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用教育数学思想改革初中数学课程的研究与实践成果报告

1 问题的提出

1.1 主要问题

如何改革优化数学教育，提高学生学习数学的热情和实际效果，是国际上六十多年来未能找到解答的大难题.例如，美国从20世纪50年代开始，高度重视这方面的研究和实践，提出并实践了“新数学运动”“回到基础”“问题解决”“建构主义”等一系列理论和方案，至今莫衷一是，未见效果.

数学教育的症结是什么？这方面的主要共识是数学确实难了.

如何把数学变容易？能否把数学变容易？这需要提出有理有据的系统性架构，还要把架构具体落实为可操作的教学方案.

初中是数学成绩显著分化的阶段.本成果希望能够针对初中数学教与学的全过程，对上述问题提出理论上的回答，并将理论思想体现为方法，形成可操作的教学方案.

1.2 问题的背景

19世纪中叶以前，《几何原本》一直是中学里的主要教材.1900年，英国培利（Perry）曾发动了一场数学教育改革运动，认为《几何原本》内容过多过繁，不能直接作为学校的教材.此后，中学里的几何课本会根据《几何原本》的思想进行重新编写，主要目标是使平面几何的教学更加直观化、动态化.这种改造一要有利于学生的学习，二要在数学上有严密的逻辑.

一直到20世纪末，几何教学问题仍然引起了广泛的世界性争议，并且出现了许多方案和各种改革措施.在我国，平面几何的教学就使用过很多种不同的公理体系.比如20世纪30至50年代，我国普遍使用过的3S几何，基本延续了欧氏几何的原始体系；20世纪50年代直到21世纪初，我国中学课本使用的扩大化公理体系，兼顾了学生的接受能力和公理的完备性两个方面.这一个多世纪以来，在几何教育教学方面，其学科的公理体系、知识点结构、教学侧重点等诸多方面，都在不断地发生变化和调整.

史宁中（2007）在《数学通报》撰写的《&lt；平面几何&gt；改造计划》一文中提出“保留优点、克服缺点；保留逻辑”等相应的观点，并强调了调整和完善知识点结构的必要性，“无论怎样，平面几何知识的改造是必要的.有这么多新的知识不讲，用了这么多时间讲两千年前的知识是不行的”.充分表明了目前平面几何的知识和教材需要调整与改革.

这项改造计划的初衷与本成果持有成员张景中的想法不谋而合.张景中在1989年指出，数学本身难学，只靠教学方法的研究不可能完全解决数学难学的问题.如果数学知识本身有缺陷，就应当进行数学上的再创造，使数学适应教育的需要.为数学教育而对数学成果进行再创造，是教育数学的任务.它追求的目标是：简单明快的逻辑结构，平易直观的概念，有力而通用的解题方法.

经过多年的探索，张景中于2006年在《数学通报》和《数学教学》上发表文章，主张“重建三角”，用三角串联几何与代数，达到“全局皆活”的效果.

张奠宙（2006）撰文对张景中的建议给予热情支持，指出“回顾中国的现代数学教育，先学日本，再学英美，续学苏联.博采众长之后，也应该有一点中国人自己的创造了.初等数学虽然浅显，但是经过千锤百炼，已经非常成熟，很难再有一个重大的突破.张景中先生关于三角学的处理建议，就是一个难得的创意，值得我们高度重视.我们期望，经过有计划地论证和实验之后，使得一些顺应时代潮流的新观念，特别是具有中国特色的研究成果，能在神州大地生根开花，并进一步走向世界”.

2 解决问题的过程与方法

遵循教育数学研究的一般技术路线：先进行数学上的研究；把研究成果转化成课程；进行教育教学实践；发展研究团队，进行大范围推广.

本成果是以教育数学思想为指导，以《一线串通的初等数学》为依据，将人教版初中数学教材（下称“教科书”）进行重新整合的初中数学教学实验方案.朱华伟指导的10位研究生在他们的学位论文中对本方案做了详细的论证调研，这些研究为本方案的教学实践准备了主要理论基础.

本方案与传统课程体系的不同之处在于：传统上是学完几何到初三学三角，而且仅仅讲锐角三角函数，一次引入四个三角函数.本方案则在初一讲三角，但开始只讲一个三角函数，把三角、几何、代数串连起来，逐步深入.

本方案从小学生所掌握的知识出发，用比较通俗易懂的面积法来重新定义“正弦”，新定义的正弦及“三共定理”串通初中数学中的一大批知识点.对照《义务教育数学课程标准（2011版）》，大多数知识点是一致的，不同之处表现在知识点的结构发生了很大的变化.

在本方案中，知识点间的联系发生了改变，变得更为密切和互为所用.这种知识点结构的变化，犹如在城市交通系统中将道路重新进行规划和设计，这样能够直接导致城市交通状况的不同.我们可以把“三角”、“几何”及“代数”等内容比作城市交通系统中的地铁、公交及轮渡等不同的交通方式.在原有的教材体系中，这三者几乎没有或较少发生联系，这样的知识点状况在交通系统中表现为地铁、公交和轮渡没有很好的对接，势必影响交通的效率.而在新的教学方案中，将这三者尽可能地进行串通和对接，犹如将这三个公交系统进行无缝对接，将会大大提升交通效率.

理论必须接受实践的检验.本项目成果的另一重要组成部分是教学组织安排和教学操作层面上的具体方案.

海珠外国语实验中学（下称“海实”）在两个实验班进行了周期为三年的教学实验，这样能够在教学环节中检验出本方案的真实效果.另有广州市的14所中学所进行的实验，主要是选取方案中的部分章节或板块进行，一方面检验新的定义方式能否让学生轻松地理解和掌握，另一方面，考虑到常规教学进程的需要，将其中的部分知识板块作为常规知识内容的补充和衍生.

在检验本方案的教学效果时，通过设立实验班和对照班的方式，对学生进行相应的测试，再对测试的结果进行分析和比较，从而得出相关的数据和信息.

3 成果的主要内容

本成果的主要内容是教科书的知识体系按照“重建三角”方案进行重新整合，具体章节安排与措施如下：

（1）七年级上册.

人教版教科书七年级上册共安排了四章内容，分别是有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形初步（见表1）.这个阶段还没有进行内容整合，而是根据相关资料，为学生们补充了九九乘法表、两个点如何相加、月历上的数字，其中九九乘法表可以延伸学习第十四章整式的乘法与因式分解、发现平方差公式，从而可以引申发现其几何形态，并观察多项式乘以多项式、单项式乘以单项式.七年级上册课程整合情况见图1.

（2）七年级下册（“重建三角”方案课程整合的关键学期）.

人教版教科书七年级下册，第五章相交线与平行线，八年级上册第十一章三角形，根据“重建三角”方案，将这两章的教学顺序互换，先进行三角形的教学，运用学生小学学过的两个命题进行知识的串联和拓展.根据教科书的知识安排，把“重建三角”方案中的正弦和正弦定理整合进来，不仅完成了正常的第五章相交线与平行线的教学，同时也完成了其他学段共六章相关内容的学习，即第十二章全等三角形、第十三章轴对称中的等腰三角形、第二十三章旋转、第二十七章相似三角形、第二十八章锐角三角函数.七年级下册课时安排见表2，课程整合情况见图2.

正弦的提前引入改变了整个初中数学教学内容的格局，学生学习的不再是各部分相对独立的知识，而是用正弦巧妙地串联起来.于是，直角三角形中的实际测量问题也得以解决，对于任意三角形的问题，又可以根据三角形面积公式推导出正弦定理.

正弦定理的引入也为解任意三角形提供了有力的工具，而且可以证明“三角形两边之和大于第三边”以及类似的几何问题.七年级下册正弦和正弦定理的课程设置见图3.

（3）八年级上册.

人教版教科书八年级上册共有五个章节的教学内容，分别是第十一章三角形（已学）、第十二章全等三角形（已学）、第十三章轴对称（已学等腰三角形）、第十四章整式的乘法与因式分解（已学多项式乘以多项式、单项式乘以单项式）、第十五章分式.在这五章的教学内容中，已经有两章的内容在七年级下学期内完成.因此，在复习旧知识的同时，引入正弦和角公式.在学习正弦和角公式的过程中，串通起来学习八年级下册第十七章勾股定理和九年级上册第二十一章一元二次方程.八年级上册课时安排见表3，课程整合情况见图4.

整合后的第十一章（见图5）内容主要是通过正弦和角公式的学习，让学生将正弦的知识更为连贯地运用，在探索的过程中引导学生用已经掌握的方法来解决新问题.在本学期中能够较好地做到“拓展新知、推陈出新”.补充八年级下册第十七章勾股定理，首先，根据教材的内容引入毕达哥拉斯发现勾股定理的过程，再和学生们一起推导“弦图证明勾股定理”的方法，其次介绍“总统证法”，最后引导学生用已学的正弦定理推出勾股定理.在学习和推导过程中，学生掌握了不同的推导方法，亲身感受了一题多解的魅力，在实现拓展新知的同时体会推陈出新的转变，极大地提升了学生的自信.

（4）八年级下册.

人教版教科书八年级下册五章的教学内容，分别是第十六章二次根式（已学），第十七章勾股定理（已学），第十八章平行四边形，第十九章一次函数，第二十章数据的分析.经过整合，将“重建三角”方案中的“四边形”放在第十六章.教科书中证明平行四边形的性质时，多数采用的是已学的等边三角形、勾股定理及全等三角形的知识进行探索，而“重建三角”方案中除了以上方法以外，还增加了相似三角形的判定方法、正弦定理的判定方法、共角定理的判定方法.对这样简单的结论，给出了五种判定方法，其中运用平行线面积性质的方法，所需要的预备知识较少，推导简洁明了.学生在探索中体会不同方法的优势，对解题能力培养有很好的促进作用.八年级下册课时安排见表4，课程整合情况见图6.四边形的课程设置见图7.

（5）九年级上册.

人教版教科书九年级上册共有五章（见表5），分别是第二十一章一元二次方程（已学）、第二十二章二次函数、第二十三章旋转（已学）、第二十四章圆、第二十五章概率初步.其中，第二十一章和第二十三章已经在前面的学期中学习过，这两章就与“重建三角”方案中的余弦和余弦定理、圆和正多边形的相关内容整合（见图8、图9、图10）.“重建三角”方案中圆和正多边形的某些内容（例如正切余切和差角公式），由于《义务教育数学课程标准（2011版）》没有涉及，因此未整合进来，对于圆幂定理和圆的其他性质调整为活动课选学内容，这对于学有余力的学生拓展知识有一定的益处.

教科书中“圆”所涉及的内容有：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆心角、圆周角、垂径定理、切线长定理、正多边形与圆的位置关系、中心角和边心距的计算、弧长和扇形面积的计算；“重建三角”中除了包括教材中的所有内容，还添加了弦心距公式、弦切角定理、公切线长度公式、公切线的性质.根据上述知识，学生可以更为轻松地推出正多边形的边长公式、正多边形的周长公式、正多边形的边心距公式、正多边形的面积公式；“重建三角”中还用平角度量角的大小，不仅简化了教科书中的弧长公式和扇形面积公式，更为高中的弧度制学习打下了基础.

圆的知识是中考压轴题的热点，学生掌握的工具多，推导探索的机会也会多，那么分析问题和解决问题的能力也可逐步提升.

（6）九年级下册.

根据两种教材的整合，九年级下学期的内容基本提前学完，所以教师和学生都有充足的备考时间.九年级下册课时安排见表6.

以上即在实际教学实践过程中根据“重建三角”来调整的方案，并且该方案已经完成了初中阶段为期三年的全周期的教学实践.

4 效果与反思

有人认为，这样的教学调整增加了很多教学内容，费时较多，有时可能会无法完成教学进度.但根据实践过程和实际的观察得出结论，这样的调整只要处理得当，将新内容与原内容有机地结合起来，合理搭配，适当整合，并且教学体系变化贯彻了“重建三角”方案中“知识的一线串通”思想，教学进度是不会受到影响的.海实在两个实验班上对本方案已经进行了三年的全周期实验教学，下面简要概括这两个实验班实施本方案的教学效果.

在教学过程中，所有的课时与原教学计划中的课时保持一致，学生提前接触了正弦、正弦定理等知识，屡次调研和考试都表明学生能够较好地掌握和运用.我们选取了在该校内小升初入学考试时数学成绩相当的两个班，将其作为对照一班和对照二班.在实施了新方案进行教学后，根据每个期末区统一测试成绩，将实验班与对照班相比（见表7），差异比较明显.

在实验班教学进行了一年之后，实验一班和二班在七年级下学期结束的时候（2013年7月）就取得了较好的成绩，在海珠区统一测试中，分别以平均分142.94分和138.63分遥遥领先于区平均91.02分的成绩，名列区第一名和第八名.在八年级上学期末（2014年1月）的区统一测试中，又以平均分137.85分和133.60分领先于区平均分87.76分，名列第一名和第五名.在2014年7月的八年级下学期的区统一测试中，两个实验班更是以144.96分和140.62分领先于区平均分96.83分，名列区第一名和第三名.在成绩优秀率（135分以上人数比例）方面，两个实验班也一直遥遥领先.近几年来，此类成绩的取得让海实在广州市内闻名遐迩，并能与广州市内有名的重点中学相比肩.表8是实验班的另一组对比数据.

实验班的学生使用了本方案，探索和解题的能力大大提升，尤其是解决综合题的能力大大增强.在历次测试考中，完成试卷最后一题（大综合题）的学生绝大部分都在这两个实验班，以八年级下学期为例，全区一共有15名同学成功解答大综合题，其中有12名同学就来自这两个实验班.美国教育心理学家布鲁纳的“任何知识都能以任何方式教给任何年龄的人”论断似乎有些绝对和夸张，但是努力通过适度提前学习及整合知识的学习策略和方案，并遵循量力性原则，有些事情是能够做到的.

海实完成三年的全周期实验教学后，马上启动下一轮的教学实践.表9是海实新一轮教学实验的数据.表中的实验班从七年级开始一直使用本方案，每次期末考试的成绩在区里都遥遥领先.另外，一个派位班和一个特色班使用本方案各做了一个学期的教学实验（即表9中标注的“中途学习”），对比学习本方案前（即表9中标注的“未学习”）的成绩，都有了明显的提高.

这组实验数据表明，数学能力较差的学生的成绩有所提高；数学素养好的学生的成绩也有较为明显的提高.

另外，根据广州市其他14所实验学校在四年的教学过程中的反映，也说明学生都能够较好地掌握正弦的新定义，并且新补充的知识能够提升学生的成绩、锻炼学生的思维，学生分析和解决问题的能力得到了提升.例如，广州二中实验小组的学生在各项学习测验和比赛中表现突出；实验组的学生在全国初中数学联赛等比赛中表现突出，多人获得一、二、三等奖；实验组同学的中考数学平均分为138.6分，比对照组的中考平均分高22.3分.

以上取得的成绩和效果，值得我们进一步的思考，课程知识结构的变化，对教师的教授产生了不同的影响，同时也使学生的学习发生了改变.本方案的建立和实践，不仅赋予更多数学知识前后联系的关系，融合了在教学过程中本来割裂的知识，更重要的是，它改变了教与学的理念和方式，这些方面的改变都出现在我们教学的实践环节中.

本方案的实验学校取得的成绩极大地增强了我们的信心，实践所取得的成果是客观的、有说服力的.成果的直接受益者是学生，他们经过三年系统的学习新方案，对初中数学知识有了更深的理解和认识，所取得的成绩将对其以后的发展有着重要的影响.在成果的背后，有着很多的教学研究者和教师，他们为之付出了辛勤的劳动.同时，成果还有很多地方值得进一步研究和探讨，还需要进一步的发展和推广.

目前，本方案在国内外已有一定的影响力，例如，此方案提出后，美国奥特本大学童增祥（2013）举办教育数学研究生班进行教学实践，并发表论文阐述教育数学的观点，认为美国的数学教育也需要引入中国人提出的教育数学.宋乃庆（2018）说，“初中数学实验和实施是可行的，可操作的，而且效果是好的.建议下一步工作中，要将实验进一步扩大，三共（共高定理，共角定理，共边定理）四弦（正弦定理，余弦定理，正弦和角公式，余弦和角公式）能够写入课标，允许学生学习”.此外，贵州、四川、上海、沈阳等省市的部分中学也开展了基于“重建三角”的初中数学教学改革实验.

本课题组将进一步沿着前进的方向将成果培育好，形成一种创新的初中数学教材体系结构，以期能够让更多的学生受益，更好地推动初中数学教学改革工作.

作者：朱华伟，张景中，张东方，郑焕，温晖，俞健.
本成果获2018年第二届国家级教学成果奖二等奖. r8uCaerwnD9ncCUEejgyoLt+6+/q5XUjfauZ+XjxyZJOOVjMcmmEVfCtOMTbL/Qy