他公司，媒体是要承担法律责任的。
例4： 有以下四组物品。
第一组：苹果、梨、西红柿、橘子；
第二组：刮脸刀、剪刀、铅笔、铅笔刀；
第三组：斧子、钉子、电锯、电钻；
第四组：小号、小提琴、大号、萨克斯管。
问题： 在这四组物品中，有无“多余的”第四个？
分析： 本题考查的思维能力涉及概念、概念的内涵与外延、限制与概括等问题。
第一组：西红柿是蔬菜，其他是水果。
第二组：铅笔是书写工具，其他是刀具。
第三组：钉子为钉接物，其他为木匠工具。
第四组：小提琴为弦乐器，其他为管乐器。
概念的划分和分类在人类生活中非常重要，如果我们对概念没有划分和分类的方法的话，这个世界就混同在一起，要理解和有条理地进行管理则是不可能的。
（一）概念的划分
划分是指把一个概念的外延，按照一定的标准，分为若干小类的明确概念外延的逻辑方法。
1.划分的类型
概念的划分可以分为一次划分、连续划分和复分。
（1）一次划分
就是依据一个标准，把母项分为若干子项。这种划分只有母项和子项两层。
例1： 有理数可分为整数和分数。
例2： 三角形（根据边是否相等）可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形。
一次划分的常用方法是对分法，也叫二分法，把被划分的概念（B）分成一对具有矛盾关系的概念A和负A。可表示为：B=A+-A。
例3： 战争可分为正义战争和非正义战争。
（2）连续划分
就是逐层地多次划分，把划分后的子项作为母项继续划分，直到满足需要为止。在连续划分中，每次划分得到的概念属于同一层次，不同次划分得到的概念属于不同层次。连续划分的母项和子项至少有三层。
例如： 实数可以分为有理数和无理数，有理数可以再分为整数和分数，整数可以分为正整数、零和负整数。
（3）复分
就是按照不同的标准，把同一母项分为若干子项。
例如： 文学按照体裁分为小说、散文、诗歌和戏剧，按照国别分为外国文学和中国文学，按照时代分为古典文学、近代文学和现代文学，等等。
2.划分的规则
概念的划分应满足以下基本规则。
（1）各子项之间的关系应当是不相容的
若不满足此条规则，就会犯“子项相容”的逻辑错误。
例如： 在一次划分中把“学生”划分为“大学生”“中学生”“小学生”“男学生”“女学生”五个子项，前三个子项与后两个子项交叉，就犯了子项相容的错误。
又如： 把“学生”划分为“大学生”“中学生”“小学生”“职业中学学生”四个子项，其中“职业中学学生”从属于“中学生”，也犯了子项相容的错误。
（2）各子项外延之和必须等于母项的外延
若不满足此条规则，就会出现“多出子项”（划分过宽）或“划分不全”的逻辑错误。
例如： 有被调查者疑惑地问道：“你们的调查表中，只设计了‘未婚’和‘已婚’两个项目，那我填哪项？我结过婚，但已丧偶。填‘未婚’吧，我确实结过婚；填‘已婚’吧，我现在又没有配偶。我填什么好？”
分析： 这份抽样调查表中的“未婚”“已婚”两个子项的外延相加，小于“婚姻状况”母项的外延，犯了“划分不全”的逻辑错误。应将“婚姻状况”设计为“未婚”“已婚”“丧偶”“离婚”。这才能符合逻辑划分的要求。
（3）每次划分必须使用同一划分标准
若不满足此条规则，就会犯“多标准划分”或“子项相容”的逻辑错误（同一划分中包含多个划分标准，子项之间相互包容）。
例1： 以下三例的划分标准不一致，都存在多标准划分的逻辑错误。
·四足类包括两栖类、爬行类、哺乳类和鸟类。
·木本植物有乔木、灌木、半灌木、针叶木和阔叶木。
·我最爱阅读外国文学作品，英国的、法国的、古典的，我都爱读。
例2： 有人跟一个小朋友开玩笑，要他来分四个苹果，挑一个最大的给爸爸，最好的给妈妈，最红的给姐姐，最圆的留自己。这可难为了他，因为有一个是最大的，也是最好的，还是最红的，而且是最圆的。给谁好呢？
分析： 在一次划分中提出了“大”“好”“红”“圆”四个标准，可面对的实际情况是，所分对象兼容，无法操作。这种在一次划分中用两个以上标准的做法，在语言文字表达上便会造成层次不清，子项势必交叉重叠。
（4）划分不能越级
若不满足此条规则，就会犯“概念不当并列”的逻辑错误。具体是指，在划分过程中对概念分类的标准不一致，把不同层次的概念，或把具有交叉或属种关系的概念并列使用。
例如： 以下两例的划分都犯了“概念不当并列”的错误。
·音乐分为古典音乐、乡村音乐、流行歌曲和民乐等。
·出席座谈会的有著名的社会科学家、数学家和核物理学家。其中，社会科学家、数学家和核物理学家是不同层次的概念。
3.划分的批判性问题
·如何确定划分标准？
·如何通过正确的划分明确概念的外延？
·如何发现划分标准中的价值冲突？
（二）概念的分类
从逻辑上讲，分类是指以对象的本质属性或显著特征为依据的划分。如果我们对外延对象的划分依据一定的原理和规则来进行，这种划分我们就称为分类。
分类对科学研究非常重要，研究分类的科学称为分类学。概念分类是一项复杂的工程，涉及各个学科。18世纪的欧洲学者林奈就进行了植物和动物的分类学研究，这个研究是人类智慧的一个伟大成果。林奈的分类学既是生物学研究的伟大成果，也是逻辑学领域的伟大成果。
要对一个概念的外延对象有一个好的分类，就需要有一个好的分类模式。分类多，看一个单独事物就更细致，能更好地认识这一类的特性，特性就突出。分类少，能从个体里发现的特点就很少，特性就被忽视，结果导致很多应该发现的规律都没有发现。分类可以区分为两种类型。
一种类型是无评价的分类。
例1： 我们对一个单位所有的人，按照出生地分成若干类。
另一种类型是有评价的分类。
例2： 我们把学生按照其考试成绩分为优、良、中、差，把研究人员分为研究员、副研究员、助理研究员等。
1.分类的逻辑要求
一般而言，一个好的分类模式应该有一些基本的逻辑要求。
（1）穷尽性
一个好的分类应该是穷尽的，这就是说，该外延对象的每个成员，经过分类之后，都被放置在某个子类之中，没有遗漏任何一个成员。
例如： 以购买火车票的乘客分类为例，有如下两种规定。
规定A
1.1米以下 免票乘车
1.1米到1.5米 半票
1.5米以上 全票
规定B
1.1米以下 免票乘车
1.11米到1.5米 半票
1.51米以上 全票
分析： 规定B的分类似乎更精确，精确到了厘米，但正是规定B忽略了分类的穷尽性要求，它的分类没有覆盖乘客的所有成员，1.1米到1.11米、1.5米到1.51米的乘客给漏掉了。当起了争执的时候，就会产生一些麻烦。
（2）不重复性
一个好的分类模式不仅是穷尽的，而且分类后的子类成员是不重复的。这就是说，一个成员只能够在某个子类之中，它不能既在一个子类之中，又在分类后的另一个子类之中。
仍以火车乘客为例。
规定A
1.1米以下 免票乘车
1.1米到1.5米 半票
1.5米以上 全票
规定B
1米以下 免票乘车
1米到1.5米 半票
1.4米以上 全票
如果规定B的分类把1.4米以上作为买全票的高度标准，这个规定B的分类规定就违反了分类的不重复性要求，也就是说，1.4米到1.5米之间的乘客，既属于买半票的人，也属于买全票的人。这就造成了逻辑上的混乱。
假定政府要给残疾人提供资助，那么就得对残疾人和健全人作出分类。如果我们的分类是具有重复性的，可能出现的情形就是，当政府提供资助的时候，他就是残疾人，而当残疾人的身份对他不利的时候，他又成了健全人。一个好的分类是应该避免这种重复的。
（3）清晰性
一个分类的依据是清晰的，这意味着我们进行分类的时候有一个标准，而这个标准是清楚明白的。
例1： 依身高为标准来对乘客进行分类，这个标准的选择就是一个清晰的选择，是一个便于操作的选择。你用其他的标准来分类当然也不是不行，例如重量、年龄等，但这些标准容易造成含糊和麻烦。
例2： 法官对一个案犯进行判决，如果这个案犯声称自己为未成年人，就需要法官对成年人和未成年人的分类有清楚的了解，对成年人和未成年人的分类，一定是精确的，应该精确到“天”这个单位，而且这个分类必须是穷尽的，否则就会有人既不是成年人，也不是未成年人。
案例 生物分类
生物分类也称生物分类学，是研究生物的一种基本方法。了解生物的多样性，保护生物的多样性，都需要对生物进行分类。
生物分类主要是根据形态结构和生理功能等方面的特征，把生物划分为种和属等不同的等级，并对每一类群的形态结构和生理功能等特征进行科学的描述，以弄清不同类群之间的亲缘关系和进化关系。
分类系统是阶元系统，通常包括七个主要级别：界、门、纲、目、科、属、种。种（物种）是基本单元，近缘的种归合为属，近缘的属归合为科，科隶于目，目隶于纲，纲隶于门，门隶于界。
一、生物的五界分类系统
生物的分类不是一成不变的，而是随着生物科技的进步逐步完善的。下面介绍一下生物分类学上使用较广的五界分类系统：原核生物界、原生生物界、真菌界、植物界、动物界。
★原核生物界（kingdom monera）
原核生物是一种无核膜包围的细胞核的单细胞生物，它们的细胞内没有任何带膜的细胞器。原核生物包括细菌和以前称作“蓝绿藻”的蓝细菌，是现存生物中最简单的一群，以分裂生殖繁殖后代。原核生物曾是地球上独一无二的生命形式，它们独占地球长达20亿年以上。如今它们还是很兴盛，而且在营养盐的循环上扮演着重要角色。
★原生生物界（kingdom protista）
真核原生生物界的生物都是有细胞核的，且几乎都是单细胞生物。某些真核原生生物像植物（如硅藻），某些像动物（如变形虫、纤毛虫），某些既像植物又像动物（如眼虫）。
★真菌界（kingdom fungi）
本界成员均属真核生物，它是真菌的最高分类阶元。
★植物界（kingdom plantae）
本界成员均属真核生物，是能够通过光合作用制造其所需要的食物的生物的总称。
★动物界（kingdom animalia）
该界成员均属真核生物，包括一般能自由运动、以（复杂有机物质合成的）碳水化合物和蛋白质为食的所有生物。
二、动物和植物的基本分类
常见动物和植物的分类举例如下。
知识分类是知识管理工作中的重要环节，能恰当运用科学的方法将知识分类，有助于实现知识便于利用的目标。
2.复分
复分（subdivision）在图书馆情报与文献学里面是一个专业名词，具体是指在分类时将某一类目划分成分类表主表中未列出的细目的过程。一般根据划分要求选用适当的复分表，然后按一定规则将复分表中的复分号附加于基本类号之后，形成新的专指性较强的类目的分类号。其中，复分是档案管理中的常用分类方法，档案管理中的多级目录多以简单铺陈序列的方式被使用。
通常意义上，复分是指从两个或两个以上的维度同时进行划分的分类方法。相应地，也可称为二维划分或多维划分。
案例 时间管理的四象限法则
如果把要做的事情按照紧急、不紧急、重要、不重要的排列组合分成四个象限，这四个象限的划分有利于我们对时间进行深刻的认识及有效的管理。
第一象限：这个象限包含的是一些紧急而重要的事情，这一类事情具有时间的紧迫性和影响的重要性，无法回避也不能拖延，必须首先处理优先解决。它表现为重大项目的谈判、重要的会议工作等。我们要优先解决第一象限，既紧急又重要的事情要优先处理，马上做。
第二象限：第二象限不同于第一象限，这一象限的事件不具有时间上的紧迫性，但是，它具有重大的影响，对于个人或者企业的存在和发展以及周围环境的建立维护，都具有重大的意义。第二象限的事情很重要，而且会有充足的时间去准备，有充足的时间去做好。可见，投资第二象限，它的回报才是最大的。因此，要计划做。
第三象限：第三象限包含的事件是那些紧急但不重要的事情，这些事情很紧急但并不重要，因此这一象限的事件具有很大的欺骗性。很多人认识上有误区，认为紧急的事情都显得重要，实际上，像无谓的电话、附和别人期望的事、打麻将三缺一等事件都并不重要。这些不重要的事件往往因为它紧急，就会占据人们很多宝贵的时间。所以，最好是授权让别人做。
第四象限：第四象限的事件大多是些琐碎的杂事，没有时间的紧迫性，没有任何的重要性，这种事件与时间的结合纯粹是在扼杀时间，是在浪费生命。发呆、上网、闲聊、游逛，这是饱食终日无所事事的人的生活方式。所以，要尽量减少做。
四象限法指将事物（事件、工作、项目等）的两个重要属性作为分析的依据，进行分类分析，找出解决问题的办法的一种分析方法。
案例 达克效应
达克效应，也叫邓宁-克鲁格心理效应，是指一种认知偏差，即能力欠缺的人往往会有一种虚幻的自我优越感，错误地认为自己比真实情况更优秀。
来自Cornell University的Justin Kruger和David Dunning两位学者通过对人们阅读、驾驶、下棋或打网球等各种技能的研究发现：
1.能力差的人通常会高估自己的技能水平；
2.能力差的人不能正确认识到其他真正有此技能的人的水平；
3.能力差的人无法认知且正视自身的不足，以及其不足之极端程度；
4.如果能力差的人能够经过恰当训练大幅度提高能力水平，他们最终会认知到且能承认他们之前的无能程度。
一个人的认知，有这样四个层次：
1.不知道自己不知道；
2.知道自己不知道；
3.知道自己知道；
4.不知道自己知道。
大多数人都处于第一种认知状态中，他们并不知道自己在做什么，有没有做对，反过来还会觉得自己什么都懂，狂妄自大，进入到一种自以为是的认知状态。这样的人就是图中站在愚昧山峰的那类人。所以他们往往会习惯这样，你和他提到一个东西，他潜意识会先否定。结果就是他把自己的大脑封闭起来，认知开始僵化。
有人说无知者无畏，可是无知者同时也冒着巨大的风险。这就像一个拿着火把的人横穿一个炸药库，肆无忌惮地到处乱跑，却不知道自己正处于随时可能被炸毁的险境。
大部分人的碌碌无为，往往都因为他们处于这种“不知道自己不知道”的状态。这种认知状态给了人们一种虚假的自满，让他们丧失了好奇心，也丧失了探索欲，而这些特质恰恰是一个人不能快速成长、认知升级的关键。
3.维度
分类只是基础，更精细化思考才是思考的目的。如果你在维度上进一步量化，那么你的分类将更细致，思考也将更精细。从多维度和高维度思考问题，才能全面理解事物，获得更优质的答案。你拥有什么样的思维维度，决定了你思考的层次。
阅读 如何成为高维度的思考者？
“维”是表示方向的概念。维度（dimension），又称为维数，是数学中独立参数的数目。“维”是一种度量，在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。
从广义上理解，维度是事物“有联系”的抽象概念的数量，“有联系”的抽象概念指的是由多个抽象概念联系而成的抽象概念，和任何一个组成它的抽象概念都有联系，组成它的抽象概念的个数就是它变化的维度。
从哲学角度看，人们观察、思考与表述某事物的“思维角度”，简称“维度”。维度即认知，从几个思维角度去观察与思考问题，称作几维。思维维度决定命运，你拥有什么维度决定了你能看到什么。一个人的思维维度越高，他的思维就更宽广，能看到别人看不到的许多东西。
1.零维
零维是一个无限小的点，没有长宽高，单纯的一个点，即奇点，黑洞也是奇点。
★零维空间
从一个点开始，和几何意义上的点一样，它没有大小、没有维度。它只是被想象出来的、作为标志一个位置的点。它什么也没有，空间、时间通通不存在，这就是零维度。
★零维思考
从思维的角度，失去知觉的人，没有明显的思维活动，称作“零思维”，即“零维”。
2.一维
一维空间是由一个方向确立的空间模式，呈直线性。一维是一条无限长的直线，只有长度，没有宽度和深度。
★一维空间
一维空间简单来说就是一条直线。现在想象一下，如果我们生活在一维空间，那么我们可以运动的方向就是要么左，要么右，也就是说要么往前要么往后。在这种情况下，我们是感知不到二维空间的存在的，感知不到更高维度的存在。
★一维思考
从思维的角度，维度即认知。头脑单纯，一条道跑到黑，其思维方式称作“一维”。单一维度致命的地方在于，它用单一视角固化地理解这个宽广的世界。
比如盲人摸象，盲人只能从触觉一个维度来了解大象。最后，有人认为大象是墙，有人认为大象是树干，有人认为大象是水管，有人认为大象是玉。显然，一维认知会看不见很多东西，单一的维度并不能全面了解事物。
3.二维
二维空间是由两个方向确立的空间模式。二维是一个平面，是由长度和宽度（或部分曲线）组成面积，但是没有深度。
★二维空间
笛卡儿坐标系是由两条互相垂直的x轴和y轴形成的直角坐标系统。根据定义，笛卡儿平面是一个二维空间，因为我们需要两个坐标值来描述其中的任意一点。
在这个平面内，可以将几何图形和代数公式联系起来。例如，半径为1的圆就可以用 x 2 + y 2 =1来描述。
这就是“解析几何”，或者“笛卡儿几何”，很快就成为微积分的基础。
★二维世界
日常生活中的纸张、电视屏幕以及任何有平面的东西都是二维空间。
让我们想象一下二维世界里的生活，就像电视机或者平板电脑或动画片里面的人物，只有一个二维空间。1884年，英国作家埃德温·A·艾勃特（Edwin A. Abbott）写出了经典的文学作品《平面国》（Flatland: A Romance of Many Dimensions），书中描述了一个神奇的平面国——这个国家存在于二维空间中，它的国民都是一些活生生的几何形状的人。书的最后讲到，一个三维空间国的球形人来到了平面国，把一个正方形人从平面国带到了三维世界。
蚂蚁近似地处于二维空间，我们姑且把蚂蚁看作是“二维生物”。二维世界里的生物，因为维度的局限，感受不到三维空间的存在。蚂蚁的认知能力在二维平面上，只对前后（长），左右（宽）所确立的平面性空间有感应，而不知道有上下（高）。蚂蚁上树也并不知有高，蚂蚁在树上只会感应到前后和左右。
★二维思考
从思维的角度，一维思考者只能沿着一条线进行粗放式思考，而二维思考却能在一个平面处理多种问题。
二维思考只需要在原来的单一维度之上增加一个维度，就把原来杂乱无序的事物进行了更合理更细致的分类，从而使得思考变得更加清晰、精细、具体和有条理，就能够处理更多的问题。
二维思考把事物划分四个象限。四象限法与笛卡儿数学坐标系有异曲同工之妙，只不过用事物的关键维度取代了x轴和y轴。它将原本复杂难以清晰思考的事情转化为四个象限的小问题。四象限法既可定性又可定量分析，有助力于人们更精确地理解每一个象限的事物的性质；而且，每一个象限都可以向附近象限转化，为人们制定针对性的解决方案提供了方向。
案例：产品
波士顿矩阵认为一般决定产品结构的基本因素有两个：即市场引力与企业实力。市场引力包括整个市场的销售（额）增长率、竞争对手强弱及利润高低等。通过以上两个因素相互作用，会出现四种不同性质的产品类型，形成不同的产品发展前景：
①销售增长率和市场占有率“双高”的产品群（明星类产品）；
②销售增长率和市场占有率“双低”的产品群（瘦狗类产品）；
③销售增长率高、市场占有率低的产品群（问题类产品）；
④销售增长率低、市场占有率高的产品群（金牛类产品）。
4.三维
三维是二维加上高度组成体积，三维空间是立体性的，被长、宽、高三个方向确立。客观存在的现实空间就是三维空间，具有长、宽、高三种度量。
★三维空间
三维坐标系是由二维坐标出发，添加第三个坐标轴而构成。可以用x、y和z轴来描述一个球面，这三个轴能够用来描述三维空间的形式。比如半径为1的球面就可以用公式 x 2 + y 2 + z 2 =1来表示。
三维空间是长宽高的立体世界。我们亲身感觉到的，肉眼看到的世界就是三维空间，每个点需要由三个坐标共同确定。
★三维世界
三维世界其实很简单，我们把无数个二维空间叠加在一起，无数个纸张叠加在一起，这样就形成了一个立体的空间。
有些现代物理学家猜测：我们的世界也许被禁锢在一个三维的膜空间里，而这个膜空间本身处在一个更高维的空间中。
案例：蚂蚁的世界
人类作为三维生物，可以轻而易举地决定二维生物蚂蚁的行进方向。我们可以做这样的游戏：
游戏一：一群蚂蚁搬运一块食物向巢里爬去。若我们用针把食物挑起，放在它们头上很近的地方，蚂蚁只会前后左右地在平面上寻找，绝不会向上搜索。
对于蚂蚁来说，这块食物神秘失踪了，其原因是蚂蚁的认知能力是二维的，但食物已从二维空间进入了三维空间里！只有当食物再被放回它们的感知面上，蚂蚁才可能重新发现它。这对蚂蚁来说：食物又神秘出现了！
游戏二：一张报纸上面有一只蚂蚁，若要让它从纸的一边爬到另一边，那么这只蚂蚁需要爬过整个纸张。
若我们把这张纸卷成一个圆柱，这时蚂蚁只需要走过接缝的位置，就到达了目的地。换句话说，卷曲产生新的维度！把二维空间弯曲，就得到了个三维空间里的物体。
★三维思考
虽然三维思考只比二维思考多一维，但是三维思考的思考量却翻了一倍，变成了八个象限。这是一种升维思考，用这种方式分析问题比二维思考更加立体和系统。
案例 RFM模型
RFM模型是衡量客户价值和客户创利能力的重要工具和手段。在众多的客户关系管理（CRM）的分析模式中，RFM模型是被广泛提到的。该机械模型通过一个客户的近期购买行为、购买的总体频率以及花了多少钱3项指标来描述该客户的价值状况。
RFM模型较为动态地显示了一个客户的全部轮廓，这为个性化的沟通和服务提供了依据，同时，如果与该客户打交道的时间足够长，也能够较为精确地判断该客户的长期价值（甚至是终身价值），通过改善三项指标的状况，从而为更多的营销决策提供支持。
5.四维
四维空间呈时空流动性，被长、宽、高和时间四个方向确立。
四维通常是指关于物体在时间线上的转移。在三维空间坐标上，加上时间，时空互相联系，就构成四维空间。
★四维空间
在笛卡儿三维坐标系上，添加第四个维度，比如说再加个t轴，公式 x 2 + y 2 + z 2 + t 2 =1，这代表一个四维球。
N 维空间，就是过一个点有 N 条互相垂直的线。例如：
零维空间：只有点没有线；
一维空间：一条线不存在垂直关系；
二维空间：两条线互相垂直，需要2个坐标表示，每一个点的坐标都用（ x ， y ）表示；
三维空间：三条线互相垂直，需要3个坐标表示，每一个点的坐标都用（ x ， y ， z ）表示；
N 维空间： N 条线互相垂直，需要 N 个坐标表示。如果是四维空间就需要四个坐标（ x ， y ， z ， t ）才能把它表示出来。
四维空间里，过其中任意一点，可以做出四条相互垂直的直线。在三维世界里，没法画出一个真正的四维立方体，因为没法找到第4个轴，让它们互相垂直。虽然画不出来这个物体，但是从数学上讲，再增加一个维度是合理的，“合理”意味着没有任何逻辑上的错误。
从数学的角度来看，一个“维度”只是一个自由度（即一个坐标轴），它最终成为一个纯粹的符号，不再需要和物质世界联系在一起。
★四维世界
想象一下，左边有一个1分钟之前的我，右边则是1分钟之后的我，将这“两个我”看成两个点，穿过他们连线，就是四维空间里的线。
但在现实当中我们看不到过去和未来的我，因为我们是活在三维空间中的三维生物，就如二维生物只能看到三维物体的截面一样，作为三维生物的我们，只能看到四维空间的截面，即此时此刻的世界。
当时间不存在的时候，你就会知道，你的过去、现在、未来都是一体的。你既没有过去，也没有未来，都在现在这一刻，现在这一刻是你能把握的最核心的一刻，这一刻既包含了过去，也包含了未来。
对于四维世界来说，三维世界里面所有的限制都不存在了。四维空间的模式没有“过去”、“现在”和“将来”的概念，它打破了我们三维空间的体与时间的结合只能局限于一点（现在）的认知极限。
案例 爱因斯坦的“四维时空”
日常生活所提及的“四维空间”，大多数都是指阿尔伯特·爱因斯坦提及的“四维时空”概念。二十世纪以前的物理学，描述世界由三维空间和一维时间组成，空间维度和时间维度完全独立，即所谓的绝对空间和绝对时间。
爱因斯坦把时间作为新的维度，添加在经典的三维空间上。狭义相对论把空间和时间统一起来，称为四维时空，时间和空间再也不是独立的事物，而是在某些情况下，时间维度和空间维度可以被压缩或者拉长，甚至相互转化。
爱因斯坦发现，只有在四维世界中，才能完全、精确地描述电磁学。在牛顿的世界图景中，空间、时间、物质和力是不同的现实范畴。在狭义相对论中，爱因斯坦证明时间和空间是统一的，从而将基本物理范畴从四个缩减为三个：时空、物质和力。
爱因斯坦又将“狭义相对论”扩展到“广义相对论”，将引力加入时空的结构中。从四维角度来看，引力只是空间形变的产物。这样，多维空间已经不再虚空，它饱含深刻的物理意义。
6.多维
随着科学理论的发展，科学家开始思考，在四维时空之外，是否还存在更高的维度。五维及以上的维度，可称为多维空间，目前只是在理论上存在可能。
N 维就是 N 条直线两两垂直所形成的空间，在想象的世界中，是可以无限维的。
★五维空间
在笛卡儿三维坐标系上，添加第四个维度变成四维。我们还可以继续添加更多的维度，可以在五维空间定义一个五维球（五维坐标 x ， y ， z ， p ， q ）： x 2 + y 2 + z 2 + p 2 + q 2 =1。尽管无法画出更高维的球面，但是我们能够把它们用符号表示出来。
在现实世界中，三维的我们沿着四维空间里的时间线向前走。假如我们是四维空间生物，我们就可以看到过去、现在、将来各个时段的自己。
但是，时间线只有一条，若在四维这条时间线的基础上，再加一条时间线和这条时间线交叉，五维空间就出现了！
举例说明，比如你大学毕业参加工作，工作了5年，现在是一名律师，那么四维空间里你只能看到大学毕业的你以及成为白领的这条时间线上的你。如果当初你初中毕业就去学机械，现在是一名钳工，那么这就是另一条时间线上的你。在五维空间中，你可以看到成为律师的你，也可以看到成为钳工的你。总的来说，在五维空间，你可以看到你未来的不同分支。
现在我们再扩展一下想象力，假设在我们这个三维世界里，有无数条金属丝，细细的线，这个金属线遍布在整个三维空间里。一条金属线就是一维的空间，一维的线遍布在整个三维空间里。对生活在一维世界这条线上的人来说，他其实是感受不到三维世界的存在的。
假设把这条金属丝的直径想象得无限大，比如说960万亿光年等。假如我们生活的三维世界是金属丝里的世界，那么金属丝外的这个三维世界就升级成为一个五维世界。
★六维空间
时间存在的第四维度，就相当于一个新的点，一个存在于时间中的点，就让我们叫它时间点，参照空间关系，四维空间是时间点与时间点的关系，也就是时间轴，五维就是轴与轴的关系了，构成时间平面，而将五维曲折形成六维，也就构成了完整的时间。
还是拿“律师的你”和“钳工的你”举例子，现在，作为钳工的你感觉日子很艰辛，你想成为律师，安安静静在办公室里坐着。怎么办？五维空间中，你可以穿越到初中毕业的时候，告诉以前的你，一定要继续好好读书，上高中，考大学，做白领。
弯曲一个空间产生一个新的维度。因此，我们可以直接把五维空间弯曲，产生六维空间。这样，你就可以穿越到“律师的你”这条时间线，看一看另一个版本的你。
多维空间的模型，在数学上进行描述相对容易，最简单的就是增加维度变量。比如著名的卡拉比-丘成桐空间，就是数学家丘成桐从数学上证明存在的六维空间。物理上预言，该空间存在于普朗克尺度，当前物理手段无法探测该空间的存在。
★七维空间
前面提到两个时间线：律师与钳工。初中毕业的你，不可能只有这两种选择，而是近乎无限，每一个选择又会塑造一个不同的你。“初中毕业的你”开始的无限种可能：律师、教师、会计、公务员、运动员、军人、商人、工人、农民等。
假如以“小学毕业的你”为开端，就会产生另一个包含着无限时间线的点。将这两点连成一条线，就是七维空间的线。
★八维空间
第八维度就是由第七维度组成的线——时空的延长线，也就是时空线。
我们再找到两个点为开端，一个是由“大学毕业的你”为开端产生的七维无限点，另一个是由“40岁的你”为开端产生的无限点。
将这两点连线，与上文中那条连接“初中毕业的你”无限点“小学毕业的你”无限点的线相交，我们就得到了八维空间！
★九维空间
将八维空间继续卷曲，就得到了九维空间！
我们把八维空间理解成那张平平的报纸，将报纸再一次卷起来，虫洞出现了。
即第八维度中面的曲折与扭曲就构成了第九维度——时空面。
★ N 维空间
十维空间里的一个点，充满着九维空间中所有可能性的连线。
如果九维是面，那么十维就是体——时空体，而十维所代表的时空体，也就是真正的无限。
以目前的理论和实验结果来看，只能够推测宇宙可能是高维的，但是不能完全证实。多维宇宙的思想来源于弦理论，弦理论是为了解决四大基本作用力的统一而被提出的一种大统一理论，当然，弦理论还有望能够实现解决相对论和量子理论的兼容性问题。弦理论认为物质并非是各种粒子组成的，而是一根根很小的弦，而基本粒子则是由弦的不同振动和运动所产生！弦理论表示有10个维度存在，它的扩展理论M理论（超弦理论）甚至认为宇宙有11个维度。
在额外维理论里，所有的物质以及除了引力以外的其他力，都被禁锢在一个膜空间上。电子、质子、光子以及所有其他标准模型粒子，都不可能在额外维里面传播，包括电磁场。
科学家只有通过观测引力效应，才能感知这些额外维度的存在。在额外维理论里，暗物质被认为是处在其他平行宇宙中的物质。暗物质占宇宙中所有物质质量的90%，虽然不可见，但科学家可以通过引力效应观测到它们。
★降维打击
在科幻小说《三体》之中，高维生物之所以能够轻而易举地降维攻击低维生物，一个重要原因就是高维生物拥有更多的维度，能够看到低维生物看不到的许多东西。
高维空间和低维空间有什么关系呢？其实N维空间沿某维度的投影是N-1维空间，任何一级低维空间都是高一级空间的横截面。
维度之间是单向透明的关系。低维度的人看不到高维度的人，但高维度看低维度是非常清楚透明、一览无遗的。相当于你看一个审讯室的单面镜子一样，你是看不见他的，但是他是可以看见你的。
假设我们在生活的世界里头有一个看不到的薄膜，那么这个薄膜就是我们向外看不出去的，我们在 N -1维世界的薄膜里看不到N维世界，但是在 N 维世界可以透过这个薄膜看到 N -1维世界。
例1： 有位散文家说：“智慧与聪明是令人渴望的品质。但是，一个人聪明并不意味着他很有智慧，而一个人有智慧也不意味着他很聪明。在我所遇到的人中，有的人聪明，有的人有智慧，但是，却没有人同时具备这两种品质。”
若这位散文家的陈述为真，以下哪项陈述不可能真？
Ⅰ.没有人聪明但没有智慧，也没有人有智慧却不聪明。
Ⅱ.大部分人既聪明，又有智慧。
Ⅲ.没有人既聪明，又有智慧。
分析： 散文家认为，他所遇到的人中，有的人聪明，有的人有智慧，但没有人既聪明又智慧，即他肯定遇到过聪明不智慧、智慧不聪明这两种人。
若散文家的陈述为真，则散文家遇到的人肯定是存在的，但要引起注意的是：散文家没遇到的人不等于不存在。
“聪明但没智慧”和“智慧却不聪明”这两类人散文家都遇到过，必定是存在的，因此，Ⅰ不可能为真。
虽然散文家所遇到的人中没有人既聪明又智慧，但社会上绝大部分人他没遇到过，因此，“大部分人既聪明，又有智慧”这种可能性是存在的，Ⅱ可能为真。
Ⅲ显然可能为真。
例2： 在某国某年进行的人口普查中，婚姻状况分为四种：未婚，已婚，离婚和丧偶。其中，已婚分为正常婚姻和分居；分居分为合法分居和非法分居；非法分居指分居者与人非法同居；非法同居指无婚姻关系的异性之间的同居。普查显示，非法同居的分居者中，女性比男性多100万。
如果上述断定及相应的数据为真，并且上述非法同居者都为该国本国人，则以下哪项有关该国的断定必定为真？
Ⅰ.与分居者非法同居的未婚、离婚或丧偶者中，男性多于女性。
Ⅱ.与分居者非法同居的人中，男性多于女性。
Ⅲ.与分居者非法同居的分居者中，男性多于女性。
分析： 上文中“非法同居指无婚姻关系的异性之间的同居”是指两个同居的异性无婚姻关系。因此，与分居者的非法同居包括两种类型：分居者和分居者非法同居；分居者与非已婚者（未婚、离婚或丧偶者）非法同居。
情况一：分居者与分居者非法同居
包含一个数学等式：
（1）
情况二：分居者与非已婚者非法同居
包含两个数学等式：
（2）
（3）
由此可得，题干条件关系为（ X * + Z * ）-（ X + Y ）=100
从中可推出： Z * -Y =100。因此， Z * ＞Y
Ⅰ项： Z ＞ Y * ，成立，因此必定为真。
Ⅱ项：（ X + Z ）＞（ X * + Y * ），成立，因此必定为真。
Ⅲ项： X ＞ X * ，不成立，实际上应该是相等的，因此不一定为真。
案例 垃圾分类的科学分析
垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态三方面的效益。2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，上海步入立法强制垃圾分类的时代，成为国内首个通过人大立法方式强制垃圾分类的城市。随着社会文明的发展，越来越多的城市和地方将实行垃圾分类。
一、垃圾分类的难题
实施垃圾分类所面临的挑战很大，一方面是处罚措施能否落实到位，另一方面是垃圾分类的专业知识能否贯彻落实。毋庸置疑，对公众来说，垃圾如何分类是个难题。
上海把日常垃圾分为四种：可回收物、有害垃圾、湿垃圾、干垃圾。但公众还是有很多迷惑，比如：
为什么胶水明明是液体，却属于干垃圾？
为什么瓜子壳明明是干的，却属于湿垃圾？
为什么会划伤手的碎玻璃不属于有害垃圾，却属于可回收物？
……
这个分类给公众造成困扰的原因在于，分类逻辑标准不明确：可回收物对应的是不可回收物；有害垃圾对应的是无害垃圾；干垃圾对应的是湿垃圾（表面上看是指是否包含水分，实际上在垃圾分类里面是指是否可分解）。
如此分类的依据到底是什么？有段子说，请猪一试便知，猪吃的是湿垃圾，连猪都不吃的是干垃圾，猪吃了会死的是有害垃圾，卖了可以买猪的是可回收物。这个说法虽然有些道理，但毕竟从逻辑上讲并不严谨。这里给出垃圾分类的逻辑分析。
二、垃圾分类的逻辑次序
如果搞清垃圾分类的逻辑，分类就不那么令人头疼了。逻辑上讲，垃圾分类有三个标准：是否有害、是否易腐、是否可回收。要注意的是这三个标准并不是在同一层面分类的，而是要在三个层面依次分别按三个标准进行分类。
垃圾分类的判断次序
三、垃圾类型的详细解释
下面对四种垃圾类型提供进一步的详细解释。
备注：
1.确定是否属于有害垃圾的注意事项
①不能将有害和有危险混作一谈，比如，菜刀很锋利很危险，但不属于有害垃圾。
②也不能将有害和有污染联系到一起，比如用过的纸尿裤已经被污染了，也不属于有害垃圾。
③其实，有害垃圾指的是内含重金属或者有毒物质，如果不进行妥当的处理，容易扩散到空气、水源、土地里面去，对人体、环境造成危害的那些垃圾。
2.确定是否属于湿垃圾的注意事项
①不能将是否带有水分与易腐、可被自然分解混淆，比如，湿纸巾就不属于湿垃圾。
②湿垃圾的处理方式一般是先进行粉碎，粉碎完通过发酵做成肥料。所以，湿垃圾大多以有机物为主。
③一般来说，厨房里的垃圾是能够被粉碎处理的，但是像猪的大骨、椰子壳、榴莲壳等因为太坚硬了，所以机器切不碎，这才使得它们成了其他垃圾（干垃圾）。粽子叶会缠着机器切割的刀，导致无法进行粉碎，所以也归类到了干垃圾当中。所以，一般可这么理解，凡是厨房内产生的可以切割的垃圾都属于厨余垃圾（湿垃圾），难以切割的东西就属于其他垃圾（干垃圾）。
④严格意义上，厨余垃圾的处理需要破袋，也就是到了垃圾投放点，要把厨余垃圾（湿垃圾）倒进去，而把袋子放到干垃圾当中。
四、常见生活垃圾分类图
五、垃圾分类的逻辑简图
根据上面的论述，垃圾分类可依次按是否有毒有害、是否易腐可分解、是否可回收循环利用来判断，可列简表如下。
根据上表可看出，垃圾分类可按如下次序判断。
（1）首先找出“有害垃圾”，即对人体健康或自然环境有毒有害的垃圾。
（2）其次找出“湿垃圾”，即无害、易腐（可自然分解）的垃圾。
（3）再次找出“可回收物”，即无害、不易腐、可回收利用（可再生）的垃圾。
（4）最后剩下的是“干垃圾”，即无害、不易腐、不可回收利用的其他垃圾。
简而言之，判断次序依次是：是否有害、是否易腐、是否可回收。
六、垃圾分类的实例分析
根据上面的逻辑分析，下面举例回答一些容易令人疑惑的问题。
1.水银温度计属于什么垃圾？
第一判断：是否有害？水银温度计里的水银外泄会对环境造成现实危害或者潜在危害，因此，属于有害垃圾。
2.瓜子属于什么垃圾？
第一判断：是否有害？瓜子无毒害，因此不属于有害垃圾。
第二判断：是否易腐？瓜子易粉碎，在自然环境中易腐可分解，因此属于湿垃圾。
3.碎玻璃属于什么垃圾？
第一判断：是否有害？碎玻璃无毒害，因此不属于有害垃圾。
第二判断：是否易腐？碎玻璃在自然环境中不易腐不可分解，因此不属于湿垃圾。
第三判断：是否可回收？碎玻璃可回收再生，可循环利用，因此，属于可回收物。
4.胶水属于什么垃圾？
第一判断：是否有害？胶水无毒害，因此不属于有害垃圾。
第二判断：是否易腐？胶水是复杂的精细化学品，不易腐不可分解，因此不属于湿垃圾。
第三判断：是否可回收？废胶水不可回收利用，因此，不属于可回收物。
所以，胶水属于干垃圾。
5.废纸尿裤、湿纸巾分别属于什么垃圾？
废纸尿裤无毒害，在自然环境中不易腐不可分解，不可回收利用，所以属于干垃圾。
湿纸巾无毒害，在自然环境中不易腐不可分解，不可回收利用，所以属于干垃圾。
6.卫生纸属于什么垃圾？
卫生纸无毒害，在自然环境中不易腐，并且卫生纸水溶性太强，不可回收利用，因此，不属于可回收物，所以属于干垃圾。
7.鸡骨、小碎骨和大棒骨分别属于什么垃圾？
鸡骨、小碎骨的特征是无毒害、易腐（可自然分解），所以属于湿垃圾。
大棒骨的特征是无毒害、不易腐（难以自然分解）、不可回收利用，所以属于干垃圾。
8.坏掉的核桃是什么垃圾？
核桃肉无害、易腐（是有机物），因此是湿垃圾。
核桃壳无害、不易腐、不可回收，因此是干垃圾。
9.为什么都是壳子，螃蟹壳就是湿垃圾，而蛤蜊壳却是干垃圾？
螃蟹壳的特征是无毒害、易腐（易粉碎，可自然分解），所以是湿垃圾。
而蛤蜊壳的特征是无毒害、不易腐（不易粉碎，难以自然分解），不可回收利用，所以就是干垃圾。
类似地，同样是龙虾壳，大龙虾壳是干垃圾，小龙虾壳却是湿垃圾。