平面向量通常在高考中会出一道5分的小题,而大题一般不会单独出现,在大题中往往与其他知识点综合来考。
大题中最常见的是将平面向量和三角函数结合起来,利用向量的关系求出三角函数表达式,然后又变成了一道三角函数大题;解析几何中点线关系利用平面向量也比较常见,比如利用平面向量成比例、直线的垂直、斜率等。
本章要求:平面向量部分没有复杂知识点,计算量也不大,因此不论是单独出题还是辅助地综合出现,我们都不能丢分。
(1)向量常考基础知识点
① 如果
,那么
的长度表示
的大小,也叫作
的长度(或模),记作
。
两个向量
和
同向且等长,即
和
相等,记作
。
如果向量的基线互相平行或重合,则称这些向量共线或平行。这就是说,共线向量的方向相同或相反。向量
平行向量
,记作
。如果向量
,则
;反之,如果
,且
,则一定存在唯一一个实数
λ
,使
。
长度等于零的向量,叫作零向量,记作
。
② 向量的加法
对于零向量与任一向量
的和有
③ 向量的减法
(
O
为任意一点)
④ 数乘向量
数乘向量运算满足下列运算律
⑤ 单位向量
给定一个非零向量
,与
同方向且长度等于1的向量,叫作向量
的单位向量。如果
的单位向量记作
,有
,或
(2)向量的分解与向量的坐标运算
① 向量的分解
如果
和
是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量
存在唯一的一对实数
a
1
、
a
2
,使
② 向量的直角坐标运算
(3)平面向量的数量积
① 两个向量的夹角
已知两个非零向量
、
的夹角可以记作
,并规定
② 向量的数量积
③ 向量求斜率
(4)向量在轴上的正射影
已知向量
和轴
l
,作
,过点
O
、
A
分别作轴
l
的垂线,垂足分别为
O
1
、
A
1
,则向量
叫作向量
在轴
l
上的正射影(简称射影),该射影在轴
l
上的坐标,称作
在轴
l
上的数量或轴
l
的方向上的数量。
在轴
l
上正射影的坐标记作
a
1
,向量
的方向与轴
l
的方向所成的角为
θ
,则三角函数中的余弦定义有
。
4-1.(2023新课标Ⅰ卷3★★)已知向量
。若
,则( )
A. λ + μ =1
B. λ + μ =−1
C. λμ =1
D. λμ =−1
4-2.(2022全国甲卷文13★)已知向量
。若
,则
m
=__________。
4-3.(2021全国乙卷文13★)已知向量
,若
,则
λ__________
=__________。
4-4.(2021全国乙卷理14★)已知向量
,若
,则
λ
=__________。
4-5.(2021全国甲卷理14★)已知向量
,
,若
,则
k
=__________。
4-6.(2020全国Ⅱ理13★★)已知单位向量
的夹角为45°,
与
垂直,则
k
=__________。
4-7.(2020全国Ⅱ文5★★)已知单位向量
的夹角为60°,则在下列向量中,与
垂直的是( )
A.
B.
C.
D.
4-8.(2019全国Ⅲ理13★★)已知
为单位向量,且
,若
,则
。
4-9.(2019全国Ⅰ理7文8★★)已知非零向量
满足
,且
,则
与
的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
4-10.(2018全国Ⅲ理13★★)已知向量
。若
,则
λ
=__________。
4-11.(2016新课标Ⅱ理3★★)已知向量
,且
,则
m
=( )
A.−8
B.−6
C.6
D.8
4-12.(2016山东理8★★)已知非零向量
满足
,
。若
,则实数
t
的值为( )
A.4
B.–4
C.
D.
4-13.(2014陕西理13★★)设
,向量
,
,若
,则tan
θ
=__________。
4-14.(2014重庆理4★★)已知向量
,且
,则实数
k
=( )
A.
B.0
C.3
D.
4-15.(2022全国甲卷理13★★)设向量
的夹角的余弦值为
,且
,则
。
4-16.(2022全国新高考Ⅱ卷4★★)已知
,若
,则
t
=( )
A.−6
B.−5
C.5
D.6
4-17.(2021上海4★)如图4-1所示,正方形
ABCD
的边长为3,则
。
图4-1
4-18.(2020全国Ⅲ理6★★)已知向量
满足
,
,则
A.
B.
C.
D.
4-19.(2016全国Ⅲ理3★)已知向量
,
,则∠
ABC
=( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
4-20.(2014山东文7★)已知向量
,若向量
的夹角为
,则实数
m
=( )
A.
B.
C.0
D.
4-21.(2014四川文14★★)平面向量
(
m
∈
R
),且
与
的夹角等于
与
的夹角,则
m
=__________。
4-22.(2021北京13★★)已知
,则
。
4-23.(2020全国Ⅲ文6★★)在平面内,
A
、
B
是两个定点,
C
是动点,若
,则点
C
的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.抛物线
D.直线
4-24.(2019全国Ⅱ理3★★)已知
,则
A.−3
B.−2
C.2
D.3
4-25.(2018上海8★★)在平面直角坐标系中,已知点
A
(−10),
B
(2,0),
E
、
F
是轴上的两个动点,且
,则
的最小值为__________。
4-26.(2017新课标Ⅱ理12★★★)已知△
ABC
是边长为2的等边三角形,
P
为平面
ABC
内一点,则
的最小值是( )
A.−2
B.
C.
D.−1
4-27.(2015福建理9★★)已知
,若点
P
是△
ABC
所在平面内一点,且
,则
的最大值等于( )
A.13
B.15
C.19
D.21
4-28.(2014北京理10★★)已知向量
满足
,且
(
λ
∈
R
),则
。
4-29.(2018浙江9★★★)已知
是平面向量,
是单位向量。若非零向量
与
的夹角为
,向量
满足
,则
的最小值是( )
A.
B.
C.2
D.
4-30.(2017山东理12★★)已知
是互相垂直的单位向量,若
与
的夹角为60°,则实数
λ
的值是__________。
4-31.(2016浙江理15★★★)已知向量
,若对任意单位向量
,均有
,则
的最大值是__________。
4-32.(2015浙江理15★★★)已知
是空间单位向量,
,若空间向量
满足
,
,且对于任意
x
,
y
∈
R
,
,则
x
0
=__________,
y
0
=__________,
。
4-33.(2014福建理8★★)在下列向量组中,可以把向量
表示出来的是( )
A.
B.
C.
D.
4-34.(2023北京3★★)已知向量
满足
。则
A.−2
B.−1
C.0
D.1
4-35.(2022全国乙卷文3★)已知向量
,则
A.2
B.3
C.4
D.5
4-36.(2022全国乙卷理3★★)已知向量
满足
,则
A.−2
B.−1
C.1
D.2
4-37.(2021全国新高考Ⅱ卷15★★)已知向量
,
。
4-38.(2020全国Ⅰ理14★★)设
为单位向量,且
,则
。
4-39.(2019全国Ⅱ文3★)已知向量
,则
A.
B.2
C.
D.50
4-40.(2018全国Ⅱ文4★)已知向量
满足
,则
A.4
B.3
C.2
D.0
4-41.(2017新课标Ⅰ理13★★)已知向量
的夹角为60°,
,
,则
。
4-42.(2017浙江15★★★)已知向量
满足
,则
的最小值是__________,最大值是__________。
4-43.(2015湖南理8★★)已知点
A
、
B
、
C
在圆
x
2
+
y
2
=1上运动,且
AB
⊥
BC
。若点
P
的坐标为(2,0),则
的最大值为( )
A.6
B.7
C.8
D.9
4-44.(2014湖南理16★★★)在平面直角坐标系中,
O
为原点,
A
(−1,0)、
、
C
(3,0),动点
D
满足|
CD
|=1,则
的最大值是__________。
4-45.(2014新课标Ⅱ理3★★)设向量
满足
,则
A.1
B.2
C.3
D.5
4-46.(2022全国新高考Ⅰ卷3★★)在△
ABC
中,点
D
在边
AB
上,
BD
=2
DA
。记
,则
A.
B.
C.
D.
4-47.(2018全国Ⅰ理6★★)在△
ABC
中,
AD
为
BC
边上的中线,
E
为
AD
的中点,则
A.
B.
C.
D.
4-48.(2017天津理13★★)在△
ABC
中,∠
A
=60°,
AB
=3,
AC
=2。若
,且
,则
λ
的值为__________。
4-49.(2017江苏12★★★)如图4-2所示,在同一个平面内,向量
的模分别为1、1、
与
的夹角为
α
,且tan
α
=7,
与
的夹角为45°。若
(
m
,
n
∈
R
),则
m
+
n
=__________。
图4-2
4-50.(2016天津理7★★)已知△
ABC
是边长为1的等边三角形,点
D
、
E
分别是边
AB
、
BC
的中点,连接
DE
并延长到点
F
,使得
DE
=2
EF
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
4-51.(2015江苏6★★)已知向量
,若
(
m
,
n
∈
R
),则
m
−
n
的值为__________。
4-52.(2015新课标Ⅰ理7★★)设
D
为△
ABC
所在平面内一点,
,则( )
A.
B.
C.
D.
4-53.(2015北京理13★★)在△
ABC
中,点
M
、
N
满足
,
。若
,则
x
=__________,
y
=__________。
4-54.(2014新课标Ⅰ文6★★)设
D
、
E
、
F
分别为△
ABC
的三边
BC
、
CA
、
AB
的中点,则
A.
B.
C.
D.
4-55.(2014天津文13★★)已知菱形
ABCD
的边长为2,∠
BAD
=120°,点
E
、
F
分别在边
BC
、
DC
上,
BC
=3
BE
,
DC
=
λDF
。若
,则
λ
的值为__________。
4-56.(2014天津理8★★)已知菱形
ABCD
的边长为2,∠
BAD
=120°,点
E
、
F
分别在边
BC
、
DC
上,
。若
,
,则
λ
+
μ
=( )
A.
B.
C.
D.
4-57.(2014新课标Ⅰ理15★★)已知
A
、
B
、
C
是圆
O
上的三点,若
,则
与
的夹角为________。
4-58.(2014山东理12★★)在△
ABC
中,已知
,当
时,△
ABC
的面积为__________。
4-59.(2022北京10★★★)在△
ABC
中,
AC
=3,
BC
=4,∠
C
=90°。
P
为△
ABC
所在平面内的动点,且
PC
=1,则
的取值范围是( )
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
4-60.(2021浙江17★★★)已知平面向量
满足
。记向量
在
方向上的投影分别为
x
、
y
,
在
方向上的投影为
z
,则
x
2
+
y
2
+
z
2
的最小值为__________。
4-61.(2019天津理14★★★)在四边形
ABCD
中,
AD
∥
BC
,
,
AD
=5,∠
A
=30°,点
E
在线段
CB
的延长线上,且
AE
=
BE
,则
。
4-62.(2019江苏12★★★)如图4-3所示,在△
ABC
中,
D
是
BC
的中点,
E
在边
AB
上,
BE
=2
EA
,
AD
与
CE
交于点
O
。若
,则
的值是__________。
图4-3
4-63.(2018天津理8★★★)如图4-4所示,在平面四边形
ABCD
中,
AB
⊥
B
C
,
AD
⊥
CD
,∠
BAD
=120°,
AB
=
AD
=1。若点
E
为边
CD
上的动点,则
的最小值为( )
图4-4
A.
B.
C.
D.3
4-64.(2017浙江10★★★)如图4-5所示,已知平面四边形
ABCD
,
AB
⊥
BC
,
AB
=
BC
=
AD
=2,
CD
=3,
AC
与
BD
交于点
O
,记
,
,则( )
图4-5
A. I 1 < I 2 < I 3
B. I 1 < I 3 < I 2
C. I 3 < I 1 < I 2
D. I 2 < I 1 < I 3
4-65.(2017江苏13★★)在平面直角坐标系
xOy
中,
A
(−12,0),
B
(0,6),点
P
在圆
O
:
x
2
+
y
2
=50上,若
,则点
P
的横坐标的取值范围是__________。
4-66.(2017新课标Ⅲ理12★★★)在矩形
ABCD
中,
A
B
=1,
AD
=2,动点
P
在以点
C
为圆心且与
BD
相切的圆上。若
,则
λ
+
μ
的最大值为( )
A.3
B.
C.
D.2
4-67.(2016四川理10★★★)在平面内,定点
A
、
B
、
C
、
D
满足
,动点
P
、
M
满足
,
,则
的最大值是( )
A.
B.
C.
D.
4-68.(2015陕西理7★★)对任意向量
,下列关系式中不恒成立的是( )
A.
B.
C.
D.
4-69.(2015江苏14★★★)设向量
(
k
=0,1,2,⋅⋅⋅,12),则
的值为________。
4-70.(2015天津理14★★★★)在等腰梯形
ABCD
中,已知
AB
∥
DC
,
AB
=2,
BC
=1,∠
ABC
=60°。动点
E
和
F
分别在线段
BC
和
DC
上,且
,
,则
的最小值为__________。
4-71.(2014浙江文9★★★)设
θ
为两个非零向量
的夹角,已知对任意实数
t
,
的最小值为1。( )
A.若
θ
确定,则
唯一确定
B.若
θ
确定,则
唯一确定
C.若
确定,则
θ
唯一确定
D.若
确定,则
θ
唯一确定
4-72.(2014安徽文10★★★)设
为非零向量,
,两组向量
和
均由2个
和2个
排列而成,若
所有可能取值中的最小值为
,则
与
的夹角为( )
A.
B.
C.
D.0
4-73.(2014安徽理15★★★)已知两个不相等的非零向量
,两组向量
和
均由2个
和3个
排列而成。记
,
S
min
表示
S
所有可能取值中的最小值。则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)。
① S 有5个不同的值;
② 若
,则
S
min
与
无关;
③ 若
,则
S
min
与
无关;
④ 若
,则
S
min
>0;
⑤ 若
,
,则
与
的夹角为
。
4-74.(2014安徽理10★★★)在平面直角坐标系
xOy
中,已知向量
,
,点
Q
满足
。曲线
,区域
。若
C
∩
Ω
为两段分离的曲线,则( )
A.1< r < R <3
B.1< r <3≤ R
C. r ≤1< R <3
D.1< r <3< R
4-75.(2017江苏16★★★)已知向量
x
∈[0,π]。
(1)若
,求
x
的值;
(2)记
,求
f
(
x
)的最大值和最小值以及对应的
x
的值。
4-76.(2015广东理16★★)在平面直角坐标系
xOy
中,已知向量
,
,
。
(1)若
,求tan
x
的值;
(2)若
与
的夹角为
,求
x
的值。
4-77.(2014山东理16★★★)已知向量
函数
,且
y
=
f
(
x
)的图像过点
和点
。
(1)求 m , n 的值;
(2)将 y = f ( x )的图像向左平移 φ (0< φ <π)个单位后得到函数 y = g ( x )的图像,若 y = g ( x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求 y = g ( x )的单调递增区间。
4.2.1 平面向量的平行垂直问题
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.2 平面向量的数量积
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.3 平面向量的坐标运算
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.4 单位向量
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.5 向量的模
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.6 向量分解
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.7 平面向量综合小题
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。
4.2.8 平面向量三角函数综合大题
完全没问题,无论什么时候做都能快速做对,题号:_______________;
能做对,但是用时较长,题号:_______________;
本来会做,但由于某种原因,结果错了,题号:_______________;
不太会,题号:_______________;
完全不会,题号:_______________。