1-7
吉尔福特的创造力理论与奥林匹克数学学习

摘要 ：在智力结构中，最能体现创造性思维的因素是思维的发散性加工.发散性思维“是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新运算，有时去追求多样性”.“发散思维能力有助于提出新问题，孕育新思想，建立新概念，构筑新方法”，“数学家创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比”.发散性思维在思维方向上具有逆向性、横向性和多向性，在思维内容上具有变通性和开放性.它对推广原问题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用.因此，创造能力更多地寓于发散性思维之中.

关键词 ：智力结构说；创造性；创造力；发散性思维

美国心理学家吉尔福特是科学创造心理学的创始者，他的智力结构说、创造性思维等理论使美国及其他各国兴起了创造力研究和开发的高潮.吉尔福特关于创造力的普遍性的认识，特别是关于发散性思维的理论，为创造性的研究奠定了重要的心理学基础.他的理论为发展学生的创造能力尤其是创造性思维能力提供了科学依据. ^[1]

1 创造力的基本特征

1.1 创造力的普遍性

在吉尔福特以前，人们通常认为，一种创造性行为必然会导致一种有形的产品，如艺术作品、技术发明、科学理论等，而且这种产品对所有的人来说是新颖的，并且对社会是有用的.对此，吉尔福特认为：“心理学家所要求的新颖性，是指这个观念在拥有该观念的那个人的心理生活中是新的，或那个人以前在同样的情况下不曾想到过这个观念.” ^[2] 至于对社会的有用性这一要求，吉尔福特也认为，从科学心理学的角度看，这种要求也是过分的.

吉尔福特关于创造力的普遍性论述具有深远的意义，它使人们从广泛的领域和研究对象上对创造力进行研究，这对创造性的研究与推广、普通人创造力的开发特别是推动学校的创造力培养起到了巨大的作用.

1.2 创造力与人格的关系

吉尔福特认为，创造性才能决定个体是否有能力在显著水平上显示出创造性行为.具有种种必备能力的个体，实际上是否能产生具有创造性质的结果，还取决于他的动机和气质特征.有时具有创造力的人表现并不出色，其原因就在于他们不具有良好的人格特征.

对于教育来说，有关创造性人格的两个问题尤为重要：一是什么样的人格特征是有益于创造的；二是有益于创造的人格特征是否可以培养.在这个问题上，吉尔福特的研究极有价值.吉尔福特用因素分析的方法考察了有助于创造性表现的各种人格因素，并且这些人格因素可以通过环境和教育条件的种种变化而得到改善.吉尔福特提出了许多重要的人格特征，例如，“场独立性”的认知风格，即一种寻找转化的倾向，它对转化有促进作用；兴趣的倾向性，即对多样性有高需求的兴趣特征，也就是渴望新的体验、不愿重复等倾向.这些倾向有助于思维的首创性.除此之外，能力倾向的“冲动性”和自信心等品质都与发散性加工正相关；对问题持开放态度的气质特征也是有助于创造性的发展.

吉尔福特的这些研究引起了教育者在发展学生创造力的过程中对人格因素的关注，从而为学生创造性发展提供了更为广阔的途径.另外，这一理论也为创造力的评价打下了基础，使人们将创造性人格作为创造性的一个重要组成部分，这样学生创造性测量的内容就更为广阔.

2 智力结构与创造性思维的实质

吉尔福特在南加州大学进行了5年之久的“能力倾向研究方案”，研究了40多种理智能力以及它们之间的逻辑关系，运用因素分析法提出了著名的“智力结构说”. ^[2] 他认为：智力是用各种对不同种类的信息进行加工的能力和功能的系统组合.智力不仅仅是学习的能力，它应该包括对创造性表现特别重要的种种能力，它是由多种能力组成的；而每一种能力都有三个维度的属性，即运演、内容和产品.

所谓运演，就是人们操作信息内容的方式，这种方式共有五种，即认知、记忆、发散性加工、幅合性加工及评价.内容指加工的信息内容，共有视觉、听觉、符号、语义和行为五种.产品就是操作信息的结果或信息的形式，包括单位、门类、关系、系统、转化和含义六种.因此，人的基本能力共有150（5×5×6）种.

在此基础上，吉尔福特将创造力界定为“多种能力的组织方式”.他还进一步指出，尽管创造性活动在不同领域的表现方式不尽相同，但创造力一般都具有思维的灵活性、对问题的敏感性、观念的流畅性与首创性.他认为，对创造性思维来说，智力结构中最为重要的功能是运演这一类别中的发散性加工，和产品这一门类中的转化.其他类别中的各种功能也许是起作用的，但在没有明确特征的情况下不能说是出现了创造性思维.运演和产品这两个类别是思维的多产性和新颖性的源泉.创造性思维与信息内容的种类无关，在所有信息内容中都会出现创造性思维. ^[2]

从吉尔福特的智力结构说中可以看出，创造性思维的实质体现在思维具有发散性和转化的特征.发散性主要体现为从不同的角度来认识问题，强调观念的数量.而转化主要体现为从一个新颖的角度来认识问题，强调观念的质量.发散性和转化是两种密切相关的思维方式，但是，发散性与转化在创造性思维中所起的作用是不一样的.流畅性问题通常涉及发散性加工，而灵活性问题一般既涉及转化，同时也属于发散性加工.而观念的首创性基本能力的测验分数，与语义转化、发散性加工的转化有关.因此，在智力结构中，最能体现创造性思维的因素是思维的发散性加工.

但是，发散性加工能力并不能代表智力因素中的所有创造性方面.发散性加工的能力与思维的流畅性有关，即它的目的是满足某一特定需要而产生许多可供选择的信息项目，因而只注重观念的数量而忽视了观念的质量.

转化实际上是对于问题的意义的重新认识，它可以使思维摆脱定式影响，从多种新的角度考虑问题，这样就能减少观念的重复性，保证所需观念的质量.因而，转化和发散性加工的结合，即发散性加工的转化，是创造性思维的实质.

3 发散性思维

发散性思维“是沿着各种不同的方向去思考的，即有时去探索新运算，有时去追求多样性” ^[3] .“发散思维能力有助于提出新问题，孕育新思想，建立新概念，构筑新方法”，“数学家创造能力的大小应和他的发散思维能力成正比” ^[4] .发散性思维在思维方向上具有逆向性、横向性和多向性，在思维内容上具有变通性和开放性.它对推广原问题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用.因此，创造能力更多地寓于发散性思维之中.

发散思维主要有逆向思维、横向思维和多向思维三种表现形式.

3.1 逆向思维

逆向思维是从已有的习惯思维的反方向去思考和分析问题.逆向思维反映了思维过程的间断性、突变性和反联结性，它是摆脱思维定式、突破旧有思想框架、产生新思维、发现新知识的重要思维方式.数学史上非欧几何的诞生就是运用逆向思维做出数学发现的范例.自欧几里得几何产生以来，许多人都在探索欧几里得第五公设的证明，却都因为不严格而失败.到了19世纪，匈牙利数学家波尔约、德国数学家高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基从不同角度逆向思维，指出欧几里得第五公设不可能在其他几何公设和公理基础上作为定理被推导出来，换言之，这是一条独立的公理，因而完全可以用相反的命题来代替.波尔约等人利用逆向思维，提出了非欧几何平行公理，从而开拓出一个全新的研究领域——非欧几何.

奥林匹克数学解题中常用的分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、常量与变量的换位法、补集法等都是逆向思维的方法.

另外，逆向思维在奥林匹克数学命题中也可大显身手.例如：

由裴波那契恒等式

反向提出问题有：

【 题1 】（第43届IMO试题）求出所有函数 f : R → R ，使对所有 x ， y ， z ， t ∈ R ，有

一般而言，函数方程都可以看成给定函数，再讨论其性质这一问题的反问题.这类问题往往比较复杂.

3.2 横向思维

横向思维是从知识之间的横向相似联系出发，从横向的联系中得到暗示或启发，即从数学的不同分支——代数、几何、三角或分析等角度去考察对象，或者从不同学科知识，如物理学、生物学等有关原理或规律出发去模拟、仿造或分析问题的思维方式.

【 题2 】（第18届全苏数学奥林匹克试题）设正数 x ， y ， z 满足方程

试求 xy +2 yz +3 zx 的值.

分析 本题若按常规解三元二次方程组，求出 x ， y ， z 的值，再求代数式的值，势必陷入烦琐的计算之中，我们将原方程变形为

上述三式与余弦定理及勾股定理结构相似，因此利用横向思维考虑把三个等式赋予几何意义，构造出图1.分别算出△ ABO ，△ BCO ，△ CAO 和△ ABC 的面积，即可求得

3.3 多向思维

多向思维是从尽可能多的方面来考察同一问题，使思维不局限于一种模式或一个方面，从而获得多种解答或多种结果的思维方式.在奥林匹克数学学习中，一题多解是培养选手发散性思维、发展数学创造性思维的一条有效途径.

【 题3 】（第25届IMO试题）设 x ， y ， z 为非负数，且 x + y + z =1，求证：

这道题是德国命题专家恩格尔（Arthur Engel）教授提供的，这个问题源于数学研究.这里我们给出式②四种不同的证法.

【 证一 】（综合法）根据柯西不等式，得

即 yz + zx + xy ≥9 xyz ≥2 xyz ，即式②左端成立.

由对称性，不妨设 x ≥ y ≥ z .于是 .即1-2 z >0.根据平均值不等式有 ，从而得

于是

即式②右端成立.

【 证二 】（构造法）由 x + y + z ， yz + zx + xy ， xyz 使我们联想到三次方程韦达定理（或 x ， y ， z 的初等对称函数），据此构造等式

显然1-2 x ，1-2 y ，1-2 z 至少有一个为非负，不妨设1-2 x ，1-2 y ，1-2 z 均为正（否则，也不难证明下式成立），由平均不等式得

所以

另一方面， x ， y ， z 均≤1，所以

【 证三 】（增量法）由对称性，不妨设 x ≥ y ≥ z ，则 故可设 z = ，其中 .于是

这显然是一个非负数.故 yz + zx + xy -2 xyz ≥0.又 ，所以

【 证四 】（放缩法）由对称性，不妨设 x ≥ y ≥ z ，则 有

不等式②还有四种证法，见文[5]，这八种证法几乎涉及了证明不等式的所有方法、技巧，使学生思路开阔，这已经产生了思维的发散性.而以下研究使发散性思维的思考到了一个更高的层次.由证一可以看出

换句话说，我们可以估计 yz + zx + xy -9 xyz 的上、下界.

由此启发，我们把式②中 xyz 项的系数一般化为任意实数 λ ，得到：

（1）设 x ， y ， z 为非负数，且 x + y + z =1， λ 为实数，对于函数 f = yz + zx + xy + λxyz 有

其中式③中等号成立的条件：当且仅当 λ ≥-9，且 x ， y ， z 中任两个为零；或 λ ≤-9， x = y = z = .式④中等号成立的条件：当且仅当 ，且 x ， y ， z 中一个为零，另两个均为12；或

把 x + y + z =1这一条件拓广为 x + y + z = s >0，用 ， λs 分别代替式②中的 x ， y ， z ， λ ，则得到：

（2）设 x ， y ， z 为非负数，且 x + y + z = s >0， λ 为实数，对于函数 f = yz + zx + xy + λxyz 有

其中式⑤中等号成立的条件：当且仅当 ， x ， y ， z 中任两个为0；或 ，且 x = y = z = .式⑥中等号成立的条件：当且仅当 ， x ， y ， z 中一个为零，另两个均为 ；或 .

还可将三个变数 x ， y ， z 推广到 n 个变数的情况，限于篇幅，不再论述.

最后，让我们来看式②与几个常见不等式的联系.从中也可以看出式②的另一种来源.

若 a ， b ， c 为三角形三边长，则

这是第6届IMO的第2题，事实上，式⑦对任意非负数 a ， b ， c 都成立.式⑦可改写为

由式⑧不难推出当 x ， y ， z 为非负数时，有

式⑨可改写为

取 x + y + z =1，即得式②.

由平均值不等式得

故

因此

实践证明，按如图2所示模式延拓发散思考，多方提出问题，对培养发散性思维、提高创造性思维能力是有效的.

参考文献：

[1]李小平.创造技法的理论与应用.武汉：湖北教育出版社，2002:70 -75.

[2]吉尔福特.创造力与创造性思维新论.华东师范大学学报（教育科学版），1990 （4）:9-18.

[3]吉尔福特.1959年4月13日在斯坦福大学的演讲.心理科学文摘，1980 （3）.

[4]徐利治.数学方法论选讲.武汉：华中工学院出版社，1988:182.

[5]朱华伟，钱展望.奥林匹克数学方法与研究.武汉：湖北教育出版社，2001:229 -234.

作者：朱华伟，李小平.原载：《湖北师范学院学报（自然科学版）》
2005年第25卷第1期. r8uCaerwnD9ncCUEejgyoLt+6+/q5XUjfauZ+XjxyZJOOVjMcmmEVfCtOMTbL/Qy