下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
在《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）选修1 2、选修2-2“推理与证明”中，要求“结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理.通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.”本文依据《标准》的内容和要求、说明与建议，对“演绎推理”这一节的内容安排做一些探讨.
演绎推理与归纳推理的过程相反，它是从一般到特殊的推理.
演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理.
例1 大前提：马有四条腿；
小前提：白马是马；
结 论：白马有四条腿.
这是三段论式推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：
三段论的公式中包含三个判断：
第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的事实或道理；
第二个判断称为小前提，它指出了一个特殊情况；
这两个判断联合起来揭示了一般事实或道理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断——结论.
三段论式推理的根据，用集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.
演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要大前提、小前提都是真实的，推理的形式是正确的，结论就必是真实的.但错误的前提可能导致错误的结论.
数学理论都是用演绎推理组织起来的.每一个数学理论都是一个演绎体系.最典型的例子就是欧几里得几何，它是建立在五组公理之上的演绎体系.
例2 用三段论证明：
直角三角形两锐角之和为90 ° .
这里用了两次三段论来进行推理，在数学中有时要用很多次的三段论来证明一个命题，数学命题的证明过程就是一连串三段论的有序组合.只是为了简洁，往往略去大前提或小前提，甚至有的大前提、小前提全省略.如：
完整式：
省略式：
或省略式：
例3
用三段论证明：
证明 二项展开式
把下列各个推理还原成三段论：
（1）因为∠ ABC 和∠ ACB 是等腰△ ABC 的两底角，所以∠ ABC =∠ ACB .
（2） A 、 B 、 C 三点可以确定一个圆，因为它们不在同一直线上.
（3）一圆周角所对的弦是直径，则它是一直角.
用三段论证明：
（1）矩形的两条对角线互相平分.
（2）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么，这两条直线平行.
（3）在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB = DC ，求证：∠ B =∠ C .
（4）圆内两条非直径的弦相交，试证它们不能互相平分.
（6）若
a
是不等于1的实数，则函数
的图像关于直线
y
=
x
对称.
古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者——海伦.有一天，一位远道而来的将军向他请教一个问题：
从 A 地出发到河边饮完马再到 B 地去，在河边哪个地方饮马可使路途最短？如图1所示.
图1
海伦巧妙地类比光的反射原理给出了下面的解法：
要解决的问题是：如何在 MN 上选出一个点 P ，使 AP + BP 最短.
用合情推理的方法设想答案：从 A 到直线上一点 P ，再从 P 到 B 恰似光线的反射，因为光走最短路线，由此猜想，最短路线应该像光的反射线.
用合情推理构思证明：如果把 MN 看成镜子，把 B 点看作一只眼睛，从镜子里看 A 点的像点 A 1 ， A 1 点应该在镜子的背后，并且点 A 1 在 BP 的延长线上.
由此先作点 A 关于 MN 的对称点 A 1 ，连接 BA 1 ，交 MN 于 P ， P 点即为所求.
用演绎法证明如下：
在 MN 上任取一点 P 1 （异于点 P ），如图2所示，则 AP 1 = P 1A1 ， AP = PA 1 ，从而
由此可知： A 到 B 经 P 点距离最短.
图2
在探索自然规律时，首先要确定一个目标，或者提出一个要解决的问题；然后通过日常的实践、分析和合情推理，总结出一个预期的解决方案或猜想；最后还需对此猜想做出严格的证明.证明的过程中则需要按演绎推理的规则进行，证明完一步，下一步又该如何演绎，仍需依靠合情推理提供思路，直至完成全部证明.
G.波利亚曾指出：“数学的创造过程与其他知识的创造是一样的，在证明一个定理之前，你先得猜想这个定理的内容，在你完全作出详细的证明之前，你先得猜想证明的思路.你要先把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地去尝试.数学家的创造性成果是论证推理（演绎推理），即证明，但这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的.”G.波利亚还认为：“论证推理（演绎推理）是可靠的、无疑的和终决的.合情推理是冒险的、有争议的和暂时的.它们相互之间并不矛盾，而是相互补充的.”
作者：朱华伟.原载：《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2 （理科），
湖南教育出版社，2005年6月.