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在《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）选修1 2、选修2-2“推理与证明”中，要求“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.本文依据《标准》的内容与要求、说明与建议，对“类比”这一节的内容安排做一些探讨.
传说木工用的锯子是鲁班发明的.有一天，鲁班到山上去，手指突然被一根丝毛草划破了一道口子.一根小草怎么会这样厉害呢？鲁班仔细一看，发现草叶子的边缘生着许多锋利的小齿.他立即想到，如果照着丝毛草叶子的模样，用铁片打制一把带利齿的工具，用它在树上来回拉，不就可以很快地将树割断吗？回去后，鲁班马上打造了一把这样的工具，这就是锯子.
聪明的鲁班在这里所使用的推理方法称为类比（Analogy）.类比是根据两个不同的对象在某方面的相似之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处，如根据带齿的草叶与带齿的铁片结构相似，由前者能划破手指，推出后者能割断树木.到了近代，这种仿照生物机制的类比便发展成了一门新兴的学科，即近代仿生学.例如，潜水艇的设计思想来自鱼类在水中浮沉之生物机制的类比.
类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似.文学艺术与科学研究都充满了类比.类比用得好，在文学作品中可使文章大为生色，在科学研究中可引出新的发现.
“问君能有几多愁，恰似一江春水向东流”用的就是类比.
代数中根据分式与分数都具有分子、分母这个相同的形式，从而推出分式具有与分数相似的性质，分式可以如分数一样进行化简和运算，这就是类比.
我们在学习立体几何时常常类比平面几何，将在平面几何中成立的结论进行推广，得到许多类似的结论.
例1 长方形和长方体，如图1所示.
长方形的每一边恰与另一边平行，而与其余的边垂直.
长方体的每一面恰与另一面平行，而与其余的面垂直.
图1
这两种几何图形间可以建立类比关系，如表1所示.
表1 长方形与长方体性质类比
例2 平面上的圆与空间中的球的类比，如表2、表3所示.
表2 圆与球概念的类比
表3 圆与球性质的类比
例3 医药试验不宜直接在人体上进行.老鼠、猴子与人在身体结构上具有类似之处，于是，有理由相信，在这些动物身上的试验结果类似于在人体上试验的结果.
类比是从人们已经掌握的事物的属性，推测正在研究中的事物的属性，它以旧有认识为基础，类比出新的结果.运用类比推理的一般步骤为：首先，找出两类比对象之间可以确切表述的相似性；然后，用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出猜想；最后，检验猜想.
（1）线段、三角形与四面体，如图2所示.
图2
线段是直线（一维空间）上的最简单的封闭图形，它由两点围成.
三角形是平面（二维空间）上的最简单的封闭图形，它由三条直线围成；在平面上，两条直线围不成封闭图形.
四面体是空间（三维空间）上的最简单的封闭图形，它由四张平面围成；在空间上，三张平面围不成封闭图形.
这三种图形之间可以做类比，这种类比是在不同维数的空间之间进行的.
如果我们把线段叫1维单形，三角形叫2维单形，四面体叫3维单形，那么单形的概念可以推广到高维空间中，例如我们可以考虑4维单形、5维单形等.
（2）将椭圆与双曲线相应概念、性质作类比，见表4.
表4 椭圆与双曲线中概念与性质的类比
（3）著名的欧姆定律就是德国物理学家欧姆在1826年把电传导系统与热传导系统作类比而得出的.电流 I 与热量 Q 相当，电压 V 同温差Δ T 相当，电阻 R 与比热 c 的倒数相当.电传导与热传导系统的类比见表5.
表5 电传导与热传导系统的类比
在热传导系统中有关系式：
于是，就可猜想在电传导系统中有关系式：
这就是欧姆定律.
（4）已知正三角形内任一点 P 到三个边的距离之和等于三角形的高.我们可以猜测：正四面体有什么性质呢？如果我们把三角形的边和正四面体的棱对应起来，正三角形有三条边，而正四面体有六条棱是不对称的.同样，三角形的高是一个顶点到对边的距离，那么正四面体是一个顶点到对棱的距离也是不对称的.但是我们可以建立以下的对应关系，见表6.
表6 正三角形与正四面体性质的类比
于是，类比正三角形，我们可以得到正四面体的什么性质？请给出证明.
（5）将直角三角形与直四面体进行类比，把勾股定理推广到三维空间.
（6）在等差数列{ a n }中，若 a 10 =0，则有等式
成立.在等比数列{ b n }中，若 b 9 =1，类比上述性质，写出相应成立的等式，并给出证明.
应用类比推理应当注意：只有本质上相同或相似的事物才能进行类比.如果把仅仅形式上相似而本质上都不相同的事物不分青红皂白地乱类比，就会造成错误.
例如把 a （ a + b ）与log a （ x + y ）或sin（ x + y ）类比，把（ ab ） n 与（ a + b ） n 类比，常造成下列错误：
在数学教学中要注意防止这种形式主义的类比，其方法主要是使学生对于符号所表示的内容做到深刻理解.类比与归纳一样，也是一种合情推理，是一种发现的方法而不是论证的方法，其结论正确与否，必须经过严格证明.
作者：朱华伟，史亮.原载：《数学通讯》2006年第1期.