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摘要 ：苏联心理学家克鲁捷茨基在其著作《中小学生数学能力心理学》中对有数学天赋的学生在解题过程中体现出来的数学能力做了精辟的论述.例如，对题目最初定向的能力，概括数学材料的能力，简缩推理过程的能力，记忆数学材料的能力等.这对解题研究来说是一份令人难忘的资源.
关键词 ：解题思想；数学能力；有数学天赋的学生
苏联心理学家克鲁捷茨基的著作《中小学生数学能力心理学》以其研究方法的多样化和实验题目的丰富多样而著名.由于这本书讨论的主要是中小学生数学能力的结构，因此人们常常在讨论数学教育哲学或心理学的时候才会提及它.其实，这本书蕴含着丰富的数学解题思想，因为克鲁捷茨基并不盲目地相信测验结果的数学处理，他更注重过程本身的研究.书中列举的许多对不同数学能力学生解题过程的观察是一个令人难忘的资源.学生是否有数学能力往往表现为能否顺利解决数学问题，所以我们能够从有数学天赋的学生顺利解题和数学能力低的学生不能成功解题的特点上发现解题的一些思想方法.
在克鲁捷茨基看来，解一道数学题有三个基本的心理活动阶段：收集解题所需的信息，对信息进行加工从而得出解法，以及保持这个解法的信息.下面分别讨论这三个阶段所包含的解题思想.
按照克鲁捷茨基的说法，这个阶段是对题目的最初定向，也就是说，这个阶段并没有推出任何新数据或表达式，只是产生对原始数据的一种解释，对题目内容的一种定向.这种定向来自对题目条件的分析-综合感知.为了能顺利地解出一道数学题，这种分析综合感知必须从题目条件中分离出三组量来，从而形成对题目的最初定向.
第一组量，相对于其他类型的题目来说，这是这一类型题目的特征，这在以后制约着解题所用的一般方法.
第二组量，是给定题目的具体特征，它们区别于同一类型的其他题目，这在以后制约着具体的解题.
第三组量，要能从众多的数量中分离出那些解题所必需的数量来，也就是要舍弃不必要的数据.
本文讨论的主要是解标准数学题的思想方法，所以一般不会考虑第三组量的分离.所谓标准数学题，是指条件和结论完整，不会出现多余数据的数学题.下面举例说明这种分析-综合感知是如何从题目的条件中分离出这些量来的.
例1
（2007年全国高中数学联赛试题）设
a
n
=
，求证：当正整数
n
≥2时，
a
n+1
<
a
n
.
分析 首先分离出第一组量，也就是识别题目的类型.这道题要证明的不等式的形式使我们想起一道非常熟悉的题目：
例2
求和：
这两道题形式上很相似.我们知道例2是裂项求和的典型例子，这就决定了我们将要尝试用裂项法去证明例1.
其次分离出第二组量，也就是题目的具体特征.虽然我们看出例1和例2形式上很相似，但它们毕竟是有明显区别的：一个是不等式证明，另一个是式子求值，并且例1的每一项的分母并不是两个数相差1，而是和为 n +1.这就决定了两道题目在具体的解题方法上有所区别.
前面说过标准数学题的数据一般是完整的，所以我们在此不必考虑第三组量的分离.
从题目条件中分离出的这些量将是后面解题顺利进行的基础，但并不是每个学生都可以毫无困难地分离出这些量来.不同数学能力的学生的这种分析-综合感知的特点是有很大区别的.
有数学天赋的学生不仅能感知个别元素，而且能感知那些特殊的“有数学意义的结构”，相互联系着的一些数学量的复合体，以及函数性依赖关系的类型.他们把题目作为一个整体来“掌握”，所以他们能迅速分离出三组量.例如，有数学天赋的学生对例1的感知不是停留在具体的元素 k 和 n +1- k 上，他们能从 k 和 n +1- k 所构成的式子的结构上迅速地联想到例2这道结构相似的熟悉题目.
而数学能力一般的学生通常只能感知题目个别的数学元素，“落在”知觉范围之外的元素往往就“丢失”了.他们同等地感知一切具体的数量，不能建立它们的“层次”.因此，他们对题目的最初分析-综合定向，朝向分离出使他们能把给定的题目从其他题目中识别和区分出来的特点.例如，如果同时给出例1和例2，他们往往能够发现这两道题不同的地方，却不能发现它们是同一类型的题目.为了使数学能力一般的学生能够顺利解题，他们必须在老师的指导下做适量的变式练习.
经过第一个阶段收集题目的信息，并且对题目做出最初的定向后，我们开始对收集到的信息进行加工，也就是做各种尝试.不同于一般人所认为的是，这种尝试不是漫无目的的试误，即由于偶然的猜测产生了各种操作，那些经过证实并加以强化的有效操作保留下来，而那些无效的操作就被逐渐淘汰.苏联心理学家指出，人的各种尝试活动原则上是不同的，是被一个自觉的目的所指引，常常以一个明确的假设为先导，是自觉地加以组织的，组成一个明确的系统并经常以一种心理实验的形式出现的.只有在极低的水平上，这些尝试活动才是盲目的猜测，这时学生并不确切地意识到为什么要做这样的尝试，以及他们应该得出怎样的结果.
在第一个阶段对题目内容做出的定向中就包含着各种假设，所以接下来所做的尝试总是有目的、有系统的，并且指向所做出的假设.这种尝试不但是作为解题的直接企图，而且想借助每次尝试中得出的辅助信息来彻底弄清题目.这时，有数学天赋的学生常常意识到为什么要进行这一尝试、想达到什么目的，以及下一步怎么办.
在尝试的过程中，有三种主要的因素影响着解题的顺利进行，它们分别是概括数学材料、简缩推理过程和思维的灵活性与可逆性.
对数学材料的概括是掌握好数学的必备要素.在解题中，对数学材料进行概括有助于我们找到解某种特定类型题目的一般原则，所以当我们在一道题中理解了这种类型题目的一般原则后，就容易把这个解题原则移用到同一类型的其他题目上，因为这一类型的其他题目只是这道题的一个变式.例如，为了证明上面所举的例1，让我们先回顾一下例2的解法.这种类型的题目以前属于竞赛中的内容，数学新课程改革后，它已经作为初中教材的拓展创新题：
因为是分数相加，我们首先想到的是通分，但是相加的项数太大，不宜通分进行直接计算.通过观察每一项，还有相邻两项的特点，我们利用恒等式
进行裂项，相邻两项相消便可得到结果.我们从例2的解法中概括出解这种类型题目的一般原则：当分数相加时，如果项数很多不宜进行通分直接计算，可以考虑先裂项后再相加.
有了这个一般原则，我们可以对例1做这样的尝试：对和式
进行裂项，使其成为分数
的和或差.
由于
，因此得到
.与例2不同的是，
相邻两项没有共同的数字，并且
裂项后并不是两个数相减而是相加，所以不会出现抵消的现象.不过通过裂项相加后，
a
n
的形式变得更加简单，从而有利于接下来与
a
n+1
的比较.
于是，对于任意正整数 n ≥2，有
所以
对数学材料的概括使我们能够抓住题目的本质，从一些具体的数据中抽象出题目的一般形式，大大简化了解题的过程.
接下来的问题是，对数学材料的概括是怎样形成的呢？苏联心理学中有这样的论点：任何概括，包括数学的概括，依赖于对特殊事例的比较以及逐渐地分离出一般性质，并且这些特殊事例中无关特性要有广泛的变化，而有关特性则保持不变.
克鲁捷茨基认为在非常有能力的学生中，他们乐意主动地去做这种概括，并且把新遇到的一类题目中的第一个具体问题当作一般的典型题目去解.例如，他们可能在解出上面的例2后，就把解决这一类型的题目的一般原则概括出来了.而数学能力一般的学生必须在特别选择的材料上进行长期的训练才能达到，并且这些特别选择的材料包括所有可能的情况.
苏联教学法专家S.I.索霍尔-特洛茨基及F.A.埃思在他们的关于算术教学法论的著作中指出，学生反复解同一类型的题目时，他们简缩了而且不再意识到心理过程中的一些个别阶段，但是在必要时学生能重新进行充分而细致的推理.
例如，我们在例1和例2的解答过程中，分别用到恒等式
这是因为我们已经熟知这两个恒等式的推导过程.
简缩推理过程的实质就是直接利用我们已经知道的结论进行推理，而无须再对这些结论重新作推导.简缩推理过程的价值主要是因此确定了信息加工的速度，从而大大加速和简化了解决问题的过程，“节省”了脑力.如果没有这种对推理过程的简缩，学生可能会毫无希望地纠缠在烦琐的演绎链中.这也意味着我们在后面要讨论到的数学记忆（解法信息的保持）的重要性.
心理学家N.R.F.梅伊尔在研究过去经验对于问题解决过程的作用时指出：“一个人不会解一道题，不是因为他不能找到一种解法，而在于他们习惯的运算方法妨碍了他去想出恰当的解题方法.”这也是为什么我们有时能看懂别人的解法，但自己却想不到的原因.因此，他引用一种突出的思维灵活性作为顺利地解决问题的前提.
在解题过程中，思维的灵活性表现为当尝试出现错误或无法进行下去的时候，能够从已经确定的思路中跳出来去发现新的思路；或者在觉得第一种解法冗长笨拙的情况下，没有受其抑制地去寻找其他解法.所以在解题过程中，不但要自觉地使用以前积累的解题模式，而且更应努力突破在过去经验中形成的思维定式.下面是体现思维灵活性的一个好例子.
例3
（罗马尼亚数学奥林匹克试题）已知
a
>0，解方程
解 ：由原方程，显然有 x ≥0.方程两边平方去掉第一层根号，整理得到
由
>0，可知0≤
x
≤
a
.方程①两边平方去掉根号，整理得到
这是一个关于 x 的四次方程，按照一般的解方程规则，我们试图用手工的方式对方程②的左边进行因式分解，但过程比较复杂.但如果我们把 a 看作是未知数，而 x 作为参数，那么方程②就成为关于 a 的一元二次方程
我们知道一元二次方程有使用方便的求根公式，方程③的判别式为
恰好是一个完全平方式，用求根公式可得 a 1 = x 2 - x ， a 2 = x 2 + x +1，所以得到分解式
方程
a
-
x
2
+
x
=0的正根不满足条件
a
-
x
2
≥0，因为
a
-
x
2
=-
x
.方程
a
-
x
2
-
x
-1=0的根为
和
只有
x
1
可能是非负的，并且当且仅当
a
≥1时
x
1
是非负的.
在解题过程中，思维的可逆性表现为倒推或双向推导.所谓倒推，就是一种从答案或结论到原始数据的逆向推导过程.不同于一般地从条件推出结论的推理方式，倒推是从结论着手，找出能推导出这些结论的前提条件，再从这些前提条件着手，找出能导出它们的新的前提条件，如此继续往前找，希望在某一步新的前提条件会和已知条件一致.这种倒推方法常常在由于已知条件太多而不知道从何下手的情况下发挥作用.在这种情况下，倒推的起点只有一个，即唯一的终点结论，而且这个起点往往是会引导你找出与问题的解答有关的那些已知信息.例如在不等式的证明中就常用到倒推方法.
在上面所说的倒推方法中，终点结论不是作为已知条件的一部分，也就是说，并没有从终点结论推导出新结论，而是推导出它成立的条件.在双向推导中，则把终点结论作为已知条件，并由此推导出其他某些条件.所以双向推导就是推导题目信息的相互关系，下面的两道题就是训练双向推导的例子（解答略）:
例4 已知△ ABC 中， AB = AC ，求证：∠ ABC 的角平分线等于∠ ACB 的平分线.
例5 已知△ ABC 中，∠ ABC 的角平分线等于∠ ACB 的平分线，求证： AB = AC .
由此可见，思维的可逆性是彻底弄清题目的一个重要条件.这种从一个方向转向相反方向的思维运动，给许多学生带来一定的困难，从而阻碍了他们解题的顺利进行.因此，这些学生必须经常做一些逆向思维训练题，方可提高解题的能力.
上面谈到的三种因素在解题过程中常常作为一个整体影响着对题目信息的加工.它们是相互联系的，对数学材料的概括能让我们发现题目中熟悉的模式，所以才能够利用已知的结论进行推理，简缩了推理的过程；对推理过程的简缩反过来又有助于概括出更一般的解题原则；而在熟悉的解题原则行不通的情况下，思维的灵活性能够让我们不受其阻碍地去寻找其他解法.
在得到了题目的解答，并将其写下来以后，解题便进入了最后的回顾阶段.几乎所有关于数学解题理论的著作在这个阶段都会建议学生去检验这个结果，改进解题的过程，用不同的方法推导这个结果，或者在其他题目中利用这个结果和方法.很少有著作讨论如何在记忆中保持这个结果或方法，或者说这个结果在记忆中是以怎样的形式保持才能方便以后提取.
波利亚在他的名著《怎样解题》中提到：“你能一眼就看出它（指论证过程——本文作者注）来吗？”和“当我们回顾一个题目的解答时，我们自然有机会来考察这个题目与其他事物之间的相互联系.”这两个说法和我们这里要讨论的对解法的记忆有一定的联系，因为当一个解法在记忆中以良好的形式保存时，我们往往能够一眼就看出这个解法的整个过程.但波利亚也没有讨论对解法的记忆.
首先，数学记忆的本质在于对典型的推理和运算模式的概括的记忆力.至于具体数据和数值参数的记忆，对数学能力来说是“中性”的，就像苏联科学院士柯尔莫戈罗夫所指出的，数学上的成就很少依赖于对大量事实、数字、公式等的机械记忆.
所以我们在回顾一道题的解法时，大脑保持的并非全部数学信息，而主要是保持那些由具体数据“精炼成的”信息和表示概括而简缩的结构的信息，如题目类型的标志、解题的概括的方法、推理的概要以及证明的基本线索等，这是保持数学信息最方便和最经济的方法.以概括和简缩的形式保持信息，而不让多余的信息去充塞大脑，这样可以使这些信息保持得更久，用起来也方便些.例如，在回顾例1的解答过程时，我们对从例2中总结出来解这类型题目的一般原则的认识就变得更加清晰了，而例1证明的基本线索是：先对和式进行裂项相加化简，然后比较 a n 和 a n+1 的大小.所以我们只要记住解这一类型题目的一般原则和这道题证明的基本线索，这道题的解答过程就一目了然了.如果我们把证明过程的每个式子都记住，那么我们的记忆将因多余的信息而负载过重.
当我们记住了解某一类型题目的一般原则时，如果以后再遇到这一类型的题目，即使不是我们曾经做过的题目，也会有一种熟悉的感觉，就像曾经解过这道题.例如，解过例2后再看以下问题：
例6
（罗马尼亚大学准入考试试题）证明不等式：
即使它不同于例2，但我们也有“似曾相识”的感觉，这是因为我们保持了例2这道题的类型和解题的概括模式.
上述讨论的是《中小学生数学能力心理学》中蕴含的基本解题思想.当然，顺利地解决一道数学题目还受到其他许多个人因素的影响，例如，对数学的主动和积极态度，对数学的兴趣和研究数学的爱好，勤奋以及坚持不懈等.本文只讨论了与题目信息的处理有关的思想方法.
[1]克鲁捷茨基.中小学数学能力心理学.李伯黍，洪宝林，等译.上海：上海教育出版社，1983.
[2]G波利亚.怎样解题：数学教学法的新面貌.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
[3]W A威克尔格伦.怎样解题.汪贵枫，袁崇义，译.北京：原子能出版社，1981.
Abstract In the book of "Psychology of Mathematical Competence in High Schools and Primary Schools" Soviet psychologistР.А.Крутецкийlooked deeply into the mathematical genius students'mathematical competence which showed in the problem-solving process.For example the competence of problem initial direction the competence of generalization the competence of concentrated reasoning the competence of memorizing mathematical material etc.All these are precious resource to the study of problem-solving.
Key words the thought of problem-solving mathematical competence mathematical genius student
作者：朱华伟，郑焕.原载：《数学教育学报》2010年第19卷第2期.