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分数阶微分或积分，不是指一个分数或一个分式函数的微分或积分运算，而是指微分的阶次或积分的阶次不一定必须是整数，可以是任意实数，甚至可以是复数。分数阶微积分的历史几乎和整数阶微积分的历史一样久。1695 年，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）和法国数学家洛必达（L'Hôpital）就曾以书信的方式探讨过把整数阶导数
扩展到非整数的情况。比如，令
f
(
x
) =
x
，
n
= 1/2，则
等于多少。对于这个问题，莱布尼茨也是一头雾水，没有给出一个合理的答案。1819年，拉克鲁瓦（Lacroix）首次给出了这一问题的正确解答：
。由于分数阶微积分理论与通常的整数阶微积分理论相左，又没有实际应用背景，在此后的一百多年里一直发展缓慢，直到1973年曼德尔布罗特（Mandelbort）首次指出自然界及许多科学技术领域中存在大量分数维的事实，而且整体与局部存在自相似现象以后，作为分形几何和分数维的动力学基础，分数阶微积分才获得了新的发展而成为当前国际上的一个热点研究课题，并在许多领域得到了应用。1974年，第一届分数阶微积分及其应用国际学术会议在美国纽黑文大学召开，并以数学讲义丛书（Lecture Notes in Mathematics）的形式发表了第一部关于分数阶微积分理论和应用的会议文集。同年，奥尔德姆（Oldham）和斯帕尼尔（Spanier）出版了第一部分数阶微积分专著。此后，该领域的研究蓬勃兴起，许多关于分数阶微积分的图书相继出版。在美国数学分类号2010版（Mathematics Subject Classification 2010，MSC2010）中也增加了分数阶微积分的条目。另外，至少有两种关于分数阶微积分的杂志
Journal of Fractional Calculus
和
Fractional Calculus and Applied Analysis
公开发行。
在经典的微积分中，定义求导运算
和求积分运算
如下：
（1.1）
它们满足关系式
（1.2）
这说明求导运算
是求积分运算
的左逆运算，且这两种运算一般来说不具有交换性。进一步，对任何自然数
有
即求导运算
是求积分运算
的左逆运算。对连续函数
，反复应用分部积分法可得
（1.3）
其中
是Gamma函数，且
。因此，对非整数的正数
，我们可以定义分数阶积分
（1.4）
进一步，对实数
，记
为不超过
的最大整数。取
，利用导数和积分的运算公式
，非整数
阶黎曼-刘维尔（Riemann-Liouville）导数定义为
（1.5）
如果利用
，非整数
阶卡普托（Caputo）导数定义为
（1.6）
这里应该说明的是，数学家们从不同的角度出发，给出了分数阶导数的多种定义，这与整数阶导数定义只有一种是截然不同的，其中应用比较广泛的两种就是黎曼-刘维尔导数和卡普托导数。
下面说一下这两类导数的区别。对于非整数
阶黎曼-刘维尔导数而言，要先求
次积分（相当于
阶导数），再求
阶导数，可大致理解为先积分再微分，少积分多微分。而对非整数
阶Caputo导数而言，是先求
阶导数，再求
次积分（相当于
阶导数），可理解为先微分再积分，多微分少积分。引入黎曼-刘维尔导数定义，可以简化分数阶导数的计算；引入卡普托导数定义，让其拉普拉斯变换式更简洁，有利于分数阶微分方程的讨论。
接下来介绍这两类导数与整数阶导数的联系和区别。当
时，这两类分数阶导数与通常的整数阶导数一致。同样，这两类分数阶导数和整数阶导数一样也有线性性质。另外，对函数
先求
次积分再求
阶导数，它的值仍然是
。但是它们之间有很大的区别。整数阶导数反映的是函数在某个取值点的局部性质，而分数阶导数从定义上看实际上是一种积分，它与函数过去的状态有关，反映的是函数的非局部性质。分数阶导数这种性质使得它非常适合构造具有记忆、遗传等效应的数学模型。我们也可以从卷积的角度来说明分数阶导数与整数阶导数的区别。为简单起见，不妨设
。令核函数
（1.7）
则（1.5）式可等价地改为
，“
”为拉普拉斯卷积。显然，对于任意非平凡核，
具有记忆性，是非马尔科夫的，只有当
时，马尔科夫过程才恢复，分数阶导数退化成整数阶导数，这里
（1.8）
从运算方面看，分数阶导数公式都很复杂，对乘积、商与复合运算没有整数阶导数那样简单的求导公式，计算复杂度大大增加。下面举一个简单的例子说明两者之间的差别。我们知道，常数的正整数阶导数为零，但分数阶导数不一定为零。比如，设
，对
，有
（1.9）
不过，
。
在过去的20年里，分数阶微积分的应用范围逐渐扩大，应用领域涵盖流体力学、流变学、黏弹性力学、分数控制系统与分数控制器、电分析化学、生物系统的电传导、神经的分数模型以及分数回归模型等。但是分数阶微积分在图像处理中的应用还处在初期，如何建立分数阶微积分和图像处理领域的联系，是研究分数阶微积分的重要课题。