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图像的本质是二维信号，对其进行分析和处理具有重要的作用和意义。傅里叶变换（Fourier transform，FT）是经典信号分析和处理理论体系的基础和核心，其本质是将信号分解到一组正交完备的正弦信号基上，从频率域对信号加以分析和处理。自从1965年Cooely-Tukey提出离散傅里叶变换（discrete Fourier transform，DFT）的快速计算方法快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）之后，FT在几乎所有的工程领域中取得了应用的巨大成功，这种成功的前提是信号必须在傅里叶域带宽有限。然而自然环境中的信号普遍都是非平稳信号，对于分析和处理一些傅里叶变换域非带宽有限的非平稳信号，应用FT有一定的局限性。这种局限性主要体现在：应用传统的傅里叶分析方法很难反映信号频率随时间变化的特性，无法完整描述信号细节特征，因而需要新理论和新技术对现有信号处理手段进行必要的补充和完善。为此，一些学者提出了一系列的非平稳信号分析和处理工具，如短时傅里叶变换、时频分析、加伯变换、小波变换、分数阶傅里叶变换和分数阶微积分等。
1980年Namias从特征值和特征函数的角度提出了分数阶傅里叶变换的概念，并用于微分方程的求解。其后，McBride等从积分形式的角度给出了分数阶傅里叶变换的定义。1993年Mendlovic和Ozaktas从光学角度提出了分数阶傅里叶变换，并给出了分数阶傅里叶变换的光学实现，将其用于光学领域信息处理。自从1994年Almeida指出分数阶傅里叶变换可以理解为时频平面的旋转后，分数阶傅里叶变换得到越来越多信号处理领域学者的关注。一些分数阶傅里叶变换的基本性质，如卷积和乘积的定理、相关运算等相继被提出。
Zhang等人研究了分数阶傅里叶变换与短时傅里叶变换的关系，建立了二者的旋转关系。Ozaktas通过将二次相位函数表示为小波函数，并将角度的正切函数看作尺度参数，建立了分数阶傅里叶变换与小波分析的关系。Ozaktas还建立了时频平面上分数阶傅里叶域的概念。Almeida引入了分数阶傅里叶变换与Wigner分布的关系，得到了信号分数阶傅里叶变换的Wigner分布等于原信号Wigner分布的旋转，建立了分数阶傅里叶变换的时频平面旋转的物理意义。Wigner分布是二次时频表示中非常有用的一种，满足很多数学性质。然而，由于它的二次特性使得它会引起信号间的交叉干扰，针对此问题，王开志等人提出了利用分数阶傅里叶变换检测和消除交叉项，并尽可能减少自项的失真。
在分数阶傅里叶变换用于信号处理方面，分数阶傅里叶变换因对线性调频信号的处理优势而用于分数阶傅里叶域最优滤波和雷达信号处理中。在信号滤波方面，可以将传统的傅里叶域滤波器推广到分数阶傅里叶域中。Almeida提出扫频滤波器就是分数阶傅里叶域滤波器的时域表现形式，在分数阶傅里叶域对信号滤波可以滤除在频域不容易滤除的信号。Ozaktas 等人给出了最小均方误差下分数阶傅里叶域最优滤波算法，具有很好的普适性。在雷达信号处理方面，陶等人提出了一种基于分数阶傅里叶变换的多分量线性调频信号波达方向估计算法，该算法利用线性调频信号在分数阶傅里叶域的能量聚集性，在分数阶傅里叶域上对多分量线性调频信号进行分离和参数估计。合成孔径雷达（synthetic aperture radar，SAR）综合运用合成孔径技术和脉冲压缩技术，采用较短的天线实现距离向和方位向的高分辨率。由于SAR回波信号在距离和方位两个方向均为线性调频信号，因而理论上可以利用分数阶傅里叶变换对线性调频信号的检测和参数估计性能，用于SAR的成像算法。Amein等人利用分数阶傅里叶变换替代Chirp Scaling算法（CSA）中的FFT，形成新的SAR成像算法。由于分数阶傅里叶变换具有旋转角度参数，所以FrCSA需要引入一个最优变换模块，使得角度参数和线性调频信号的调频率匹配时得到最大的输出响应。由于地面运动目标的回波也近似为线性调频信号，Sun等人研究了利用分数阶傅里叶变换实现机载SAR的运动目标成像。
以二维信号形式呈现的图像携带非常丰富的信息，能够非常直观地反映信息采集时刻的场景。然而，由于图像采集设备种类繁多（有雷达、红外、多光谱等）、采集环境复杂多变，噪声因素使得所采集到的图像的精细特征丢失或产生扭曲，从而产生失真，严重时甚至影响判断与决策。同时，数字图像中邻域内像素点的灰度值具有高度的自相似性，并以复杂的边缘和纹理等细节信息表示。信号处理的传统工具已难以处理这种情况，我们需要寻找新的工具和方法。分数阶微积分作为整数阶微积分的推广，它在信号的奇异性检测和提取方面具有特殊的作用。分数阶微分能够增强信号的高频成分且非线性地保留信号的低频成分，分数阶积分能够增强信号的低频成分且非线性地保留信号的高频成分，分数阶微积分实现的阶次灵活且自由度大，因此开始被现代信号分析与处理的研究人员关注并研究。近年来，分数阶微积分理论在图像底层信息处理中的应用已经取得了一些研究成果，这些图像底层信息主要包括图像压缩、图像复原、图像去噪、图像边缘提取、图像分割和图像奇异性检测等。
蒲亦非等人认为，在增强图像过程中选择阶次适当的分数阶微分算子可以在大幅度提升边缘和纹理细节的同时，非线性地保留图像平滑区域的纹理信息，由此数字图像分数阶微分掩模及其数值运算规则被提出，实验仿真结果表明，针对纹理细节信息丰富的图像，与整数阶微分运算相比，分数阶微分在灰度变化不大的平滑区域提取纹理细节信息的效果更好。杨柱中等人基于分数阶微分算子具有弱导数性质的特点，利用分数阶梯度算子对含弱噪声的图像进行边缘检测，该方法能够有效地避免整数阶梯度算子对噪声敏感的问题，因此可以准确地定位噪声图像的边缘。Mathieu等人提出了分数阶微分的边缘检测算子，说明分数阶微分阶次在
时，分数阶微分边缘检测算子能够有选择地检测出边缘，而在分数阶微分阶次在
时，该检测算子能够在边缘提取的过程中克服噪声的影响；在此基础上，李远禄等人提出了基于分数阶差分的滤波器并将其应用于边缘检测，该滤波器可以解决传统算子边缘检测出现边缘漂移的问题，并且可以抑制部分噪声。汪凯宇和刘红毅等人利用分数阶微积分的记忆特性，分别将分数阶样条小波应用到图像纹理的奇异性检查和图像融合中，较使用整数阶微积分取得了更好的仿真效果。Liu等人提出了基于分数阶奇异值分解的人脸识别方法，该方法可以有效处理面部的变化，并且在脸部出现剧烈变化时，比传统的分类方法性能更好，为图像高层处理打下坚实基础。左凯等人将卡尔曼滤波和分数阶微积分理论相结合，提出了二维分数阶卡尔曼滤波器并成功应用于图像处理。汪成亮等人通过研究分数阶微积分的基本定义和相应分数阶微分算子的实现方法，提出了将图像的梯度特征和人类视觉特征等理论引入已有的分数阶微分算子，由此构建了基于分数阶微分阶次自适应变化的图像增强模型。高朝邦等人将四元数理论和分数阶微积分理论有机结合，提出了四元数分数阶方向微分的概念，解释其物理意义和几何意义，并根据分数阶微分的特殊性质将其应用于图像增强，得到很好的效果。Bai等人以ROF去噪模型为基础，将分数阶微积分理论和偏微分方程相结合，提出了基于分数阶偏微分方程的图像去噪模型，该方法可以解决传统低阶次整数阶偏微分方程去噪模型容易产生阶梯效应的问题，以及高阶次整数阶偏微分方程去噪模型去噪效果不佳的问题。此后，张军等人将负指数Sobolev空间的多尺度图像建模与基于分数阶微积分的图像建模有效结合，提出了统一的基于分数阶多尺度变分图像去噪模型，并初步设计了该模型参数的自适应选择方法。
本书中主要探讨分数阶微积分和图像处理领域的联系，通过研究学科的交叉，可以利用不同学科的优势工具来构建新的模型，发掘解决应用问题的新方法。利用分数阶微积分和图像处理中的重要工具傅里叶变换、分数阶傅里叶变换的关系，不仅可以为图像处理提供更多的新方法，而且还可以为分数阶微积分的物理意义的解释提供新的思路。另外本书还提出了分数变阶微分的概念，它突破了传统微积分的思想，使得微积分概念变得更加细腻，并成功应用于图像处理，构建了分数域变阶微分图像去噪和复原模型，在视觉和量化效果上取得了很好的结果。