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集合论是现代数学的基石，其创始人是德国数学家康托尔（G.Cantor）.用集合语言可以准确地表达数学概念，简洁地进行数学推理.高中阶段函数的定义域、值域，立体几何的推理符号体系，概率论中事件及其运算等都采用了集合的表示和运算形式.
其实，数学中有些问题，并不是用集合的形式呈现的，但是仍然可以用集合的思想去分析，且往往会得到简洁明快、富有新意的解法.本文拟结合具体实例，谈谈交集、并集、包含、补集和韦恩图的集合思想在解题中的应用.
所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合叫作 A 与 B 交集，记作 A ∩ B ={ x | x ∈ A ，且 x ∈ B }.在解题实践中，我们经常将一个数学问题的条件分解为若干子条件（以便暂时解除它们之间的制约关系），然后分别探求只满足子条件的对象的集合，再利用制约关系求出这些子条件的对象的集合之交，即为所求问题的解.这种思想方法叫作交集法.用框图表示如下：
例如，求公约数，求公因式，求函数的定义域，列方程组（不等式组）解应用题，几何作图中的交轨法等都是交集法的应用.
例1 （1）求 y =sin x +cos x +sin x cos x 的最大值.
（2）求证：
分析
（1）常见的处理思路是：设
，则
，则
，然后可求得其在
的最大值为
其实，若注意到
且
的最大值为
，
的最大值为
，且当
时，两个最大值同时取得，所以
y
=sin
x
+cos
x
+sin
x
cos
x
的最大值为
.
（2）若直接将不等式左端记作函数
f
（
x
），然后对其求导数，判断单调性，再求其最小值，并证明大于
，思路着实自然，但是
f
（
x
）表达式中同时含有指数函数e
x
、对数函数ln
x
和幂函数
x
的四则运算，其导函数零点不能求出，故单调性的具体判断渺茫，策略受阻.
其实，若令
g
（
x
）=
x
ln
x
，则
，于是原不等式等价于证明：
.又因为
g
'（
x
）=ln
x
+1，故
g
（
x
）在（0，
）上单调递减，在（
，+∞）上单调递增，故
，于是
≥
.注意到
不能同时取到最小值，所以
评注 将原函数拆分为两个部分，再分别求其最值，然后将求出的两个最值进行运算.这与先分别求出两个集合 A 、 B ，再求交集 A ∩ B 的思想如出一辙.
所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合叫作 A 与 B 并集，记作 A ∪ B ={ x 丨 x ∈ A ，或 x ∈ B }.类似于交集法，在解题实践中，我们也经常将一个数学问题分解为若干简单的子问题，分别求解这些子问题，再把所有这些子问题的解叠加或求并，即为所求问题的解，这种思想方法叫作并集法，用框图表示如下：
例如，求公倍数（式），解方程，解不等式，分类讨论，几何中的形体分割法都是并集法的应用.
例2
求证：当
时，
证明
当
x
>
时，
f
（
x
）>
-1-1>0;
当
时，
f
（
x
）>-sin
x
-cos
x
=
当
<
x
≤0时，
f
'（
x
）=e
x
-cos
x
+sin
x
，
f″
（
x
）=e
x
+sin
x
+cos
x
=
，则
f
'（
x
）在
上单调递增，故
f
'（
x
）≤
f
'（0）=0，则
f
（
x
）在
上单调递减，故
f
（
x
）≥
f
（0）=0;
当
时，
f
'（
x
）=e
x
-cos
x
+sin
x
>1-cos
x
+sin
x
>0，则
f
（
x
）在
上单调递增，故
f
（
x
）≥
f
（0）=0.
综上可知，当
时，
f
（
x
）=e
x
-sin
x
-cos
x
≥0.
评注 利用区间分解
然后在每一个小区间上证得原不等式成立，进而原不等式得证.其中区间的分解方式又取决于问题的感知与分析，尤其是“式感”要敏锐.值得指出的是，若注意到 f （ x ）的一些性质，区间分解方式可简化一些.这与先分别求出两个集合 A 、 B ，再求并集 A ∪ B 的思想如出一辙（这里还不止两个集合 A 、 B ，其实有四个集合）.
如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B .在解题实践中，我们经常从一个数学问题的必要性或充分性出发，将问题的条件进行特殊化或者一般化处理，求得一部分结果后，再争取证得其充分性或必要性，也即先必要后充分或者先充分后必要的思维模式及处理策略，这种思想方法叫作包含法，用框图表示如下：
包含法就是利用集合之间的包含关系去分析处理数学问题.包含法可以应用在分析方程的增失根、轨迹问题、曲线与方程、充要条件的判定等方面.
例3 已知对任意的实数 x 均有 a cos x + b cos2 x ≥-1恒成立，求 a + b 的最大值.
分析 若按照常规思路，将 a cos x + b cos2 x ≥-1变形为：
令
t
=cos
x
∈[-1，1]，则
f
（
t
）=2
bt
2
+
at
-
b
+1≥0恒成立，再讨论二次函数开口方向及对称轴
与区间[-1，1]的位置关系，思路自然但过程曲折繁杂，得到
a
+
b
的最小值更是难上加难.
但是，若先考虑必要条件，取特殊的
x
0
，使得cos
x
0
=cos2
x
0
<0，于是由
a
cos
x
0
+
b
cos2
x
0
≥-1可得，
，再验证充分条件，即验证存在
a
，
b
，使得
a
+
b
取得最大值
，即可获得原问题的圆满解决.具体地：
令cos
x
0
=cos2
x
0
<0，即2 cos
2
x
0
-cos
x
0
-1=0，则cos
x
0
=
或cos
x
0
=1 （舍去），则
a
+
b
≤2.
令
=
-1≥-1恒成立.
所以， a + b 的最大值为2.
评注 先利用必要条件得到 a + b ≤2，再通过充分性说明 a + b 可取到最大值2.这与通过证明两个集合 A 、 B 相互包含于对方而证得 A = B 的思想如出一辙.
全集
U
中不属于集合
A
的所有元素组成的集合称为集合
A
相对于全集
U
的补集，记作
={
x
丨
x
∈
U
，且
x
∉
A
}.在解题实践中，当直接求解某问题有困难时，我们经常用补集法考虑其对立问题，从而达到化难为易、化繁为简的目的，这种思想方法叫作补集法，用框图表示如下：
补集法可以用来转化命题，即当直接求解某问题有困难时，我们可以用补集法考虑其对立问题，从而达到化难为易、化繁为简的目的.反证法、容斥原理、排列组合中的排除法和几何中的补形法都是补集法的具体运用.
例4 甲有 n +1枚硬币，乙有 n 枚硬币，双方投掷之后进行比较，求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
分析 若直接处理，则需按照甲掷出的正面数 k （ k =1，2，3，…， n +1）进行分类，而且，对给定的 k ，乙抛出的正面数可以是0，1，2，…， k -1，则原问题的概率计算必然涉及复杂的求和问题.
其实，若将事件“甲的正面数>；乙的正面数”记为
A
，则
表示“甲的正面数≤乙的正面数”，但是考虑到条件中甲只比乙多1枚硬币这一特殊条件，则
也表示“甲的反面数>；乙的反面数”.再由硬币的对称性，显然
P
（
A
）=
，再由事件
A
与
互为对立事件，即
P
（
A
）+
=1，可得
评注
先构造事件
A
的对立事件
，然后又注意到甲只比乙多1枚硬币的隐含条件，结合硬币的对称性，推得
，故
这与先求出集合
（或得到关于它的等式条件）再求出集合
A
的思想如出一辙.
韦恩图是研究集合的重要工具，韦恩图法就是将集合用韦恩图表示，利用韦恩图的直观性，使抽象的问题直观化，使得问题易于求解.
例5 已知集合 A ， B ， C （不必相异）的并集
求满足条件的有序三元组（ A ， B ， C ）的个数.
分析
因为集合
A
，
B
，
C
中元素可重复，于是若直接着手构造集合
A
，
B
，
C
，使得其并集为
，再计算其总个数则会相当烦琐.
其实，可以反客为主，考虑将集合
中每一个元素如何分配到
A
∪
B
∪
C
中.
如下图所示，集合
A
，
B
，
C
的韦恩图交出了7个区域.要使得
A
∪
B
∪
C
=
，只需将1，2，3，…，2022分别填入这7个区域中，每一种填法均对应着一种满足条件的三元组（
A
，
B
，
C
）.因为每个数有7种填法，故满足条件的三元组（
A
，
B
，
C
）共有7
2022
个.
评注
将原来先有集合
A
，
B
，
C
，再有其并集为
的思路迅速摒弃调整，转化为如何将
分配到
A
∪
B
∪
C
中，这类似于“信投邮筒”的经典分步乘法计数问题，而且借韦恩图以形助数，格外简洁.
作者：朱华伟.原载：《中学数学》1990年第8期.