第2章
函数

2.1　考点及常考结论

（1）求定义域常见三题型

① 分母 ；② 根号 ；③ 真数log _a M （ M >0）。

（2）函数的奇偶性

① 奇函数：设 y = f （ x ）， x ∈ A ，如果对于任意 x ∈ A ，都有 f （− x ）=− f （ x ），则称 y = f （ x ）为奇函数。 y = f （ x ）是奇函数⇔ y = f （ x ）的图像关于原点对称。

② 偶函数：设 y = f （ x ）， x ∈ A ，如果对于任意 x ∈ A ，都有 f （− x ）= f （ x ），则称 y = f （ x ）为偶函数。 y = f （ x ）是偶函数⇔ y = f （ x ）的图像关于 y 轴对称。

③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

④ 若函数 f （ x ）的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和 。

⑤ 奇±奇=奇　偶±偶=偶　奇×奇=偶　偶×偶=偶　奇×偶=奇。

⑥ 对于复合函数

若 g （ x ）是偶函数，则 F （ x ）是偶函数；

若 g （ x ）是奇函数且 f （ x ）是奇函数，则 F （ x ）是奇函数；

若 g （ x ）是奇函数且 f （ x ）是偶函数，则 F （ x ）是偶函数。

（3）函数的单调性

① 若 f （ x ）、 g （ x ）均为增函数，则 f （ x ）+ g （ x ）仍为增函数。

② 若 f （ x ）为增函数，则− f （ x ）为减函数。

③ 互为反函数的两个函数有相同的单调性。

④ 设 是定义在 N 上的函数

若 f （ x ）与 g （ x ）的单调性相反，则 在 N 上是减函数；

若 f （ x ）与 g （ x ）的单调性相同，则 在 N 上是增函数。

（4）指数结论

① 正整数指数幂 。

② 零指数幂 a ⁰ =1（ a ≠0）。

③ 负整数指数幂 。

④ 正分数指数幂 。

⑤ 负分数指数幂 。

⑥ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

⑦ a ^r a ^s = a ^{r + s} （ a >0； r ， s ∈ Q ）。

⑧

⑨（ ab ） ^r = a ^r b ^r （ a >0， b >0， r ∈ Q ）。

（5）对数结论

① 对数的概念

如果 a ^b = N （ a >0， a ≠1），那么 b 叫作以 a 为底 N 的对数，记为 b =log _a N （ a >0， a ≠1）。

② 对数的性质

零与负数没有对数　　log _a 1=0　　log _a a =1

③ 对数的运算性质

a >0， a ≠0， M >0， N >0

log _a MN =log _a M +log _a N

log _a M ⁿ = n log _a M

④ 对数换底公式

⑤ 对数的降幂公式

（6）函数的图像变换

① 平移变换（左正右负，上正下负）

② 对称变换（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

③ 伸缩变换

④ 综合变换

若将函数 y = f （ x ）的图像右移 a 、上移 b 个单位，得到函数 y = f （ x − a ）+ b 的图像。

若将曲线 f （ x ， y ）=0的图像右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 f （ x − a ， y − b ）=0的图像。

（7）函数周期常用结论

对于 f （ x ）定义域内任一自变量的值 x （ a >0， c 为常数）：

若 f （ x + a ）=− f （ x ），或 f （ x + a ）=− f （ x ）+ c ，或 ，或 ，则 T =2 a 。

2.2　历年真题

2.2.1　函数的定义域值域

2-1．（2022北京11★）函数 的定义域是____________。

答案见此处

2-2．（2022浙江7★★）已知2 ^a =5，log ₈ 3= b ，则4 ^{a −3 b} =（　　）

A．25

B．5

C．

D．

答案见此处

2-3．（2022北京4★★）已知函数 ，则对任意实数 x ，有（　　）

A． f （− x ）+ f （ x ）=0

B． f （− x ）− f （ x ）=0

C． f （− x ）+ f （ x ）=1

D．

答案见此处

2-4．（2021全国乙卷文8★★★）下列函数中最小值为4的是（　　）

A． y = x ² +2 x +4

B．

C． y =2 ^x +2 ^{2− x}

D．

答案见此处

2-5．（2019江苏4★）函数 的定义域是___________。

答案见此处

2-6．（2015山东理14★★）已知函数 f （ x ）= a ^x + b （ a >0， a ≠1）的定义域和值域都是[−1，0]，则 a + b =_________。

答案见此处

2.2.2　函数的奇偶性单调性周期性

2-7．（2023新课标Ⅰ卷4★★）设函数 f （ x ）=2 ^{x （x−a）} 在区间（0，1）单调递减，则 a 的取值范围是（　　）

A．（−∞，−2]

B．[−2，0）

C．（0，2]

D．[2，+∞）

答案见此处

2-8．（2023新课标Ⅱ卷4★★）若 为偶函数，则 a =（　　）

A．−1

B．0

C．

D．1

答案见此处

2-9．（2022全国乙卷文16★★★）若 是奇函数，则 a =__________， b =__________。

答案见此处

2-10．（2021全国甲卷文4★）下列函数中是增函数的为（　　）

A． f（x） =− x

B．

C． f（x） = x ²

D．

答案见此处

2-11．（2021全国乙卷理4文9★★）设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（　　）

A． f （ x −1）−1

B． f （ x −1）+1

C． f （ x +1）−1

D． f （ x +1）+1

答案见此处

2-12．（2021全国甲卷文12★★）记 f （ x ）是定义域为 R 的奇函数，且 f （1+ x ）= f （− x ）。若 ，则

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-13．（2021全国新高考Ⅰ卷13★★）已知函数 f （ x ）= x ³ （ a ·2 ^x −2 ^{− x} ）是偶函数，则 a =__________。

答案见此处

2-14．（2021全国新高考Ⅱ卷8★★★）已知函数 f （ x ）的定义域为 R ， f （ x +2）为偶函数， f （2 x +1）为奇函数，则（　　）

A．

B． f （−1）=0

C． f （2）=0

D． f （4）=0

答案见此处

2-15．（2021全国甲卷理12★★★）设函数 f （ x ）的定义域为 R ， f （ x +1）为奇函数， f （ x +2）为偶函数，当 x ∈[1，2]时， f （ x ）= ax ² + b 。若 f （0）+ f （3）=6，则

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-16．（2020全国Ⅱ文10★★）设函数 ，则 f （ x ）（　　）

A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增

B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减

C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增

D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减

答案见此处

2-17．（2020全国Ⅱ理9★★★）设函数 f （ x ）=ln|2 x +1|−ln|2 x −1|，则 f （ x ）（　　）

A．是偶函数，且在 单调递增

B．是奇函数，且在 单调递减

C．是偶函数，且在 单调递增

D．是奇函数，且在 单调递减

答案见此处

2-18．（2019全国Ⅱ理14★★）已知 f （ x ）是奇函数，且当 x <0时， f （ x ）=−e ^ax 。若 f （ln 2）=8，则 a =__________。

答案见此处

2-19．（2019全国Ⅱ文6★★）设 f （ x ）为奇函数，且当 x ≥0时， f （ x ）=e ^x −1，则当 x <0时， f （ x ）=（　　）

A．e ^{− x} −1

B．e ^{− x} +1

C．−e ^{− x} −1

D．−e ^{− x} +1

答案见此处

2-20．（2019北京理13★★）设函数 f （ x ）=e ^x + a e ^{− x} （ a 为常数）。若 f （ x ）为奇函数，则 a =__________；若 f （ x ）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是__________。

答案见此处

2-21．（2018上海7★★）已知 ，若幂函数 f（x） = x ^a 为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则 a =__________。

答案见此处

2-22．（2018全国Ⅱ理11★★）已知 f （ x ）是定义域为（−∞，+∞）的奇函数，满足 f （1− x ）= f （1+ x ）。若 f （1）=2，则 f （1）+ f （2）+ f （3）+…+ f （50）=（　　）

A．−50

B．0

C．2

D．50

答案见此处

2-23．（2017北京理5★★）已知函数 ，则 f （ x ）（　　）

A．是奇函数，且在 R 上是增函数

B．是偶函数，且在 R 上是增函数

C．是奇函数，且在 R 上是减函数

D．是偶函数，且在 R 上是减函数

答案见此处

2-24．（2015新课标Ⅰ理13★★）若函数 为偶函数，则 a =__________。

答案见此处

2-25．（2015福建理2★★）下列函数为奇函数的是（　　）

A．

B．

C．=cos x

D． y =e ^x −e ^{− x}

答案见此处

2-26．（2015广东理3★★）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　）

A．

B．

C．

D． y = x +e ^x

答案见此处

2-27．（2015湖南理5★★）设函数 f （ x ）=ln（1+ x ）−ln（1− x ），则 f （ x ）是（　　）

A．奇函数，且在（0，1）上是增函数

B．奇函数，且在（0，1）上是减函数

C．偶函数，且在（0，1）上是增函数

D．偶函数，且在（0，1）上是减函数

答案见此处

2-28．（2014北京文2★★）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（　　）

A． y =e ^{− x}

B． y = x ³

C． y =ln x

D．

答案见此处

2-29．（2014湖南理3★★）已知 f （ x ）， g （ x ）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f （ x ）− g （ x ）= x ³ + x ² +1， f （1）+ g （1）＝（　　）

A．−3

B．−1

C．1

D．3

答案见此处

2-30．（2014新课标Ⅱ文15★★）偶函数 f （ x ）的图像关于直线 x =2对称， f （3）=3，则 f （−1）=__________。

答案见此处

2-31．（2014湖南文15★★）若 f （ x ）=ln（e ^{3 x} +1）+ ax 是偶函数，则 a =__________。

答案见此处

2-32．（2017新课标Ⅰ理5★★）函数 f （ x ）在（−∞，+∞）单调递减，且为奇函数。若 f （1）=−1，则满足−1≤ f （ x −2）≤1的 x 的取值范围是（　　）

A．[−2，2]

B．[−1，1]

C．[0，4]

D．[1，3]

答案见此处

2-33．（2016山东理9★★）已知函数 f （ x ）的定义域为 R 。当 x <0时， f （ x ）= x ³ −1；当−1≤ x ≤1时， f （− x ）=− f （ x ）；当 时， 。则 f （6）=（　　）

A．−2

B．−1

C．0

D．2

答案见此处

2-34．（2014重庆文4★）下列函数为偶函数的是（　　）

A． f （ x ）= x −1

B． f （ x ）= x ² + x

C． f （ x ）=2 ^x −2 ^{− x}

D． f （ x ）=2 ^x +2 ^{− x}

答案见此处

2-35．（2014新课标Ⅰ理3★）设函数 f （ x ）， g （ x ）的定义域都为 R ，且 f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）

A． f （ x ） g （ x ）是偶函数

B． 是奇函数

C． 是奇函数

D． 是奇函数

答案见此处

2.2.3　函数的图像

2-36．（2022全国甲卷理5文7★★）函数 y =（3 ^x −3 ^{− x} ）cos x 在区间 的图像大致为（　　）

答案见此处

2-37．（2022全国乙卷文8★★）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[−3，3]的大致图像，则该函数是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-38．（2021浙江7★★）已知函数 ， g （ x ）=sin x ，则图像为如图2-1所示的函数可能是（　　）

A．

B．

C． y = f （ x ） g （ x ）

D．

答案见此处

2-39．（2019全国Ⅰ理文5★★）函数 在[−π，π]的图像大致为（　　）

答案见此处

2-40．（2019浙江6★★）在同一直角坐标系中，函数 （ a >0且 a ≠1）的图像可能是（　　）

答案见此处

2-41．（2019全国Ⅲ理7★★）函数 在[−6，6]的图像大致为（　　）

答案见此处

2-42．（2018全国Ⅲ理7★★）函数 y =− x ⁴ + x ² +2的图像大致为（　　）

答案见此处

2-43．（2018全国Ⅱ理3★★）函数 的图像大致为（　　）

答案见此处

2-44．（2018浙江5★★）函数 y =2 ^{| x |} sin 2 x 的图像可能是（　　）

答案见此处

2-45．（2016全国Ⅰ理7★★）函数 y =2 x ² −e ^{| x |} 在[–2，2]的图像大致为（　　）

答案见此处

2-46．（2015安徽理9★★）函数 的图像如图2-2所示，则下列结论成立的是（　　）

A． a >0， b >0， c <0

B． a <0， b >0， c >0

C． a <0， b >0， c <0

D． a <0， b <0， c <0

答案见此处

2-47．（2014浙江理7★★）在同一直角坐标系中，函数 f （ x ）= x ^a （ x ≥0）， g （ x ）=log _a x 的图像可能是（　　）

答案见此处

2-48．（2014山东文6★★）已知函数 y =log _a （ x + c ）（ a 、 c 为常数，其中 a >0， a ≠1）的图像如图2-3所示，则下列结论成立的是（　　）

A． a >1， c >1

B． a >1，0< c <1

C．0< a <1， c >1

D．0< a <1，0< c <1

答案见此处

2.2.4　比较大小

2-49．（2022全国甲卷理12★★★）已知 ，则（　　）

A． c > b > a

B． b > a > c

C． a > b > c

D． a > c > b

答案见此处

2-50．（2022全国新高考Ⅰ卷7★★★）设 a =0.1e ^0.1 ， ， c =−ln0.9，则（　　）

A． a < b < c

B． c < b < a

C． c < a < b

D． a < c < b

答案见此处

2-51．（2022全国甲卷文12★★★）已知9 ^m =10， a =10 ^m −11， b =8 ^m −9，则（　　）

A． a >0> b

B． a > b >0

C． b > a >0

D． b >0> a

答案见此处

2-52．（2021全国新高考Ⅰ卷7★★）若过点（ a ， b ）可以作曲线 y =e ^x 的两条切线，则（　　）

A．e ^b < a

B．e ^a < b

C．0< a <e ^b

D．0< b <e ^a

答案见此处

2-53．（2021全国新高考Ⅱ卷7★★）已知 a =log ₅ 2， b =log ₈ 3， ，则下列判断正确的是（　　）

A． c < b < a

B． b < a < c

C． a < c < b

D． a < b < c

答案见此处

2-54．（2021全国乙卷理11★★★★）设 a =2ln 1.01， b =ln 1.02， ，则（　　）

A． a < b < c

B． b < c < a

C． b < a < c

D． c < a < b

答案见此处

2-55．（2020全国Ⅰ理12★★★★）若2 ^a +log ₂ a =4 ^b +2log ₄ b ，则（　　）

A． a >2 b

B． a <2 b

C． a > b ²

D． a < b ²

答案见此处

2-56．（2020全国Ⅲ文10★★）设 a =log ₃ 2， b =log ₅ 3， ，则（　　）

A． a < c < b

B． a < b < c

C． b < c < a

D． c < a < b

答案见此处

2-57．（2020全国Ⅲ理12★★★）已知5 ⁵ <8 ⁴ ，13 ⁴ <8 ⁵ 。设 a =log ₅ 3， b =log ₈ 5， c =log ₁₃ 8，则（　　）

A． a < b < c

B． b < a < c

C． b < c < a

D． c < a < b

答案见此处

2-58．（2020全国Ⅱ理11文12★★★）若2 ^x −2 ^y <3 ^{− x} −3 ^{− y} ，则（　　）

A．ln（ y − x +1）>0

B．ln（ y − x +1）<0

C．ln| x − y |>0

D．ln| x − y |<0

答案见此处

2-59．（2019全国Ⅱ理6★★）若 a > b ，则（　　）

A．ln（ a − b ）>0

B．3 ^a <3 ^b

C． a ³ − b ³ >0

D．| a |>| b |

答案见此处

2-60．（2019全国Ⅲ理11★★）若 f （ x ）是定义域 R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-61．（2019全国Ⅰ理文3★★）已知 a =log ₂ 0.2， b =2 ^0.2 ， c =0.2 ^0.3 ，则（　　）

A． a < b < c

B． a < c < b

C． c < a < b

D． b < c < a

答案见此处

2-62．（2019天津理6★★）已知 a =log ₅ 2， b =log _0.5 0.2， c =0.5 ^0.2 ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（　　）

A． a < c < b

B． a < b < c

C． b < c < a

D． c < a < b

答案见此处

2-63．（2018全国Ⅲ理12★★）设 a =log _0.2 0.3， b =log ₂ 0.3，则（　　）

A． a + b < ab <0

B． ab < a + b <0

C． a + b <0< ab

D． ab <0< a + b

答案见此处

2-64．（2018天津理5★★）已知 a =log ₂ e， b =ln 2， ，则 a 、 b 、 c 的大小关系为（　　）

A． a > b > c

B． b > a > c

C． c > b > a

D． c > a > b

答案见此处

2-65．（2017天津理6★★）已知奇函数 f （ x ）在 R 上是增函数， g （ x ）= xf （ x ）。若 a = g （−log ₂ 5.1）， b = g （2 ^0.8 ）， c = g （3），则 a 、 b 、 c 的大小关系为（　　）

A． a < b < c

B． c < b < a

C． b < a < c

D． b < c < a

答案见此处

2-66．（2017新课标Ⅰ理11★★）设 x 、 y 、 z 为正数，且2 ^x =3 ^y =5 ^z ，则（　　）

A．2 x <3 y <5 z

B．5 z <2 x <3 y

C．3 y <5 z <2 x

D．3 y <2 x <5 z

答案见此处

2-67．（2016新课标Ⅲ理6★★）已知 ， ， ，则（　　）

A． b < a < c

B． a < b < c

C． b < c < a

D． c < a < b

答案见此处

2-68．（2015天津理7★★★）已知定义在 R 上的函数 （ m 为实数）为偶函数，记 a = f （log _0.5 3）， b = f （log ₂ 5）， c = f （2 m ），则 a 、 b 、 c 的大小关系为（　　）

A． a < b < c

B． a < c < b

C． c < a < b

D． c < b < a

答案见此处

2-69．（2014安徽文5★★）设 a =log ₃ 7， b =2 ^3.3 ， c =0.8，则（　　）

A． b < a < c

B． c < a < b

C． c < b < a

D． a < c < b

答案见此处

2.2.5　分段函数

2-70．（2022北京14★★）设函数 。若 f （ x ）存在最小值，则 a 的一个取值为__________； a 的最大值为__________。

答案见此处

2-71．（2022浙江14★★★）已知函数 ，则 ；若当 x ∈[ a ， b ]时，1≤ f （ x ）≤3，则 b − a 的最大值是__________。

答案见此处

2-72．（2021浙江12★★）已知 a ∈ R ，函数 ，若 ，则 a =__________。

答案见此处

2-73．（2018江苏9★★）函数 f （ x ）满足 f （ x +4）= f （ x ）（ x ∈ R ），且在区间（−2，2]上， ，则 f （ f （15））的值为__________。

答案见此处

2-74．（2017新课标Ⅲ理15文16★★★）设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是__________。

答案见此处

2-75．（2015福建理14★★）若函数 （ a >0且 a ≠1）的值域是[4，+∞），则实数 a 的取值范围是__________。

答案见此处

2-76．（2015浙江理10★★）已知函数 ，则 f （ f （−3））__________， f （ x ）的最小值是__________。

答案见此处

2-77．（2016江苏11★★）设 f（x） 是定义在 R 上且周期为2的函数，在区间[−1，1）上， ，其中 a ∈ R ，若 ，则 f （5 a ）的值是__________。

答案见此处

2-78．（2016四川理9★★★）设直线 l ₁ 、 l ₂ 分别是函数 图像上点 P ₁ 、 P ₂ 处的切线， l ₁ 与 l ₂ 垂直相交于点 P ，且 l ₁ 、 l ₂ 分别与 y 轴相交于点 A 、 B ，则△ PAB 的面积的取值范围是（　　）

A．（0，1）

B．（0，2）

C．（0，+∞）

D．（1，+∞）

答案见此处

2-79．（2014福建理7★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　）

A． f （ x ）是偶函数

B． f （ x ）是增函数

C． f （ x ）是周期函数

D． f （ x ）的值域为[−1，+∞）

答案见此处

2-80．（2014四川理12★★）设 f （ x ）是定义在 R 上的周期为2的函数，当 x ∈[−1，1）时， ，则 。

答案见此处

2-81．（2014辽宁文10★★★）已知 f （ x ）为偶函数，当 x ≥0时， f （ x ）= ，则不等式 的解集为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2.2.6　函数与方程

2-82．（2021北京15★★★）已知 f （ x ）=|lg x |− kx −2，给出下列四个结论：

（1）若 k =0，则 f （ x ）有两个零点；

（2）∃ k <0，使得 f （ x ）有一个零点；

（3）∃ k <0，使得 f （ x ）有三个零点；

（4）∃ k >0，使得 f （ x ）有三个零点。

以上正确结论的序号是__________。

答案见此处

2-83．（2019全国Ⅱ理12★★★★）设函数 f （ x ）的定义域为 R ，满足 f （ x +1）=2 f （ x ），且当 x ∈（0，1]时， f （ x ）= x （ x −1）。若对任意 x ∈（−∞， m ]，都有 ，则 m 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-84．（2019浙江9★★★★）已知 a 、 b ∈ R ，函数 f （ x ）= ，若函数 y = f （ x ）− ax − b 恰有三个零点，则（　　）

A． a <−1， b <0

B． a <−1， b >0

C． a >−1， b <0

D． a >−1， b >0

答案见此处

2-85．（2019江苏14★★★★）设 f （ x ）， g （ x ）是定义在 R 上的两个周期函数， f （ x ）的周期为4， g （ x ）的周期为2，且 f （ x ）是奇函数。当 x ∈（0，2]时， ，其中 k >0。若在区间（0，9]上，关于 x 的方程 f （ x ）= g （ x ）有8个不同的实数根，则 k 的取值范围是__________。

答案见此处

2-86．（2018全国Ⅰ理9★★★）已知函数 ， g （ x ）= f （ x ）+ x + a 。若 g （ x ）存在2个零点，则 a 的取值范围是（　　）

A．[−1，0）

B．[0，+∞）

C．[−1，+∞）

D．[1，+∞）

答案见此处

2-87．（2018天津理14★★★）已知 a >0，函数 f （ x ）= 。若关于 x 的方程 f （ x ）= ax 恰有2个互异的实数解，则 a 的取值范围是__________。

答案见此处

2-88．（2018浙江15★★★）已知 λ ∈ R ，函数 ，当 λ =2时，不等式 f （ x ）<0的解集是__________。若函数 f （ x ）恰有2个零点，则 λ 的取值范围是__________。

答案见此处

2-89．（2018江苏11★★★★）若函数 f （ x ）=2 x ³ − ax ² +1（ a ∈ R ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则 f （ x ）在[−1，1]上的最大值与最小值的和为__________。

答案见此处

2-90．（2017山东理10★★★）已知当 x ∈[0，1]时，函数 y =（ mx −1） ² 的图像与 的图像有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（　　）

A．

B．（0，1]∪[3，+∞）

C．

D．

答案见此处

2-91．（2017江苏14★★★★）设 f （ x ）是定义在 R 且周期为1的函数，在区间[0，1）上， ，其中集合 ，则方程 f （ x ）−lg x =0的解的个数是__________。

答案见此处

2-92．（2017新课标Ⅲ理11★★★）已知函数 f （ x ）= x ² −2 x + a （e ^{x −1} +e ^{− x +1} ）有唯一零点，则 a =（　　）

A．

B．

C．

D．1

答案见此处

2-93．（2016全国Ⅱ理12★★）已知函数 f （ x ）（ x ∈R）满足 f （− x ）=2− f（x） ，若函数 与 y = f （ x ）图像的交点为（ x ₁ ， y ₁ ），（ x ₂ ， y ₂ ），…，（ x _m ， y _m ），则

A．0

B． m

C．2 m

D．4 m

答案见此处

2-94．（2016天津理8★★★★）已知函数 （ a >0，且 a ≠1）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程| f （ x ）|=2− x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-95．（2016山东理15★★★★）已知函数 ，其中 m >0，若存在实数 b ，使得关于 x 的方程 f （ x ）= b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是__________。

答案见此处

2-96．（2015湖北理12★★★）函数 |ln（ x +1）|的零点个数为__________。

答案见此处

2-97．（2015天津理8★★★★）已知函数 函数 g （ x ）= b − f （2− x ），其中 b ∈ R ，若函数 y = f （ x ）− g （ x ）恰有4个零点，则 b 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

2-98．（2015北京理14★★★）设函数 ， x ≥1

（1）若 a =1，则 f （ x ）的最小值为__________；

（2）若 f （ x ）恰有2个零点，则实数 a 的取值范围是__________。

答案见此处

2-99．（2014山东理8★★★）已知函数 ， g （ x ）= kx 。若方程 f （ x ）= g （ x ）有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是（　　）

A．

B．

C．（1，2）

D．（2，+∞）

答案见此处

2-100．（2014江苏13★★★）已知 f（x） 是定义在 R 上且周期为3的函数，当 x ∈[0，3）时， 。若函数 y = f （ x ）− a 在区间[−3，4]上有10个零点（互不相同），则实数 a 的取值范围是__________。

答案见此处

2-101．（2014福建文15★★）函数 的零点个数是__________。

答案见此处

2-102．（2014北京文6★★）已知函数 ，在下列区间中，包含 f （ x ）零点的区间是（　　）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，4）

D．（4，+∞）

答案见此处

2-103．（2014天津理14★★★）已知函数 f （ x ）=| x ² +3 x |， x ∈ R 。若方程 f （ x ）− a | x −1|=0恰有4个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为__________。

答案见此处

2.2.7　函数综合题及其他

2-104．（2022全国新高考Ⅱ卷8★★★）若函数 f （ x ）的定义域为 R ，且 f （ x + y ）+ f （ x − y ）= f （ x ） f （ y ）， f （1）=1，则

A．−3

B．−2

C．0

D．1

答案见此处

2-105．（2022全国乙卷理12★★★★）已知函数 f （ x ）、 g （ x ）的定义域均为 R ，且 f （ x ）+ g （2− x ）=5， g （ x ）− f （ x −4）=7。若 y = g （ x ）的图像关于直线 x =2对称， g （2）=4，则

A．−21

B．−22

C．−23

D．−24

答案见此处

2-106．（2021全国新高考Ⅱ卷14★★）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 f （ x ）：__________。

① f （ x ₁ x ₂ ）= f （ x ₁ ） f （ x ₂ ）；②当 x ∈（0，+∞）时， f ′（ x ）>0；③ f ′（ x ）是奇函数。

答案见此处

2-107．（2021上海5★）已知 ，则 f ⁻¹ （1）=__________。

答案见此处

2-108．（2021天津7★★）2 ^a =5 ^b =10，则 。

答案见此处

2-109．（2019全国Ⅰ理11★★★）关于函数 f （ x ）=sin| x |+|sin x |有下述四个结论：

① f （ x ）是偶函数

② f （ x ）在区间（ ，π）单调递增

③ f （ x ）在[−π，π]有4个零点

④ f （ x ）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（　　）

A．①②④

B．②④

C．①④

D．①③

答案见此处

2-110．（2018北京理13★★）能说明“若 f （ x ）> f （0）对任意的 x ∈（0，2]都成立，则 f （ x ）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________。

答案见此处

2-111．（2017浙江17★★★★）已知 a ∈ R ，函数 在区间[1，4]上的最大值是5，则 a 的取值范围是__________。

答案见此处

2-112．（2017山东理15★★★★）若函数e ^x f （ x ）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在 f （ x ）的定义域上单调递增，则称函数 f （ x ）具有 M 性质，下列函数中具有 M 性质的是（　　）。

① f （ x ）=2 ^{− x}

② f （ x ）=3 ^{− x}

③ f （ x ）= x ³

④ f （ x ）= x ² +2

答案见此处

2-113．（2017浙江5★★★）若函数 f （ x ）= x ² + ax + b 在区间[0，1]上的最大值是 M ，最小值是 m ，则 M − m （　　）

A．与 a 有关，且与 b 有关

B．与 a 有关，但与 b 无关

C．与 a 无关，且与 b 无关

D．与 a 无关，但与 b 有关

答案见此处

2-114．（2015湖北理6★★）已知符号函数 ， f （ x ）是 R 上的增函数， g （ x ）= f （ x ）− f （ ax ）（ a >1），则（　　）

A．sgn[ g （ x ）]=sgn x

B．sgn[ g （ x ）]=−sgn x

C．sgn[ g （ x ）]=sgn[ f （ x ）]

D．sgn[ g （ x ）]=−sgn[ f （ x ）]

答案见此处

2-115．（2014江西理3★★）已知函数 ， g （ x ）= ax ² − x （ a ∈ R ），若 ，则 a =（　　）

A．1

B．2

C．3

D．−1

答案见此处

2-116．（2014浙江理6★★）已知函数 f （ x ）= x ³ + ax ² + bx + c ，且0< f （−1）= f （−2）= f （−3）≤3，则（　　）

A． c ≤3

B．3< c ≤6

C．6< c ≤9

D． c >9

答案见此处

2-117．（2016上海理22★★★★）已知 a ∈ R ，函数 。

（1）当 a =5时，解不等式 f （ x ）>0；

（2）若关于 x 的方程 f （ x ）−log ₂ [（ a −4） x +2 a −5]=0的解集中恰好有一个元素，求 a 的取值范围；

（3）设 a >0，若对任意 ，函数 f （ x ）在区间[ t ， t +1]上的最大值与最小值的差不超过1，求 a 的取值范围。

答案见此处

查漏补缺

2.2.1　函数的定义域值域

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

2.2.2　函数的奇偶性单调性周期性

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

2.2.3　函数的图像

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

2.2.4　比较大小

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

2.2.5　分段函数

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

2.2.6　函数与方程

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

2.2.7　函数综合题及其他

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。 wfL3UNrkt4X4nnBrNA3GI8khRLBqiSUO/oMnzn0Bq5sqG+l3yeiIt0gGKUyd4vcI