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第4章
平面向量

平面向量通常在高考中会出一道5分的小题,而大题一般不会单独出现,在大题中往往与其他知识点综合来考。

大题中最常见的是将平面向量和三角函数结合起来,利用向量的关系求出三角函数表达式,然后又变成了一道三角函数大题;解析几何中点线关系利用平面向量也比较常见,比如利用平面向量成比例、直线的垂直、斜率等。

本章要求:平面向量部分没有复杂知识点,计算量也不大,因此不论是单独出题还是辅助地综合出现,我们都不能丢分。

4.1 高频考点结论

(1)向量常考基础知识点

① 如果 ,那么 的长度表示 的大小,也叫作 的长度(或模),记作

两个向量 同向且等长,即 相等,记作

如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行。这就是说,共线向量的方向相同或相反。向量 平行向量 ,记作 。如果向量 ,则 ;反之,如果 ,且 ,则一定存在唯一一个实数 λ ,使

长度等于零的向量,叫作零向量,记作

② 向量的加法

对于零向量与任一向量 的和有

③ 向量的减法 O 为任意一点)

④ 数乘向量

数乘向量运算满足下列运算律

⑤ 单位向量

给定一个非零向量 ,与 同方向且长度等于1的向量,叫作向量 的单位向量。如果 的单位向量记作 ,有 ,或

(2)向量的分解与向量的坐标运算

① 向量的分解

如果 是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量 存在唯一的一对实数 a 1 a 2 ,使

② 向量的直角坐标运算

(3)平面向量的数量积

① 两个向量的夹角

已知两个非零向量 的夹角可以记作 ,并规定

② 向量的数量积

③ 向量求斜率

(4)向量在轴上的正射影

已知向量 和轴 l ,作 ,过点 O A 分别作轴 l 的垂线,垂足分别为 O 1 A 1 ,则向量 叫作向量 在轴 l 上的正射影(简称射影),该射影在轴 l 上的坐标,称作 在轴 l 上的数量或轴 l 的方向上的数量。

在轴 l 上正射影的坐标记作 a 1 ,向量 的方向与轴 l 的方向所成的角为 θ ,则三角函数中的余弦定义有

4.2 历年真题

4.2.1 平面向量的平行垂直问题

4-1.(2023新课标Ⅰ卷3★★)已知向量 。若 ,则(  )

A. λ + μ =1

B. λ + μ =−1

C. λμ =1

D. λμ =−1

答案见此处

4-2.(2022全国甲卷文13★)已知向量 。若 ,则 m =__________。

答案见此处

4-3.(2021全国乙卷文13★)已知向量 ,若 ,则 λ__________ =__________。

答案见此处

4-4.(2021全国乙卷理14★)已知向量 ,若 ,则 λ =__________。

答案见此处

4-5.(2021全国甲卷理14★)已知向量 ,若 ,则 k =__________。

答案见此处

4-6.(2020全国Ⅱ理13★★)已知单位向量 的夹角为45°, 垂直,则 k =__________。

答案见此处

4-7.(2020全国Ⅱ文5★★)已知单位向量 的夹角为60°,则在下列向量中,与 垂直的是(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-8.(2019全国Ⅲ理13★★)已知 为单位向量,且 ,若 ,则

答案见此处

4-9.(2019全国Ⅰ理7文8★★)已知非零向量 满足 ,且 ,则 的夹角为(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-10.(2018全国Ⅲ理13★★)已知向量 。若 ,则 λ =__________。

答案见此处

4-11.(2016新课标Ⅱ理3★★)已知向量 ,且 ,则 m =(  )

A.−8

B.−6

C.6

D.8

答案见此处

4-12.(2016山东理8★★)已知非零向量 满足 。若 ,则实数 t 的值为(  )

A.4

B.–4

C.

D.

答案见此处

4-13.(2014陕西理13★★)设 ,向量 ,若 ,则tan θ =__________。

答案见此处

4-14.(2014重庆理4★★)已知向量 ,且 ,则实数 k =(  )

A.

B.0

C.3

D.

答案见此处

4.2.2 平面向量的数量积

4-15.(2022全国甲卷理13★★)设向量 的夹角的余弦值为 ,且 ,则

答案见此处

4-16.(2022全国新高考Ⅱ卷4★★)已知 ,若 ,则 t =(  )

A.−6

B.−5

C.5

D.6

答案见此处

4-17.(2021上海4★)如图4-1所示,正方形 ABCD 的边长为3,则

图4-1

答案见此处

4-18.(2020全国Ⅲ理6★★)已知向量 满足 ,则

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-19.(2016全国Ⅲ理3★)已知向量 ,则∠ ABC =(  )

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

答案见此处

4-20.(2014山东文7★)已知向量 ,若向量 的夹角为 ,则实数 m =(  )

A.

B.

C.0

D.

答案见此处

4-21.(2014四川文14★★)平面向量 m R ),且 的夹角等于 的夹角,则 m =__________。

答案见此处

4.2.3 平面向量的坐标运算

4-22.(2021北京13★★)已知 ,则

答案见此处

4-23.(2020全国Ⅲ文6★★)在平面内, A B 是两个定点, C 是动点,若 ,则点 C 的轨迹为(  )

A.圆

B.椭圆

C.抛物线

D.直线

答案见此处

4-24.(2019全国Ⅱ理3★★)已知 ,则

A.−3

B.−2

C.2

D.3

答案见此处

4-25.(2018上海8★★)在平面直角坐标系中,已知点 A (−10), B (2,0), E F 是轴上的两个动点,且 ,则 的最小值为__________。

答案见此处

4-26.(2017新课标Ⅱ理12★★★)已知△ ABC 是边长为2的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点,则 的最小值是(  )

A.−2

B.

C.

D.−1

答案见此处

4-27.(2015福建理9★★)已知 ,若点 P 是△ ABC 所在平面内一点,且 ,则 的最大值等于(  )

A.13

B.15

C.19

D.21

答案见此处

4-28.(2014北京理10★★)已知向量 满足 ,且 λ R ),则

答案见此处

4.2.4 单位向量

4-29.(2018浙江9★★★)已知 是平面向量, 是单位向量。若非零向量 的夹角为 ,向量 满足 ,则 的最小值是(  )

A.

B.

C.2

D.

答案见此处

4-30.(2017山东理12★★)已知 是互相垂直的单位向量,若 的夹角为60°,则实数 λ 的值是__________。

答案见此处

4-31.(2016浙江理15★★★)已知向量 ,若对任意单位向量 ,均有 ,则 的最大值是__________。

答案见此处

4-32.(2015浙江理15★★★)已知 是空间单位向量, ,若空间向量 满足 ,且对于任意 x y R ,则 x 0 =__________, y 0 =__________,

答案见此处

4-33.(2014福建理8★★)在下列向量组中,可以把向量 表示出来的是(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4.2.5 向量的模

4-34.(2023北京3★★)已知向量 满足 。则

A.−2

B.−1

C.0

D.1

答案见此处

4-35.(2022全国乙卷文3★)已知向量 ,则

A.2

B.3

C.4

D.5

答案见此处

4-36.(2022全国乙卷理3★★)已知向量 满足 ,则

A.−2

B.−1

C.1

D.2

答案见此处

4-37.(2021全国新高考Ⅱ卷15★★)已知向量

答案见此处

4-38.(2020全国Ⅰ理14★★)设 为单位向量,且 ,则

答案见此处

4-39.(2019全国Ⅱ文3★)已知向量 ,则

A.

B.2

C.

D.50

答案见此处

4-40.(2018全国Ⅱ文4★)已知向量 满足 ,则

A.4

B.3

C.2

D.0

答案见此处

4-41.(2017新课标Ⅰ理13★★)已知向量 的夹角为60°, ,则

答案见此处

4-42.(2017浙江15★★★)已知向量 满足 ,则 的最小值是__________,最大值是__________。

答案见此处

4-43.(2015湖南理8★★)已知点 A B C 在圆 x 2 + y 2 =1上运动,且 AB BC 。若点 P 的坐标为(2,0),则 的最大值为(  )

A.6

B.7

C.8

D.9

答案见此处

4-44.(2014湖南理16★★★)在平面直角坐标系中, O 为原点, A (−1,0)、 C (3,0),动点 D 满足| CD |=1,则 的最大值是__________。

答案见此处

4-45.(2014新课标Ⅱ理3★★)设向量 满足 ,则

A.1

B.2

C.3

D.5

答案见此处

4.2.6 向量分解

4-46.(2022全国新高考Ⅰ卷3★★)在△ ABC 中,点 D 在边 AB 上, BD =2 DA 。记 ,则

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-47.(2018全国Ⅰ理6★★)在△ ABC 中, AD BC 边上的中线, E AD 的中点,则

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-48.(2017天津理13★★)在△ ABC 中,∠ A =60°, AB =3, AC =2。若 ,且 ,则 λ 的值为__________。

答案见此处

4-49.(2017江苏12★★★)如图4-2所示,在同一个平面内,向量 的模分别为1、1、 的夹角为 α ,且tan α =7, 的夹角为45°。若 m n R ),则 m + n =__________。

图4-2

答案见此处

4-50.(2016天津理7★★)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形,点 D E 分别是边 AB BC 的中点,连接 DE 并延长到点 F ,使得 DE =2 EF ,则 的值为(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-51.(2015江苏6★★)已知向量 ,若 m n R ),则 m n 的值为__________。

答案见此处

4-52.(2015新课标Ⅰ理7★★)设 D 为△ ABC 所在平面内一点, ,则(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-53.(2015北京理13★★)在△ ABC 中,点 M N 满足 。若 ,则 x =__________, y =__________。

答案见此处

4-54.(2014新课标Ⅰ文6★★)设 D E F 分别为△ ABC 的三边 BC CA AB 的中点,则

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-55.(2014天津文13★★)已知菱形 ABCD 的边长为2,∠ BAD =120°,点 E F 分别在边 BC DC 上, BC =3 BE DC = λDF 。若 ,则 λ 的值为__________。

答案见此处

4-56.(2014天津理8★★)已知菱形 ABCD 的边长为2,∠ BAD =120°,点 E F 分别在边 BC DC 上, 。若 ,则 λ + μ =(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-57.(2014新课标Ⅰ理15★★)已知 A B C 是圆 O 上的三点,若 ,则 的夹角为________。

答案见此处

4-58.(2014山东理12★★)在△ ABC 中,已知 ,当 时,△ ABC 的面积为__________。

答案见此处

4.2.7 平面向量综合小题

4-59.(2022北京10★★★)在△ ABC 中, AC =3, BC =4,∠ C =90°。 P 为△ ABC 所在平面内的动点,且 PC =1,则 的取值范围是(  )

A.[−5,3]

B.[−3,5]

C.[−6,4]

D.[−4,6]

答案见此处

4-60.(2021浙江17★★★)已知平面向量 满足 。记向量 方向上的投影分别为 x y 方向上的投影为 z ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为__________。

答案见此处

4-61.(2019天津理14★★★)在四边形 ABCD 中, AD BC AD =5,∠ A =30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且 AE = BE ,则

答案见此处

4-62.(2019江苏12★★★)如图4-3所示,在△ ABC 中, D BC 的中点, E 在边 AB 上, BE =2 EA AD CE 交于点 O 。若 ,则 的值是__________。

图4-3

答案见此处

4-63.(2018天津理8★★★)如图4-4所示,在平面四边形 ABCD 中, AB B C AD CD ,∠ BAD =120°, AB = AD =1。若点 E 为边 CD 上的动点,则 的最小值为(  )

图4-4

A.

B.

C.

D.3

答案见此处

4-64.(2017浙江10★★★)如图4-5所示,已知平面四边形 ABCD AB BC AB = BC = AD =2, CD =3, AC BD 交于点 O ,记 ,则(  )

图4-5

A. I 1 < I 2 < I 3

B. I 1 < I 3 < I 2

C. I 3 < I 1 < I 2

D. I 2 < I 1 < I 3

答案见此处

4-65.(2017江苏13★★)在平面直角坐标系 xOy 中, A (−12,0), B (0,6),点 P 在圆 O x 2 + y 2 =50上,若 ,则点 P 的横坐标的取值范围是__________。

答案见此处

4-66.(2017新课标Ⅲ理12★★★)在矩形 ABCD 中, A B =1, AD =2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上。若 ,则 λ + μ 的最大值为(  )

A.3

B.

C.

D.2

答案见此处

4-67.(2016四川理10★★★)在平面内,定点 A B C D 满足 ,动点 P M 满足 ,则 的最大值是(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-68.(2015陕西理7★★)对任意向量 ,下列关系式中不恒成立的是(  )

A.

B.

C.

D.

答案见此处

4-69.(2015江苏14★★★)设向量 k =0,1,2,⋅⋅⋅,12),则 的值为________。

答案见此处

4-70.(2015天津理14★★★★)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB DC AB =2, BC =1,∠ ABC =60°。动点 E F 分别在线段 BC DC 上,且 ,则 的最小值为__________。

答案见此处

4-71.(2014浙江文9★★★)设 θ 为两个非零向量 的夹角,已知对任意实数 t 的最小值为1。(  )

A.若 θ 确定,则 唯一确定

B.若 θ 确定,则 唯一确定

C.若 确定,则 θ 唯一确定

D.若 确定,则 θ 唯一确定

答案见此处

4-72.(2014安徽文10★★★)设 为非零向量, ,两组向量 均由2个 和2个 排列而成,若 所有可能取值中的最小值为 ,则 的夹角为(  )

A.

B.

C.

D.0

答案见此处

4-73.(2014安徽理15★★★)已知两个不相等的非零向量 ,两组向量 均由2个 和3个 排列而成。记 S min 表示 S 所有可能取值中的最小值。则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)。

S 有5个不同的值;

② 若 ,则 S min 无关;

③ 若 ,则 S min 无关;

④ 若 ,则 S min >0;

⑤ 若 ,则 的夹角为

答案见此处

4-74.(2014安徽理10★★★)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 ,点 Q 满足 。曲线 ,区域 。若 C Ω 为两段分离的曲线,则(  )

A.1< r < R <3

B.1< r <3≤ R

C. r ≤1< R <3

D.1< r <3< R

答案见此处

4.2.8 平面向量三角函数综合大题

4-75.(2017江苏16★★★)已知向量 x ∈[0,π]。

(1)若 ,求 x 的值;

(2)记 ,求 f x )的最大值和最小值以及对应的 x 的值。

答案见此处

4-76.(2015广东理16★★)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量

(1)若 ,求tan x 的值;

(2)若 的夹角为 ,求 x 的值。

答案见此处

4-77.(2014山东理16★★★)已知向量 函数 ,且 y = f x )的图像过点 和点

(1)求 m n 的值;

(2)将 y = f x )的图像向左平移 φ (0< φ <π)个单位后得到函数 y = g x )的图像,若 y = g x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求 y = g x )的单调递增区间。

答案见此处

查漏补缺

4.2.1 平面向量的平行垂直问题

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.2 平面向量的数量积

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.3 平面向量的坐标运算

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.4 单位向量

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.5 向量的模

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.6 向量分解

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.7 平面向量综合小题

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。

4.2.8 平面向量三角函数综合大题

完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;

能做对,但是用时较长,题号:_______________;

本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;

不太会,题号:_______________;

完全不会,题号:_______________。 s4SolkEVluyeqY1kT0IaHc6QLhmXEq5sYaLw2dMORYt83opGBvYNG9H2j89CAwju

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