第3章
三角函数

3.1　常考结论

（1）三角函数在各象限的符号

（2）诱导公式

（3）常考公式

拓展公式

令 α + β = x ， α − β = y ，可以得到

（4）三角函数的图像与性质

（5） y = A sin（ ωx + φ ）（ A >0， ω >0）

①振幅： A ；②周期： ；③频率： ；④相位： ω x + φ ；⑤初相： φ 。

3.2　历年真题

3.2.1　三角函数小题

3.2.1.1　基础计算

3-1．（2023新课标Ⅱ卷7★★）已知 α 为锐角， ，则 （　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-2．（2023新课标Ⅰ卷8★★★）已知 ，则cos（2 α +2 β ）=（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-3．（2022浙江13★★）若 ，则sin α =__________，cos 2 β =__________。

答案见此处

3-4．（2022全国新高考Ⅱ卷6★★）角 α 、 β 满足sin（ α + β ）+cos（ α + β ）= ，则（　　）

A．tan（ α + β ）=1

B．tan（ α + β ）=−1

C．tan（ α − β ）=1

D．tan（ α − β ）=−1

答案见此处

3-5．（2021全国乙卷文6★★）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-6．（2021全国新高考Ⅰ卷6★★）若tan θ =−2，则

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-7．（2021全国甲卷理9文11★★）若 ，则tan α =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-8．（2020全国Ⅰ理9★★）已知 α ∈（0，π），且3cos2 α −8cos α =5，则sin α =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-9．（2020全国Ⅱ文13★）若 ，则cos 2 x =__________。

答案见此处

3-10．（2020全国Ⅱ理2★★）若 α 为第四象限角，则（　　）

A．cos2 α >0

B．cos2 α <0

C．sin2 α >0

D．sin2 α <0

答案见此处

3-11．（2020全国Ⅲ文5★★）已知 ，则 （　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-12．（2020全国Ⅲ理9★★）已知 ，则tan θ =（　　）

A．–2

B．–1

C．1

D．2

答案见此处

3-13．（2019全国Ⅰ文7★★）tan 255°=（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-14．（2019全国Ⅱ理10文11★★）已知 ，2sin2 α =cos2 α +1，则sin α =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-15．（2019江苏13★★★）已知 ，则 的值是__________。

答案见此处

3-16．（2018全国Ⅲ理4★★）若 ，则cos 2 α =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-17．（2018全国Ⅱ理15★★）已知sin α +cos β =1，cos α +sin β =0，则sin（ α + β ）=__________。

答案见此处

3-18．（2016全国Ⅲ理5★★）若 ，则cos ² α +2sin 2 α =（　　）

A．

B．

C．1

D．

答案见此处

3-19．（2016全国Ⅱ理9★★）若 ，则sin 2 α =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-20．（2015新课标Ⅰ理2★★）sin 20° cos 10°−cos 160° sin 10°=（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-21．（2015重庆理9★★★）若 ，则

A．1

B．2

C．3

D．4

3.2.1.2　最小正周期

答案见此处

3-22．（2021全国乙卷文4★★）函数 的最小正周期和最大值分别是（　　）

A．3π和

B．3π和2

C．6π和

D．6π和2

答案见此处

3-23．（2018全国Ⅰ文8★★）已知函数 f （ x ）=2 cos ² x −sin ² x +2，则（　　）

A． f （ x ）的最小正周期为π，最大值为3

B． f （ x ）的最小正周期为π，最大值为4

C． f （ x ）的最小正周期为2π，最大值为3

D． f （ x ）的最小正周期为2π，最大值为4

答案见此处

3-24．（2018全国Ⅲ文6★★）函数 的最小正周期为（　　）

A．

B．

C．π

D．2π

答案见此处

3-25．（2017天津理7★★）设函数 f （ x ）=2 sin（ ωx + φ ）， x ∈ R ，其中 ω >0，| φ |<π。若 ，且 f （ x ）的最小正周期大于2π，则（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-26．（2017新课标Ⅱ文3★）函数 的最小正周期为（　　）

A．4π

B．2π

C．π

D．

答案见此处

3-27．（2017山东文7★★）函数 最小正周期为（　　）

A．

B．

C．π

D．2π

答案见此处

3-28．（2016浙江理5★★）设函数 f （ x ）=sin ² x + b sin x + c ，则 f （ x ）的最小正周期（　　）

A．与 b 有关，且与 c 有关

B．与 b 有关，但与 c 无关

C．与 b 无关，且与 c 无关

D．与 b 无关，但与 c 有关

答案见此处

3.2.1.3　零点极值点

3-29．（2022北京13★★）若函数 的一个零点为 ，则 A =__________； 。

答案见此处

3-30．（2022全国乙卷理15★★★）记函数 f （ x ）=cos（ ωx + φ ）（ ω >0，0< φ <π）的最小正周期为 T ，若 为 f （ x ）的零点，则 ω 的最小值为__________。

答案见此处

3-31．（2022全国甲卷理11★★★）设函数 在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则 ω 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-32．（2019全国Ⅱ文8★★）若 ， 是函数 f （ x ）=sin ωx （ω>0）两个相邻的极值点，则 ω =（　　）

A．2

B．

C．1

D．

答案见此处

3-33．（2019全国Ⅲ理12★★★）设函数 ，已知 f （ x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：

① f （ x ）在（0，2π）有且仅有3个极大值点

② f （ x ）在（0，2π）有且仅有2个极小值点

③ f （ x ）在（ ）单调递增

④ ω 的取值范围是

其中所有正确结论的编号是（　　）

A．①④

B．②③

C．①②③

D．①③④

答案见此处

3-34．（2019全国Ⅲ文5★★）函数 f （ x ）=2sin x −sin2 x 在[0，2π]的零点个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

答案见此处

3-35．（2016江苏9★★）定义在区间[0，3π]上的函数 y =sin 2 x 的图像与 y =cos x 的图像的交点个数是__________。

答案见此处

3.2.1.4　对称

3-36．（2022全国新高考Ⅰ卷6★★）记函数 的最小正周期为 T 。若 ，且 y = f （ x ）的图像关于点 中心对称，则

A．1

B．

C．

D．3

答案见此处

3-37．（2021北京14★★）若 P （cos θ ，sin θ ）与 关于 y 轴对称，写出一个符合题意的 θ 值__________。

答案见此处

3-38．（2020年全国Ⅲ文12★★）已知函数 ，则（　　）

A． f （ x ）的最小值为2

B． f （ x ）的图像关于 y 轴对称

C． f （ x ）的图像关于直线 x =π对称

D． f （ x ）的图像关于直线 对称

答案见此处

3-39．（2018江苏7★★）已知函数 的图像关于直线 对称，则 φ 的值是__________。

答案见此处

3-40．（2015四川理4★★）下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是（　　）

A．

B．

C． y =sin 2 x +cos 2 x

D． y =sin x +cos x

答案见此处

3-41．（2014新课标Ⅰ文7★★）在函数① y =cos|2 x |，② y =|cos x |，③ ，④ 中，最小正周期为π的所有函数为（　　）

A．①②③

B．①③④

C．②④

D．①③

答案见此处

3.2.1.5　坐标变换

3-42．（2022浙江6★）为了得到函数 y =2 sin 3 x 的图像，只要把函数 图像上所有的点（　　）

A．向左平移 个单位长度

B．向右平移 个单位长度

C．向左平移 个单位长度

D．向右平移 个单位长度

答案见此处

3-43．（2022全国甲卷文5★★）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C ，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-44．（2021全国乙卷理7★★）把函数 y = f （ x ）图像上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 f （ x ）=（　　）

A．

B

C．

D．

答案见此处

3-45．（2019天津文7★★）已知函数 f （ x ）= A sin（ ωx + φ ）（ A >0， ω >0，| φ |<π）是奇函数，且 f （ x ）的最小正周期为π，将 y = f （ x ）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g （ x ）。若 ，则

A．−2

B．

C．

D．2

答案见此处

3-46．（2018天津文6★★）将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的函数（　　）

A．在区间 上单调递增

B．在区间 上单调递减

C．在区间 上单调递增

D．在区间 上单调递减

答案见此处

3-47．（2016四川文4★★）为了得到函数 的图像，只需把函数 y =sin x 的图像上所有的点（　　）

A．向左平行移动 个单位长度

B．向右平行移动 个单位长度

C．向上平行移动 个单位长度

D．向下平行移动 个单位长度

答案见此处

3-48．（2016新课标Ⅲ文14★★）函数 的图像可由函数 y =2 sin x 的图像至少向右平移__________个单位长度得到。

答案见此处

3-49．（2016新课标Ⅰ文6★★）若将函数 的图像向右平移 个周期后，所得图像对应的函数为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-50．（2015山东理3★★）要得到函数 的图像，只需要将函数 y =sin 4 x 的图像（　　）

A．向左平移 个单位

B．向右平移 个单位

C．向左平移 个单位

D．向右平移 个单位

答案见此处

3-51．（2014福建文7★★）将函数 y =sin x 的图像向左平移 个单位，得到函数 y = f （ x ）的图像，则下列说法正确的是（　　）

A． y = f （ x ）是奇函数

B． y = f （ x ）的周期是π

C． y = f（x） 的图像关于直线 对称

D． y = f （ x ）的图像关于点 对称

答案见此处

3-52．（2014浙江文4★★）为了得到函数 y =sin 3 x +cos 3 x 的图像，可以将函数 的图像（　　）

A．向右平移 个单位

B．向右平移 个单位

C．向左平移 个单位

D．向左平移 个单位

答案见此处

3-53．（2014重庆文13★★）将函数 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度得到 y =sin x 的图像，则 。

答案见此处

3-54．（2014安徽理11★★）若将函数 的图像向右平移 φ 个单位，所得图像关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是_________。

答案见此处

3-55．（2014辽宁理9★★）将函数 的图像向右平移 个单位长度，所得图像对应的函数（　　）

A．在区间 上单调递减

B．在区间 上单调递增

C．在区间 上单调递减

D．在区间 上单调递增

答案见此处

3-56．（2014安徽文7★★）若将函数 f （ x ）=sin 2 x +cos 2 x 的图像向右平移 φ 个单位，所得图像关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3.2.1.6　三角函数的图像

3-57．（2022北京5★★）已知函数 f （ x ）=cos ² x −sin ² x ，则（　　）

A． f （ x ）在 上单调递减

B． f （ x ）在 上单调递增

C． f （ x ）在 上单调递减

D． f （ x ）在 上单调递增

答案见此处

3-58．（2021全国新高考Ⅰ卷4★★）下列区间中，函数 单调递增的区间是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-59．（2020全国Ⅰ理文7★★）设函数 在[−π，π]的图像大致如图3-1所示，则 f （ x ）的最小正周期为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-60．（2017新课标Ⅰ文8★★）函数 的部分图像大致为（　　）

答案见此处

3-61．（2016浙江文3★★）函数 y =sin x ² 的图像是（　　）

答案见此处

3-62．（2016新课标Ⅱ文3★★）函数 y = A sin（ ωx + φ ）的部分图像如图3-2所示，则（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-63．（2015新课标Ⅰ理8★★）函数 f （ x ）=cos（ ωx + φ ）的部分图像如图3-3所示，则 f （ x ）的单调递减区间为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3-64．（2015新课标Ⅱ理10★★）如图3-4所示，长方形 ABCD 的边 AB =2， BC =1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ， CD 与 DA 运动，∠ BOP = x 。将动点 P 到 A ， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f （ x ），则 y = f （ x ）的图像大致为（　　）

答案见此处

3-65．（2014新课标Ⅰ理6★★）如图3-5所示，圆 O 的半径为1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f （ x ），则 y = f （ x ）在[0，π]上的图像大致为（　　）

答案见此处

3.2.1.7　三角函数的定义域值域

3-66．（2021北京7★★）已知函数 f （ x ）=cos x −cos2 x ，则该函数（　　）

A．奇函数，最大值为2

B．偶函数，最大值为2

C．奇函数，最大值为

D．偶函数，最大值为

答案见此处

3-67．（2019全国Ⅰ文15★★）函数 的最小值为__________。

答案见此处

3-68．（2018北京理7★★）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P （cos θ ，sin θ ）到直线 x − my −2=0的距离，当 θ 、 m 变化时， d 的最大值为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案见此处

3-69．（2017新课标Ⅲ文6★★）函数 的最大值为（　　）

A．

B．1

C．

D．

答案见此处

3-70．（2018全国Ⅰ理16★★★）已知函数 f （ x ）=2sin x +sin 2 x ，则 f （ x ）的最小值是__________。

答案见此处

3-71．（2017新课标Ⅱ理14★★）函数 的最大值是__________。

答案见此处

3-72．（2014新课标Ⅱ理14★★）函数 f （ x ）=sin（ x +2 φ ）−2sin φ cos（ x + φ ）的最大值为__________。

答案见此处

3.2.1.8　三角函数综合小题

3-73．（2021全国甲卷理16★★★★）已知函数 f （ x ）=2cos（ ωx + φ ）的部分图像如图3-6所示，则满足条件 的最小正整数 x 为__________。

答案见此处

3-74．（2021浙江8★★★）已知 α 、 β 、 γ 是互不相同的锐角，则在sin α cos β 、sin β cos γ 、sin γ cos α 三个值中，大于 的个数的最大值是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

答案见此处

3-75．（2019全国Ⅰ理11★★★）关于函数 f （ x ）=sin| x |+|sin x |有下述四个结论：

① f （ x ）是偶函数

② f （ x ）在区间 单调递增

③ f （ x ）在[−π，π]有4个零点

④ f （ x ）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（　　）

A．①②④

B．②④

C．①④

D．①③

答案见此处

3-76．（2019全国Ⅱ理9★★）下列函数中，以 为周期且在区间 单调递增的是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

3.2.2　三角函数综合大题

3.2.2.1　三角计算大题

3-77．（2018浙江18★★★）已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 。

（1）求sin（ α +π）的值；

（2）若角 β 满足 ，求cos β 的值。

答案见此处

3.2.2.2　周期定义域值域单调区间

3-78．（2023北京17★★★）已知函数 f （ x ）=sin ωx cos φ +cos ωx sin φ ， ω >0， 。

（1）若 ，求 φ 的值；

（2）若 f （ x ）在 上单调递增，且 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 ω 、 φ 的值。

条件①： ；

条件②： ；

条件③： f （ x ）在 上单调递减。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

答案见此处

3-79．（2021浙江18★★★）设函数 f （ x ）=sin x +cos x （ x ∈ R ）。

（1）求函数 的最小正周期；

（2）求函数 在 上的最大值。

答案见此处

3-80．（2019浙江18★★★）设函数 f （ x ）=sin x ， x ∈ R 。

（1）已知 θ ∈[0，2π），函数 f （ x + θ ）是偶函数，求 θ 的值；

（2）求函数 的值域。

答案见此处

3-81．（2018北京文16★★★）已知函数 。

（1）求 f （ x ）的最小正周期；

（2）若 f （ x ）在区间 上的最大值为 ，求 m 的最小值。

答案见此处

3-82．（2017浙江文18★★★）已知函数 f （ x ）=sin ² x −cos ² x − 。

（1）求 的值；

（2）求 f （ x ）的最小正周期及单调递增区间。

答案见此处

3-83．（2016北京文16★★★）已知函数 f （ x ）=2 sin ωx cos ωx +cos 2 ωx （ ω >0）的最小正周期为π。

（1）求 ω 的值；

（2）求 f （ x ）的单调递增区间。

答案见此处

3-84．（2014北京文16★★）函数 f（x） = 的部分图像如图3-7所示，

（1）写出 f（x） 的最小正周期及图中 x ₀ 、 y ₀ 的值；

（2）求 f （ x ）在区间 上的最大值和最小值。

答案见此处

3.2.2.3　坐标变换

3-85．（2016山东文17★★★）设 。

（1）求 f （ x ）的单调递增区间；

（2）把 y = f （ x ）的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图像向左平移 个单位，得到函数 y = g （ x ）的图像，求 的值。

答案见此处

3-86．（2015湖北理17★★★）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表3-1所示：

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f （ x ）的解析式；

（2）将 y = f （ x ）图像上所有点向左平行移动 θ （ θ >0）个单位长度，得到 y = g （ x ）的图像。若 y = g （ x ）图像的一个对称中心为 ，求 θ 的最小值。

答案见此处

3.2.2.4　三角函数压轴大题

3-87．（2020全国Ⅱ理21★★★★★）已知函数 f （ x ）=sin ² x sin2 x 。

（1）讨论 f （ x ）在区间（0，π）的单调性；

（2）证明： ；

（3）设 n ∈ N ^* ，证明： 。

答案见此处

查漏补缺

3.2.1　三角函数小题

3.2.1.1　基础计算

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.2　最小正周期

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.3　零点极值点

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.4　对称

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.5　坐标变换

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.6　三角函数的图像

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.7　三角函数的定义域值域

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.1.8　三角函数综合小题

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.2　三角函数综合大题

3.2.2.1　三角计算大题

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.2.2　周期定义域值域单调区间

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.2.3　坐标变换

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

3.2.2.4　三角函数压轴大题

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。 KePgrX/teCvil8Hwm8TMO+YhSrHmWdOjQHD5kDNmhembtHKAF1Dh6qnZk5sOAwQu