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欧拉（Leonard Euler）1707年生于瑞士巴塞尔，1783年卒于彼得堡，是18世纪首屈一指的大数学家、物理学家和天文学家.他深湛渊博的知识，无穷无尽的创造力和空前丰富的著作令后人叹为观止，自18岁起开始写作，直到76岁，半个多世纪里大部分年代都以每年800页稿纸左右的产量发表高质量、独创性的研究文章.他所著的现代版《欧拉全集》有886页之多，在其去世后的40多年里，彼得堡科学院学报发表的几乎全是他的文章.甚至每一个数学分支都可以看到他的名字，从初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法，到数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论中的欧拉常数、变分学的欧拉方程、复变函数的欧拉公式，处处都留下欧拉的足迹.另外，用∑表示求和，用i表示
，用e表示自然对数的底，用π表示圆周率等，也都源于欧拉.因此，他被誉为“最多产的数学家”“数学界的莎士比亚”，著名数学家纽曼称他是“数学家之英雄”.就连著名数学王子高斯也曾说过：“研读欧拉的著作，永远是学习数学的不二法门.”法国数学家拉普拉斯也曾说过：“读读欧拉，他是我们所有人的老师.”本文拟结合具体案例谈谈欧拉强大的数学思想.
人类的一切知识都是从观察入手而得到的.观察和实验在人类认识过程中非常重要，没有观察和实验就没有科学.正如欧拉所言，数学这门学科，需要观察，还需要实验，因为流行的观点认为观察只局限于能产生感性印象的具体对象，因此，认为观察在数学这门学科中也极为重要是荒谬的.的确，若必须把数仅仅看作是纯理性的概念，我们的确很难理解观察和假想实验怎么能用于研究数的本质.事实上，众所周知，今天人们所知道的数的性质，几乎全都是通过观察所发现的，并且早在严格论证确认其真实性之前是我们所熟悉而不能证明的，观察才使我们知道这些性质.因此，在仍然不完善的数论中，还得把最大的希望寄托于观察之中，这些观察将导致我们继续获得以后尽力予以证明的新的性质”.
例1 法国著名数学家费马（Fermat）考察了如下数列并观察到
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
的数都是质数，这就是著名的费马猜想.
然而，半个多世纪之后，善于计算的欧拉通过观察、实验发现：当 n =5时，
不是质数，从而推翻了费马猜想.
值得一提的是，又过了半个多世纪之后，82岁的兰德里（F.Landy）经过艰苦的努力后发现：当 n =6时，
也不是质数.而且，随着计算机的发展，人们发现：在
n
>4时，尚未发现使得
是质数的
n
.因此，甚至有人提出了一个与费马猜想相反的猜想：除了有限个
n
外，
都是合数.
毫无疑问，第一个举出反例进而否定费马猜想的欧拉是最受关注的.
G.波利亚对欧拉的归纳思想做了如下精辟的论述：“他（欧拉）是数学研究中善于运用归纳法的大师.他用归纳法，也就是说，他凭观察、大胆猜测和巧妙证明得出了许多重要的发现（在无穷级数、数论和其他数学分支中）……他总是下功夫把有关的归纳证据细心地、详尽地、有条理地写出来，他讲得令人心悦诚服，但只是如实反映他的思想，就像一个真正的科学家应做的那样，他的讲解能坦率表述那些使他引向发现的思想，而又是一种特别感人的魅力.”下面我们给出欧拉利用归纳法得出的两个重大发现的详尽过程，欧拉归纳思想于此可见一斑.
例2 多面体的欧拉定理的发现.
从欧拉在1750年发表的一篇论文里可以看到欧拉定理的端倪.他说：“在平面几何中把多边形分类是容易的，只用看它有多少条边，也就有多少个角.在立体几何中把多面体分类，却困难多了，单看它有多少面并不足够.”例如，估计很少人愿意将图1中三个六面体看作同类.它们的外观感觉相差实在太大，且顶点数和棱数均不一样.那如果用面数和顶点数分类又如何呢？显然，图2中两个几何体均是有八个顶点的六面体，但直觉上也不能看作同类.
图1 顶点不同而不同类的六面体
图2 顶点相同而不同类的六面体
欧拉的英明之处在于他更细致地考察了多面体面数 F 、顶点数 V 、棱数 E 之间的定量关系.具体地，他继续做实验，观察一些特殊的多面体，并将其面数 F 、顶点数 V 、棱数 E 具体数出来.制作出如表1所示的表格.
表1 几种多面体的面数、顶点数及棱数
有相同的 F 和 V 的多面体.也有相同的 E .对多面体分类问题来说，这是令人失望的.不过欧拉并不甘心，塞翁失马，焉知非福？这项实验揭示了另一项更有趣的发现，即 E 也许是关于 F 和 V 的函数，从而能用 F 和 V 的值计算出 E 的值.
经历一番观察、猜测、验证，欧拉惊奇地发现多面体面数与顶点数之和与棱数之差总是2，即 V + F - E =2.在对猜想证明之前，欧拉还检验了很多实例，如十二面体、二十面体等，发现都满足 V + F - E =2.其实这就是其发现的多面体欧拉定理.
欧拉利用归纳的思想还发现了多面体的另一猜想：多面体的面角和等于（2 V -4） π .
例3 整数因子和的一个奇数规律的发现.
首先我们用 σ （ n ）表示 n 的因子和.例如 σ （1）=1， σ （12）=1+2+3+4+6+12=28，同样有 σ （60）=168， σ （100）=217，又因0能被所有的数除尽，故 σ （0）理应为∞.
若 p 是素数，则 σ （ p ）=1+ p ，而 σ （1）=1 （不是1+1），若 n 是合数，则 σ （ n ）>1+ n .
当 n 为合数时，可由其因子求得 σ （ n ），若 a ， b ， c ， d ，…是不同的素数，则
如此等等，对素数多次乘方，需要特别法，则如
一般地，有
利用以上关系，可得任一合数的因子和，如
一般地，有
例如：为求 σ （360），因360=2 3 ·3 2 ·5，故有
为了显示出因子和序列，我们列出从l到99各数的因子和序列，如表2所示.
表2 1到99各数的因子和序列
若仅粗略地考察这个序列，我们几乎会感到失望，不能发现有什么规律，这同素数的不规则性有关，以致使我们觉得除非发现素数规律，否则不可能发现这个序列的规律，甚至也许以为这个序列比素数序列更具奥妙.
尽管如此，欧拉却洞悉一切，发现了这个序列有完全确定的规律，甚至可以说是一种递推序列.事实上，若设 σ （ n ）是这个序列中的某项，而 σ （ n -1）， σ （ n -2）， σ （ n 3）， σ （ n -4）， σ （ n -5），…是其前面各项，则有下面公式：
对这个公式需要说明以下几点：
（1）每两个加号之后有两个减号.
（2）要从 n 减去的数1，2，5，7，12，15…诸数，若取其差，则易见其规律：
数1，2，5，7，12，15，22，26，35，40，51，57，70，77，92，100，…
差1，3，2，5，3，7，4，9，5，11，6，13，7，15，8，…
事实上，在这差的序列里根据交替出现的全部整数1，2，3，4，5，6，…与奇数3，5，7，9，11，…可把这个序列无限往下写得任意长.
（3）这个序列虽然无穷，但每次只取到 σ （）中的数大于零为止，不取 σ （）中数为负数.
（4）若公式中出现 σ （0），则因 σ （0）不定，应以 n 代 σ （0）.
数学家希尔伯特曾经强调：“数学知识终究是依赖于某种类型的直觉洞察力.”这里的直觉洞察力包括观察法、归纳法、类比和联想等.无论是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基创立非欧几何，还是希尔伯特推广二次互反律的工作都离不开类比和联想.下面以欧拉发现“自然数倒数平方和的公式”为例说明他是应用类比和联想的巧匠.
例4 比欧拉稍早的杰出数学家雅克·伯努利（Jacques Bernoulli）对无穷级数的研究做了出色贡献，得出一些方法并求出几类特殊无穷级数的和，但他无法计算出如下级数的和：
于是，他公开征求解法，当时雅克·伯努利写道：“假如有人能够求出这个我们直到现在还未求出的和并能把它通知我们，我们将会很感谢他.”但令人遗憾的是，直到他去世，都没有人给出解答.数十年后，欧拉开始考虑这个问题，经多方尝试之后，经过巧妙的构造，采用把三角方程与代数方程相类比的方法，避开了从有限到无限类比所埋伏着的危险陷阱，圆满地得到了答案.
首先，他联想到只含偶次项的2 n 次多项式方程
假设其2 n 个不同的根为± β 1 ，± β 2 ，…，± β n ，则
比较上式两端 x 2 的系数，得到
这里出现了根的平方的倒数和形式，这与所求解的级数和问题有些类似，为了把这有限项的和推广到无限项的和，欧拉通过有限与无限的类比，利用自己推出的关于sin x 的幂级数展开式，又研究三角方程
欧拉将以上方程看作只含有偶数次项的无限多次多项式方程，其根为± π ，±2 π ，±3 π ，…，于是他大胆地采用类比方法，即仿照上述2 n 次多项式方程由其根分解成乘积的形式，将以上无限次多项式方程分解成乘积形式，得
比较上式两端 x 2 的系数，得到
所以
欧拉深知他的结论是大胆的，也曾仔细地对
和
做了精确度较高的计算，然后确信这个猜想是正确的.欧拉写道：“这种方法是新的并且还从来没有这样用过.”
母函数的名称是拉普拉斯取的，但是在拉普拉斯还没有给出这个名称之前，欧拉在他的文章中已经使用了母函数的方法，他应用这种方法解决了组合分析和数据论中的若干问题.
母函数就像口袋，可以装许多零碎的东西.我们把携带方便的零碎的东西都放在口袋里，就只需携带单独一个对象了.完全类似地，分别处理数列
a
0
，
a
1
，
a
2
，…中的各项不方便，但把它们都放在幂级数（母函数）
里，就只需处理一个数学对象了.
严格地说，给定无穷级数 a 0 ， a 1 ， a 2 ，…， a n ，…构成形式幂级数
则称 f （ x ）为数列{ a n }的母函数.
因此，母函数法实质上是一种变换法，它把数列{ a n }变换为形式幂级数
从而有可能把对数列的研究转化为对函数的研究，如果形式幂级数收敛于某一函数的话，则这种方法可在数学的许多领域内广泛地被采用.
例5 欧拉最先使用母函数方法得到例3中指出的“整数因子和的一个奇特规律”，限于篇幅，本文不再重复其推导过程，有兴趣的读者可查看在G.波利亚的名著《数学与猜想——数学中的归纳和类比》中记录的欧拉的一篇研究报告：关于整数因子和的一个非常奇特规律的发现.
拓扑学是一门年轻而富有生命力的学科.它萌发于17或18世纪，但到19世纪才开始得到发展.20世纪以来，拓扑学是数学中发展最迅猛、研究成果最丰富的领域，成为十分重要的基础学科.而欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究和多面体欧拉定理的发现在该学科诞生之初就画上浓墨重彩的一笔，具有极其重要的意义.
例6 在18世纪普鲁士的哥尼斯堡镇有这样一则故事，那里有一个“奈发夫”的小岛，风景优美，景色宜人，普莱格尔河绕流其旁，将小岛自然分割成两个部分，在被分开的两部分中，一部分与陆地两边各有两座桥相通，另一部分与陆地两边各有一座桥相通，两部分之间有一座桥相连，这就是哥尼斯堡的七座桥（见图3左）.当时，那里的居民热衷于这样一个问题：一个旅游者在这里逍遥散步，怎样才能一次走遍七座桥而不重复，这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”，他们试了很久都没有成功，便向当时最负盛名的数学家欧拉求助.
图3 哥尼斯堡七桥问题
问题到了欧拉那里，他把陆地用一个点来代替，而每一座桥用一条线来表示，从而得到一个网络图（见图3右），这就建立起哥尼斯堡七桥问题的一个数学模型，通过这个模型，用纸笔即可研究原问题，极大地提高了工作品质与效率.
1736年，欧拉在彼得堡科学院的《哥尼斯堡七座桥》的论文报告中提出并解决了一个推广的问题：给定任意一个河道图与任意多座桥，要判断是否可能每座桥恰好走过一次且走遍所有的桥.他的结论是：如果通奇数座桥的地方不止两个，所要求的路线是找不到的；然而如果只有两个地方通奇数座桥，可以这两个地方之一为出发点，找出所求的路线；如果没有一个地方通奇数座桥，那么无论从哪里出发，所求的路线总能实现.这个判别准则，就是网络中的一笔画定理.欧拉用这个判别准则，很快地就判断了要一次不重复走遍哥尼斯堡的七座桥是不可能的.
欧拉用一笔画定理作为判别准则，显然是十分重要的，尤其是他解决这个难题的方法更是出奇制胜.以往，人们在试图解决这个难题的过程中关注的是桥，运用穷举法，企图尝试所有可能性，但所有可能性的组合数目又太大，实际做起来太困难了.欧拉则另辟蹊径，他的着眼点放在被河道分开的不同陆地上.如果通往这块陆地有偶数座桥，那么进来后总可以出去.如果通往这块陆地有奇数座桥，那么只能作为步行的开始或结尾.如果通奇数座桥的陆地多于两块，那么一次走完所有的桥而不重复是不可能的，而哥尼斯堡的七座桥连接的四块陆地都通奇数座桥，故一次走完七座桥的散步方式根本不存在.欧拉解决这一难题时，所表现出来的彻底、精辟、完美的见解，使很多人望尘莫及.人们把欧拉的思想进一步抽象，即得到树、枝、圈、网等图论的概念.
欧拉从哥尼斯堡的七座桥把问题引了出来，但是他却着眼于更一般的问题，他把陆地当作顶点，把连接两陆地的桥作为路而形成一个网，这就抓住了问题的实质，使问题立即转化为一个几何问题.当然，这种几何与欧氏几何不同，它只讨论与位置有关的因素，而不管尺寸的长短与大小，这就给莱布尼茨早先提出的“位置几何学”找到一个实际模型，科学需要抽象，正确的抽象更接近于事物的本质，数学更要借助于抽象，数学的抽象更好地揭示了量与量之间的关系，许多人对七座桥问题产生了浓厚的兴趣，但又不能解决它，因为他们的出发点只是把七座桥问题当作一种具体游戏，看到和想到的仍然是岛、桥、河、陆，而欧拉则从中跳了出来，换一个角度去思考，他看到和想到的则是点、弧、圈、网、奇偶搭配，把一个实际问题抽象为数学模型，运用数学推理给出一般的解答（称为数学模型法或抽象度分析法）.因此，他不仅顺利解决了具体的问题，而且能够提出更一般的概念、提出新的数学思想（图论思想）、开创新的数学方法（抽象度分析法）.
欧拉并没有满足于上述解答，他继续向前走，将其演变成多面体理论，得到前述的多面体的欧拉定理的证明，它也成为拓扑学的第一个定理，开创了拓扑思想之先河.这个定理的证明使我们看到了几何问题的一种更内涵的性质，即只要在任何不致造成图形各部分断裂和粘连的变形下，这些性质依然被保留着.我们称图形的这种性质为拓扑不变性质，它可以被比较严格地描述为“几何图形在一对一的双方连续变换（同胚）下保持不变的性质”，拓扑学就是研究这些拓扑不变性质和不变量的数学分支.
作者：朱华伟.原载：《数学通讯》2004年第13期.