第1章
集合

1.1　考点及常考结论

（1） A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B

（2）补集的运算性质

（3）结合律

A ∩（ B ∩ C ）=（ A ∩ B ）∩ C ， A ∪（ B ∪ C ）=（ A ∪ B ）∪ C

（4）分配律

A ∩（ B ∪ C ）=（ A ∩ B ）∪（ A ∩ C ）， A ∪（ B ∩ C ）=（ A ∪ B ）∩（ A ∪ C ）

（5）德·摩根定律

（6）card（集合中元素的个数）

① card（ A ∪ B ）=card（ A ）+card（ B ）−card（ A ∩ B ）

证明：设 N 代表集合中元素的个数（图1-1）。

card（ A ∪ B ）= N 1+ N 2+ N 3

card（ A ）+card（ B ）−card（ A ∩ B ）= N 1+ N 2+ N 3+ N 2− N 2= N 1+ N 2+ N 3

成立。

② card（ A ∪ B ∪ C ）=card（ A ）+card（ B ）+card（ C ）−card（ A ∩ B ）−card（ B ∩ C ）−card（ C ∩ A ）+card（ A ∩ B ∩ C ）

证明：如图1-2所示，

card（ A ∪ B ∪ C ）= N 1+ N 2+ N 3+ N 4+ N 5+ N 6+ N 7

成立。

（7）若集合有 n 个元素，则其有2 ⁿ 个子集、2 ⁿ −1个非空子集、2 ⁿ −1个真子集、2 ⁿ −2个非空真子集。

1.2　历年真题

1.2.1　集合的基础运算（子集、交集、并集、补集）

1-1．（2023北京1★）已知集合 M ={ x | x +2≥0}， N ={ x | x −1<0}，则 M ∩ N =（　　）

A．{ x |−2≤ x <1}

B．{ x |−2< x ≤1}

C．{ x | x ≥−2}

D．{ x | x <1}

答案见此处

1-2．（2023新课标Ⅰ卷1★）已知集合 M ={−2，−1，0，1，2}， N ={ x ∣ x ² − x −6≥0}，则 M ∩ N =（　　）

A．{−2，−1，0，1}

B．{0，1，2}

C．{−2}

D．{2}

答案见此处

1-3．（2023全国乙理2★）设集合 U = R ，集合 M ={ x | x <1}， N ={ x |−1< x <2}，则{ x | x ≥2}=（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

1-4．（2022浙江1★）设集合 A ={1，2}， B ={2，4，6}，则 A ∪ B =（　　）

A．{2}

B．{1，2}

C．{2，4，6}

D．{1，2，4，6}

答案见此处

1-5．（2022全国乙卷文1★）集合 M ={2，4，6，8，10}， ，则 M ∩ N =（　　）

A．{2，4}

B．{2，4，6}

C．{2，4，6，8}

D．{2，4，6，8，10}

答案见此处

1-6．（2022全国乙卷理1★）设全集 U ={1，2，3，4，5}，集合 M 满足 ，则（　　）

A．2∈ M

B．3∈ M

C．4∉ M

D．5∉ M

答案见此处

1-7．（2022全国甲卷文1★）设集合 A ={−2，−1，0，1，2}， ，则 A ∩ B =（　　）

A．{0，1，2}

B．{−2，−1，0}

C．{0，1}

D．{1，2}

答案见此处

1-8．（2022北京1★）已知全集 ，集合 ，则

A．（−2，1]

B．（−3，−2）∪[1，3）

C．[−2，1）

D．（−3，−2]∪（1，3）

答案见此处

1-9．（2022全国新高考Ⅰ卷1★）若集合 ， N ={ x ∣3 x ≥1}，则 M ∩ N =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

1-10．（2022全国新高考Ⅱ卷1★）已知集合 A ={−1，1，2，4}， ，则 A ∩ B =（　　）

A．{−1，2}

B．{1，2}

C．{1，4}

D．{−1，4}

答案见此处

1-11．（2022全国甲卷理3★）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3}，集合 A ={−1，2}， B ={ x ∣ x ² −4 x +3=0}，则

A．{1，3}

B．{0，3}

C．{−2，1}

D．{−2，0}

答案见此处

1-12．（2021全国甲卷文1★）设集合 M ={1，3，5，7，9}， N ={ x |2 x >7}，则 M ∩ N =（　　）

A．{7，9}

B．{5，7，9}

C．{3，5，7，9}

D．{1，3，5，7，9}

答案见此处

1-13．（2021全国甲卷理1★）设集合 M ={ x |0< x <4}， ，则 M ∩ N =（　　）

A．

B．

C．{ x |4≤ x <5}

D．{ x |0< x ≤5}

答案见此处

1-14．（2021全国新高考Ⅰ卷1★）设集合 A ={ x |−2< x <4}， B ={2，3，4，5}，则 A ∩ B =（　　）

A．{2}

B．{2，3}

C．{3，4}

D．{2，3，4}

答案见此处

1-15．（2021北京1★）已知集合 A ={ x |−1< x <1}， B ={ x |0≤ x ≤2}，则 A ∪ B =（　　）

A．{ x |0≤ x <1}

B．{ x |−1< x ≤2}

C．{ x |1< x ≤2}

D．{ x |0< x <1}

答案见此处

1-16．（2021全国乙卷文1★）已知全集 U ={1，2，3，4，5}，集合 M ={1，2}， N ={3，4}，则

A．{5}

B．{1，2}

C．{3，4}

D．{1，2，3，4}

答案见此处

1-17．（2021浙江1★）设集合 ，则 A ∩ B =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

1-18．（2021全国新高考Ⅱ卷2★）设集合 U ={1，2，3，4，5，6}， A ={1，3，6}， B ={2，3，4}，则

A．{3}

B．{1，6}

C．{5，6}

D．{1，3}

答案见此处

1-19．（2021上海2★）已知 A ={ x |2 x ≤1}， B ={−1，0，1}，则 A ∩ B =__________。

答案见此处

1-20．（2020江苏1★）已知集合 A ={−1，0，1，2}， B ={0，2，3}，则 A ∩ B =__________。

答案见此处

1-21．（2020北京1★）已知集合 A ={−1，0，1，2}， B ={ x |0< x <3}，则 A ∩ B =（　　）

A．{−1，0，1}

B．{0，1}

C．{−1，1，2}

D．{1，2}

答案见此处

1-22．（2020浙江1★）已知集合 P ={ x |1< x <4}， Q ={2< x <3}，则 P ∩ Q =（　　）

A．{ x |1< x ≤2}

B．{ x |2< x <3}

C．{ x |3≤ x <4}

D．{ x |1< x <4}

答案见此处

1-23．（2020天津1★）设全集 U ={−3，−2，−1，0，1，2，3}，集合 A ={−1，0，1，2}， B ={−3，0，2，3}，则

A．{−3，3}

B．{0，2}

C．{−1，1}

D．{−3，−2，−1，1，3}

答案见此处

1-24．（2020山东1★）设集合 A ={ x |1≤ x ≤3}， B ={ x |2< x <4}，则 A ∪ B =（　　）

A．{ x |2< x ≤3}

B．{ x |2≤ x ≤3}

C．{ x |1≤ x <4}

D．{ x |1< x <4}

答案见此处

1-25．（2020全国Ⅰ文1★）已知集合 A ={ x | x ² −3 x −4<0}， B ={−4，1，3，5}，则 A ∩ B =（　　）

A．{−4，1}

B．{1，5}

C．{3，5}

D．{1，3}

答案见此处

1-26．（2020全国Ⅱ文1★）已知集合 ， ，则 A ∩ B =（　　）

A．∅

B．{–3，–2，2，3}

C．{–2，0，2}

D．{–2，2}

答案见此处

1-27．（2020全国Ⅱ理1★）已知集合 U ={−2，−1，0，1，2，3}， A ={−1，0，1}， B ={1，2}，则

A．{−2，3}

B．{−2，2，3}

C．{−2，−1，0，3}

D．{−2，−1，0，2，3}

答案见此处

1-28．（2019全国Ⅰ文2★）已知集合 U ={1，2，3，4，5，6，7}， A ={2，3，4，5}， B ={2，3，6，7}，则

A．{1，6}

B．{1，7}

C．{6，7}

D．{1，6，7}

答案见此处

1-29．（2019全国Ⅰ理1★）已知集合 ， ，则 M ∩ N =（　　）

A．

B．

C．

D．

答案见此处

1-30．（2019全国Ⅱ文1★）已知集合 A ={ x | x >−1}， B ={ x | x <2}，则 A ∩ B =（　　）

A．（−1，+∞）

B．（−∞，2）

C．（−1，2）

D．∅

答案见此处

1-31．（2019全国Ⅱ理1★）设集合 A ={ x | x ² −5 x +6>0}， B ={ x | x −1<0}，则 A ∩ B =（　　）

A．（−∞，1）

B．（−2，1）

C．（−3，−1）

D．（3，+∞）

答案见此处

1-32．（2019全国Ⅲ理文1★）已知集合 A ={−1，0，1，2}， ，则 A ∩ B =（　　）

A．{−1，0，1}

B．{0，1}

C．{−1，1}

D．{0，1，2}

答案见此处

1-33．（2019浙江1★）已知全集 U ={−1，0，1，2，3}，集合 A ={0，1，2}， B ={−1，0，1}，则

A．{−1}

B．{0，1}

C．{−1，2，3}

D．{−1，0，1，3}

答案见此处

1-34．（2017新课标Ⅰ理1★）已知集合 A ={ x | x <1}， B ={ x |3 ^x <1}，则（　　）

A． A ∩ B ={ x | x <0}

B． A ∪ B = R

C． A ∪ B ={ x | x >1}

D． A ∩ B =∅

答案见此处

1-35．（2017天津理1★）设集合 A ={1，2，6}， B ={2，4}， C { x ∈ R |−1≤ x ≤5}，则（ A ∪ B ）∩ C =（　　）

A．{2}

B．{1，2，4}

C．{1，2，4，6}

D．{ x ∈ R |−1≤ x ≤5}

答案见此处

1.2.2　集合中元素的个数

1-36．（2020全国Ⅲ文1★）已知集合 A ={1，2，3，5，7，11}， B ={ x |3< x <15}，则 A ∩ B 中元素的个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

答案见此处

1-37．（2015新课标Ⅰ文1★★）已知集合 ， B ={6，8，10，12，14}，则集合 A ∩ B 中的元素个数为（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

答案见此处

1.2.3　含参数集合题

1-38．（2023新课标Ⅱ卷2★）设集合 A ={0，− a }， B ={1， a −2，2 a −2}，若 A ⊆ B ，则 a =（　　）

A．2

B．1

C．

D．−1

答案见此处

1-39．（2021全国乙卷理2★★）已知集合 S ={ s | s =2 n +1， n ∈ Z }， T ={ t | t =4 n +1， n ∈ Z }，则 S ∩ T =（　　）

A．∅

B． S

C． T

D． Z

答案见此处

1-40．（2020全国Ⅰ理2★★）设集合 A ={ x | x ² –4≤0}， B ={ x |2 x + a ≤0}，且 A ∩ B ={ x |–2≤ x ≤1}，则 a =（　　）

A．–4

B．–2

C．2

D．4

答案见此处

1-41．（2017新课标Ⅱ理2★★）设集合 A ={1，2，4}， B ={ x | x ² −4 x + m =0}，若 A ∩ B ={1}，则 B =（　　）

A．{1，−3}

B．{1，0}

C．{1，3}

D．{1，5}

答案见此处

1-42．（2017江苏1★）已知集合 A ={1，2}， B ={ a ， a ² +3｝，若 A ∩ B ={1}，则实数 a 的值为__________。

答案见此处

1.2.4　点的集合

1-43．（2020全国Ⅲ理1★★）已知集合 A ={（ x ， y ）| x ， y ∈ N ^* ， y ≥ x }， B ={（ x ， y ）| x + y =8}，则 A ∩ B 中元素的个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．6

答案见此处

1-44．（2018全国Ⅱ理2★★）已知集合 A ={（ x ， y ）| x ² + y ² ≤3， x ∈ Z ， y ∈ Z }，则 A 中元素的个数为（　　）

A．9

B．8

C．5

D．4

答案见此处

1-45．（2017新课标Ⅲ理1★★）已知集合 A ={（ x ， y ）| x ² + y ² =1}， B ={（ x ， y ）| y = x }，则 A ∩ B 中元素的个数为（　　）

A．3

B．2

C．1

D．0

答案见此处

1-46．（2015湖北理9★★★）已知集合 ， B = ，定义集合 （ x ₂ ， y ₂ ）∈ B }，则 A ⊕ B 中元素的个数为（　　）

A．77

B．49

C．45

D．30

答案见此处

1.2.5　集合综合题

1-47．（2017山东理1★★）设函数 的定义域为 A ，函数 y =ln（1− x ）的定义域为 B ，则 A ∩ B =（　　）

A．（1，2）

B．（1，2]

C．（−2，1）

D．[−2，1）

答案见此处

1-48．（2016山东理2★★）设集合 A ={ y | y =2 ^x ， x ∈ R }， B ={ x | x ² −1<0}，则 A ∪ B =（　　）

A．（−1，1）

B．（0，1）

C．（−1，+∞）

D．（0，+∞）

答案见此处

1-49．（2015湖南理2★）设 A 、 B 是两个集合，则“ A ∩ B = A ”是“ A ⊆ B ”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案见此处

1-50．（2015陕西理1★★）设集合 M ={ x | x ² = x }， N ={ x |lg x ≤0}，则 M ∪ N =（　　）

A．[0，1]

B．（0，1]

C．[0，1）

D．（−∞，1）

答案见此处

1-51．（2014山东理2★★）设集合 则 A ∩ B =（　　）

A．[0，2]

B．（1，3）

C．[1，3）

D．（1，4）

答案见此处

1-52．（2014福建理15★★）若集合{ a ， b ， c ， d }={1，2，3，4}，且下列四个关系：① a =1；② b ≠1；③ c =2；④ d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（ a ， b ， c ， d ）的个数是__________。

答案见此处

1-53．（2022全国新高考Ⅱ卷17★★★）已知{ a _n }为等差数列，{ b _n }是公比为2的等比数列，且 a ₂ − b ₂ = a ₃ − b ₃ = b ₄ − a ₄ 。

（1）证明： a ₁ = b ₁ ；

（2）求集合 中元素个数。

答案见此处

1-54．（2018北京理20★★★★★）设 n 为正整数，集合 A ={ α | α =（ t ₁ ， t ₂ ，…， t _n ）， t _k ∈{0，1}， k =1，2，…， n }。对于集合 A 中的任意元素 α =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）和 β =（ y ₁ ， y ₂ ，…， y _n ），记 （ x _n + y _n −| x _n − y _n |）]。

（1）当 n =3时，若 α =（1，1，0）， β =（0，1，1），求 M （ α ， α ）和 M （ α ， β ）的值。

（2）当 n =4时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 α 、 β ，当 α 、 β 相同时， M （ α ， β ）是奇数；当 α 、 β 不同时， M （ α ， β ）是偶数。求集合 B 中元素个数的最大值。

（3）给定不小于2的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 α 、 β ， M （ α ， β ）=0。写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由。

答案见此处

查漏补缺

1.2.1　集合的基础运算（子集、交集、并集、补集）

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

1.2.2　集合中元素的个数

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

1.2.3　含参数集合题

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

1.2.4　点的集合

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。

1.2.5　集合综合题

完全没问题，无论什么时候做都能快速做对，题号：_______________；

能做对，但是用时较长，题号：_______________；

本来会做，但由于某种原因，结果错了，题号：_______________；

不太会，题号：_______________；

完全不会，题号：_______________。 O6wujL2zZVWfNwBxOPP/QMo8w02mBlrZu9C9w8qMWs5UtgRPjIXfQ7o3JJzJHZVx