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在《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）选修1-2、选修2-2“推理与证明”中，要求“结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用”.本文依据《标准》的内容与要求、说明与建议，对“归纳”这一节的内容安排做一些探讨.
用手扔出一枚石子，它会掉下来，又扔一个玻璃球，它也会掉下来，再扔一个苹果，它还是会掉下来.我们会想到：不管扔的是什么东西，它都是会掉下来的；进一步去想这是为什么，想到最后，认为是由于地球有引力.但是，我们并没有把每件东西都扔上去试一试，试了若干次，就认为这是普遍规律.
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫作归纳（Induction）.
农谚“瑞雪兆丰年”“霜下东风一日晴”等，就是农民根据多年的实践经验进行归纳的结果.
在物理、化学、生物、医学等许多实验科学的研究中，用归纳推理来验证一条定理、一个假说是常有的事，理论上对不对，可用实验来验证.
归纳常常从观察开始.一个生物学家会观察鸟的生活，一个晶体学家会观察晶体的形状，一个数学家会观察数和形.
例1 观察下列等式：
通过对上面几个式子的观察，我们可以推出这样一个结论：“对任何正整数 n ，等式1+3+5+…+（2 n -1）= n 2 成立.”
例2 哥德巴赫猜想.
观察
归纳猜想：任何一个大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和.这就是著名的哥德巴赫猜想，这个猜想至今没有得到证明.
例3 费马大定理.
我国早在商周时代（约公元前1100年）就已经知道了不定方程 x 2 + y 2 = z 2 至少有一组正整数解： x =3， y =4， z =5.
法国数学家费马（Fermat，1601—1665）在阅读古希腊数学家丢番图《算术》一书的第Ⅱ卷第8命题“将一个平方数分为两个平方数的和”时，他想到了更一般的问题，在页边空白处写下了如下一段话：
“将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次方数分为两个四次方数的和，或者一般地，将一个 n 次方数分为两个同次方数的和，这是不可能的.关于此，我确信已找到了一个真正奇妙的证明，可惜这儿的空间太小，写不下.”
这段叙述用现代数学语言来说，就是
“当整数 n >2时，方程
没有正整数解”.
这就是著名的费马大定理.这个结论费马认为可以证明，但并没有给出证明过程.这个困惑了世间智者358年的猜想，终于在1996年获证.
运用归纳推理的一般步骤为：首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般性命题（猜想）；最后，对所得出的一般性命题进行检验.
练习：
（1）观察下面的几个算式，找出规律：
利用上面的规律，请你迅速算出：
（2）观察下列等式：
想一想，等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系？猜一猜可以引出什么规律，并把这个规律用等式写出来.
（3）等差数列的通项公式.
设等差数列{ a n }的公差是 d ，那么
由此，猜想等差数列的通项公式是 a n =______.
（4）等比数列的通项公式.
设等比数列{ a n }的公比是 q ，那么
由此，猜想等比数列的通项公式是 a n =___.
（5）下面由火柴杆拼成的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成：
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有___根；第 n 个图形中，火柴杆有___根.
（6）观察下列各正方形图案，每条边上有 n （ n ≥2）个圆点，每个图案中圆点的总数是 S .
按此规律推断出 S 与 n 的关系式为___.
（7）1）图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图.数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？请将结果填入下表（按填好的样子做）.
第7题图
2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系.
3）现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个图有多少条边.
（8）角谷猜想.
任取一个大于2的自然数，反复进行下述两种运算：
1）若是奇数，就将该数乘以3再加上1;
2）若是偶数，则将该数除以2.
例如，对3反复进行这样的运算，有：
对4，5，6反复进行上述运算，其最终结果也都是1，再对7进行这样的运算，有：
运用归纳推理建立猜想：从任意一个大于2的自然数出发，反复进行1）、2）两种运算，最后必定得到1.这个猜想后来被人们多次检验，发现对7 000亿以下的数都是正确的，究竟是否对大于2的一切自然数都正确，至今还不得而知.
（9）已知数列
S n 为其前 n 项和，计算 S 1 ， S 2 ， S 3 ，由此推测计算 S n 的公式，并用数学归纳法给出证明.
（10）已知数列
S n 为其前 n 项和，计算得
观察上述结果，猜测计算 S n 的公式，并用数学归纳法加以证明.
（11）在平面上有 n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？
用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现一般规律.但是应该注意，仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论不一定可靠，这只是一种合情推理，其结论正确与否，还需要经过理论的证明和实践的检验.
例4 设 f （ x ）= x 2 + x +11，取 x =1，2，3，…，9，则
可以看出，这些值都是质数.
从这些特殊情况可以归纳出：当 x 为正整数时， f （ x ）= x 2 + x +11的值都是质数，那就是错误的.
事实上，当 x =10时， f （10）=10 2 +10+11=121，这是个合数.
尽管由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，还需要进一步检验，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现是十分有用的.观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出猜想，乃是科学研究的最基本的方法之一.
作者：朱华伟，史亮.原载：《数学通讯》2005年第13期.
人大复印资料《初中数学教与学》2005年第11期.