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摘要 ：张景中院士结合自身多年的教学实践和科研探索提出了初等数学新体系，广州市海珠实验中学的“院士数学教育创新实验班”在张景中团队的指导下，认真实施初等数学新体系与现有初中数学体系的整合教学.我们对此次教学实验进行了跟进与调查分析，调查结果表明学生可以较好地掌握初等数学新体系中正弦新定义以及正弦的基本性质等知识.
关键词 ：初等数学新体系；正弦新定义；整合教学
张景中院士结合自身多年的教学实践和科研探索提出了初等数学新体系，它涵盖了大部分现在初中数学教材中的内容.张院士给正弦以新的定义，将许多有关三角函数的知识下放到初中阶段，让三角函数成为解决几何问题的有力工具，同时又为代数变换提供天然的训练平台.张景中院士在《三角下放，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个方案》一文中，比较详细地介绍了适用于初中数学教学的新逻辑体系 [1] .
近年来，北京、宁波、邛崃、上海、台北等市已经陆续展开了有关初等数学新体系的教学实践 [2，3，4] .2012年6月24日，“院士数学教育创新实验班”（以下简称实验班）在广州市海珠实验中学正式成立，该班在张景中团队的指导下，以《一线串通的初等数学》 [5] 为教材参考，认真实施初等数学新体系与现有初中数学体系的整合教学.我们对此次教学实验进行了跟进并从两个方面进行了调查分析：一是从教师角度深入了解该班学生对初等数学新体系的接受情况，还有教师本身对初等数学新体系的学习情况及评价建议；二是从学生角度了解学生对初等数学新体系的学习情况及评价建议.
调查对象为广州市海珠实验中学“院士数学教育创新实验班”的53名7年级学生和该实验班的数学教师兼班主任张老师.
采用自编“初等数学新体系实施状况调查教师访谈提纲”、“初等数学新体系实施状况调查学生问卷”和“正弦新定义及性质的水平测试题”.对教师的调查主要包括实验班的基本情况、初等数学新体系的教学现状及今后的教学计划、学生对新体系的接受情况、教师对新体系的评价及建议等.对学生的调查问卷共5个单选题，主要反映学生对新体系的评价情况.问卷共发放53份，回收53份，回收率100%，其中52份为有效问卷，有效率为98.11%.水平测试题共8题，包括4个单选题、2个填空题、2个解答题，总计100分.测试时间40分钟.测试卷共发放53份，回收53份，回收率100% [6，7] .
我们与张老师进行了多次交流，并根据张老师对实验班的情况介绍，我们有针对性地编制了调查问卷及测试题.在实验班的某次班会课上，我们首先说明问卷调查的目的及问卷作答的注意事项，再将调查问卷集体发放，然后统一回收，学生大约在10分钟内完成问卷.当实验班学习完“正弦新定义及性质”内容后，我们在班主任张老师的帮助下，先向学生说明测试题的大致结构和答题时的注意事项等，接着向学生发放测试题，测试时间40分钟.
张老师从现有的教学进度和今后的教学计划两方面谈了初等数学新体系在实验班实施的基本情况，并且从自身角度评价了初等数学新体系的内容和自己遇到的困难，同时介绍了实验班学生学习初等数学新体系的效果及体会 [8] .
据张老师介绍，实验班在学习完七年级上册所有内容后补充了初等数学新体系中的“关于三角形面积公式的思考”，其中涉及的内容有共高定理、共边定理、平行线面积判定法、共角定理及平行线的面积性质等.因为这些内容需要的预备知识学生在小学阶段已经学过，而且当学生学完七年级上册这本书后，基本上已经适应了初中阶段的学习方式，所以选择此时间段补充初等数学新体系的知识.
进入七年级下学期以来，教师对实验班现有人教版初中数学七年级下册的“相交线与平行线”和“三角形”的内容与初等数学新体系中的“三角形内角和与平行线”进行了整合教学.整合教学之后，实验班又补充了“正弦定义与性质”的内容.接下来，实验班计划继续补充初等数学新体系中“直角三角形锐角的正弦”、“正弦定理”和“正弦增减性”等内容.
有关实验班学习初等数学新体系内容的进度及教学设计等问题，张老师一直都在与张景中团队进行联系和沟通，并且以《一线串通的初等数学》为教材参考，进行整合教学.
张老师在进行初等数学新体系教学之前，已经深入学习了《一线串通的初等数学》，并且多次向张景中院士请教自己遇到的有关新体系中的教学问题.她遇到的问题诸如：具体来说，在哪一章节（人教版初中数学教材）更适合加入新体系的内容？新增的初等数学新体系内容，如何更好地与学生已学的数学知识相联系？当然，最大的困难就是她对超级画板操作软件的不熟练，以至于不能更形象生动地向学生展现初等数学新体系中某些知识的形成过程，从而影响了启发学生观察和思考的效果.
张老师对初等数学新体系中的“正弦新定义”给予了肯定，同时也赞扬了新体系内容的连贯性和整体性.她觉得用面积定义正弦比现有人教版九年级教材中的正弦定义更生动形象，更易于让学生理解正弦的本质，更容易与高中的正弦性质相联系.同时，她认为教学中结合新体系所涉及的内容与方法，更能够促进教学.比如平行线的知识，用新体系的方法，从三角形内角和出发，引导学生探究平行公理，平行线的概念、性质、判定等，学生们学起来更容易，对概念的理解更深刻，她的讲解也更轻松、更生动.
当然，张老师对新体系本身和新体系的实施情况也给出了一些建议.她认为新体系中有部分内容偏难且初中阶段教学大纲不做要求，故不宜整合进入现有初中数学教材.比如：正切、余切以及有关圆的一些定理等.另外，张老师希望能够有更多关于初等数学新体系的教师学习与培训机会，同时也期望增加有关超级画板的教师培训 [9] .
据张老师介绍，实验班的教学进度与学校同年级的其他班基本保持一致.从学校平时统一测试的成绩来看，实验班已经明显优于其他班.从有关初等数学新体系内容的测试来看，张老师认为学生都基本掌握了其中的概念和定义，大部分同学能熟练应用初等数学新体系中的知识解决相应的数学问题.在张老师与实验班学生的交流中，大部分学生觉得新体系中的概念新颖而有趣，推理过程简单而自然，大家对学习初等数学新体系内容的兴趣较高.
张老师认为，在计算能力的要求方面，从整体上看，初等数学新体系要高于现有人教版初中数学教材，这会给学生补充学习初等数学新体系的知识带来一定困难.但是由于现在补充的初等数学新体系知识中所涉及的计算都是较简单的乘法和比值运算，因此学生现有的计算能力完全能够达到学习初等数学新体系知识的要求，后期的整合教学需要先加强学生计算能力的培养.
另外，张老师还认为整合学习新体系的内容更有助于学生学好现有人教版初中数学教材中的内容.比如：相交线与平行线一节，结合新体系中所提出的“从三角形内角和出发探究平行线的定义、性质、判定及平行公理”，学生们对相应人教版的“相交线与平行线”及“三角形”知识的理解更加透彻了.
学生是学习初等数学新体系的主体，他们能否接受初等数学新体系的内容？是否对初等数学新体系感兴趣？他们对初等数学新体系内容的学习情况如何？这些问题都是评价初等数学新体系实施情况的关键因素.
此份问卷共5个单选题，主要反映学生对初等数学新体系的评价情况.
（1）对于平行线的内容，你觉得初等数学新体系与现有人教版初中数学教材相比，哪个更容易理解？
由图1得知，有68%的学生认为初等数学新体系中平行线的内容更容易理解，14%的学生认为理解两者在有关平行线的内容上差别并不大，18%的学生认为现有人教版初中数学教材中平行线的内容更容易理解.这表明了大部分学生认为初等数学新体系中有关平行线这节的内容更容易理解，同时也说明了初等数学新体系中有关平行线的内容能促进学生更好地学习人教版初中数学教材中有关平行线的定义、判定及性质.
（2）你觉得初等数学新体系中“正弦定义及性质”一节内容的难易程度如何？
由图2得知，有64%的学生认为此节内容难度适中，36%的学生认为此节内容较容易，没有学生认为初等数学新体系中的“正弦定义及性质”难学.这说明了大部分学生可以理解此节课学习的内容，即七年级的学生基本可以接受“正弦定义及性质”这一节内容的学习.
图1 问题1的统计结果
图2 问题2的统计结果
（3）你觉得初等数学新体系的内容对你学习现有人教版初中数学教材中的内容有什么影响？
图3 问题3的统计结果
由图3得知，有77%的学生认为学习初等数学新体系的内容有助于学习现有人教版初中数学教材的内容，有14%的学生认为初等数学新体系的内容并没有对现有人教版初中数学教材内容的学习产生影响，另外还有9%的学生认为初等数学新体系的内容会妨碍自己对现有数学教材内容的学习.这表明了大部分学生认为学习初等数学新体系的内容可以有效促进学习现有初中数学教材的内容.
（4）补充的初等数学新体系的内容对你们数学学习负担有什么影响？
由图4得知，有20%的学生认为初等数学新体系内容的补充减轻了他们的学习负担，有57%的学生认为初等数学新体系内容的补充并没有增加他们的数学学习负担，有23%的学生认为初等数学新体系内容的补充加重了他们的数学学习负担.这表明了大部分学生认为新增加的初等数学新体系内容并不影响他们的数学学习负担，这是因为新体系的主旨是把数学变得更容易，所以即使是新增加学习内容，也不会增加学生的数学学习负担.
（5）你喜欢学习新体系的内容吗？
由图5得知，有77%的学生表示喜欢学习初等数学新体系的知识，有23%的学生对学习初等数学新体系的知识既不喜欢也不讨厌，没有学生讨厌学习初等数学新体系的内容.这表明了初等数学新体系得到了学生们的认可.
图4 问题4的统计结果
图5 问题5的统计结果
我们针对实验班刚学习过的“正弦定义及性质”一节编制了一份测试卷，用来检验学生对这部分内容的掌握情况.
（1）对第1、2、3、4题的分析.
第1题：顶角为90°的单位等腰三角形的面积是___.
此题考查了学生对单位等腰三角形的认识和顶角为90°的特殊单位等腰三角形面积的求值.这一题可以用“底×高÷2”的方法来求三角形的面积，也可以通过新学习的“已知两边和夹角的三角形面积公式”来计算面积，其中涉及计算90°角的正弦值.此题难度较低.从图6得知，学生已经熟悉了单位等腰三角形的定义，并且已经掌握了对顶角为90°的单位等腰三角形面积的求值.
第2题：比较sin52°与sin128°的大小关系.
此题考查了学生对正弦符号的理解及正弦基本性质中互补角正弦值相等的理解和运用，难度适中.此题的52°与128°相加的和是180°，两个角互补，所以它们的正弦值相等.从图6得知，实验班的学生已经认识了正弦的符号，并且已经掌握了互补角正弦值相等的基本性质.
第3题：在△ ABC 中， AB = c ， AC = b ， BC = a ，下面表示△ ABC 面积的公式中哪个是正确的？
此题考查了学生对计算三角形面积新公式的理解，难度适中.关键在于考查学生是否理解了“已知两边和夹角的三角形面积公式”中的“两边”是指相邻的两边，“夹角”是指两相邻边的夹角.若已知三角形的三边及三个角，则有3个不同的计算三角形面积的新公式.从图6得知，大部分学生已经掌握了这一知识.
第4题：如下图所示，请比较△ AOD 与△ COB 的面积大小（ ）.
A.△ AOD >△ COB B.△ AOD =△ COB C.△ AOD <△ COB D.无法确定
此题考查了学生对计算三角形面积新公式的运用及互补角正弦相等的知识的理解及运用，难度较大.解答此题时，还需要用到同一个圆的半径相等的知识以及圆周角为360°的知识.题中要比较大小的两个三角形虽然形状不同，但是各有两条边对应相等，且对应相等的这两组边所夹的角互补，因此，利用新学习的“已知两边和夹角的三角形面积公式”及“互补角正弦值相等”的基本性质，便可得到两个三角形的面积相等.从图6得知，78%的学生已经能熟练运用所学的知识解决数学难题了.
图6 第1~4题的正确率统计
（2）对第5、6题的分析.
第5题：请写出正弦的定义.
此题考查了学生对概念的理解及表述能力，较为容易.从回收的试卷得知，全部学生都可以将正弦定义完整地表述出来.这说明学生已掌握了正弦的定义，同时也反映了正弦定义易于被学生理解.
第6题：计算
此题考查了学生对正弦基本性质中的特殊角0°和180°角的正弦值的识记，较为容易.从回收的试卷得知，所有学生都写出了正确答案.这说明学生们已经识记了0°和180°角的正弦值.
（3）对第7、8题的分析.
第7题：已知三角形的两条边长分别为8cm和10cm，这两条边的夹角为30°，求这个三角形的面积.
此题考查了学生对计算三角形面积新公式的运用，较容易.从回收的试卷得知，93%的学生答对了这道题.这说明了学生已经基本掌握了“已知两边和夹角的三角形面积公式”的简单运用.
第8题：已知
△
ABC
的面积为33平方米，∠
ABC
=150°，
AB
=9米.求
BC
的长度.
此题考查了学生对两种不同的三角形面积公式（“底×高÷2”和“已知两边和夹角的三角形面积公式”）的综合运用以及对互补角正弦值相等的基本性质的运用，难度较大.从回收的试卷得知，有67%的学生完全做对了此题.其中，还有89%的学生能够首先根据互补角正弦值相等的知识得到了所求角的正弦值.这说明了部分学生可以运用已学的知识解决较复杂的数学问题.
本文的调查分析表明，教师和大部分学生对初等数学新体系的整合教学给予了肯定.
首先，教师一直在张景中院士的指导下认真实施初等数学新体系的整合教学，并且所教的实验班成绩领先于同年级的其他班.教师认为补充初等数学新体系的知识有助于学生学习现有初中数学教材中的内容，并且可以使一些数学内容更简单、更有趣.
其次，从发放给学生的问卷调查结果得知，大部分学生能从心理上和学习上接受初等数学新体系的内容，并且认为初等数学新体系把现有初中数学的部分内容变得更容易了，补充的初等数学新体系的知识不仅没有增加他们的数学学习负担，反而对他们学习现有初中数学教材中的部分内容起到了促进作用，在一定程度上减轻了他们的数学学习负担.从学生的测试反馈情况可知，大部分学生已经基本掌握了初等数学新体系中计算三角形面积的新公式、正弦定义以及正弦的基本性质等知识.
最后需要说明的是，初等数学新体系的实施才是起步阶段，有关它的经验介绍和培训项目相对较少，这在一定程度上给了实施者很大挑战，在探索前进的道路上，难免会出现种种问题，给初等数学新体系的整合教学带去困难.虽然在这次调查中教师和学生对现阶段初等数学新体系的教学给予了肯定，但是后续需要整合的内容还有很多，还需要专家、教师和学生们的进一步努力，才能将初等数学新体系的整合教学做得更好，才能将初等数学新体系的优越性体现得更全面 [10] .
[1]张景中.三角下放，全局皆活——初中数学课程结构性改革的一个方案.数学通报，2007 （1）.
[2]崔雪芳.用“菱形面积”定义正弦的一次教学探究.数学教学，2008，（11）:40 -43.
[3]王文俊.高中阶段“用面积定义正弦”教学初探.上海：华东师范大学，2008.
[4]杨姗.初中数学课程结构性改革的可行性研究.广州：广州大学，2011.
[5]张景中.走进教育数学：一线串通的初等数学.北京：科学出版社，2009.
[6]周仕荣，唐振松.新课程理念下初中生数学学习情况的调查与分析.数学教育学报，2003，12 （4）:24-26.
[7]吕世虎，郭秀娟.甘肃省义务教育阶段7~9年级数学新课程实施现状调查——从教师视角的研究.数学教育学报，2008，17 （5）:31-35.
[8]牛惠芳，王淑玉.教学效果评价方法研究.数学教育学报，2010，19 （2）:89.
[9]吕国良.新课程实施中数学教师面临的现实性挑战.数学教育学报，2005，14 （2）:41-43.
[10]景敏，谢慧.影响初中数学教师实施新课程的归因分析.数学教育学报，2005，14 （2）:64-65.
Abstract Based on years of teaching practice and a considerable number of resear ches Prof.Zhang Jingzhong has put forward the new system of elementary mathemat ics.Under the guidance of Zhang Jingzhong team the innovation experimental class in Haizhu Experimental School has implemented the integration teaching of the new system of elementary mathematics and the existing junior high school mathematics system.We have found that students can better master the basic properties and the new definition of sine in the new system of elementary mathematics through further investigating and ana lyzing the teaching practice.
Key words New System of Elementary Mathematics New Definition of Sine Inte gration of Teaching
作者：李苹芳，朱华伟.原载：《数学教育学报》2015年第24卷第2期.