前言

分数阶微积分的相关理论起源于 17 世纪末莱布尼茨写给洛必达的信中，距今已经超过 300 年。然而，分数阶微积分理论在各领域的应用，在近些年才逐渐兴起——人们逐渐发现分数阶微积分能够刻画自然科学与工程应用领域的一些非经典现象——在图像处理领域，分数阶微积分就扮演着重要的角色，具有独特的作用和广阔的应用前景。

例如，在图像去噪中，分数阶微分算子能够加强信号中的高频成分，同时非线性地保留低频成分，从而可以有效去除噪声并保留图像的边缘特征和纹理细节信息。此外，在图像增强、重构、分割、复原及特征提取等任务中，使用分数阶微积分改变图像的亮度分布和对比度，可以有效增强图像的清晰度。随着计算能力的进步，分数阶微积分在处理非线性问题时甚至可以突破传统整数阶微积分的限制，将阶次推广至无理数，为复杂图像的处理提供更多可能。

随着现代科技的不断进步，各式各样的图像处理新方法不断地被发掘出来。与此同时，数学理论研究的深入、计算机性能的稳步提升，为图像处理领域带来了更多的可能性。本书以分数阶微积分及其在图像处理中的应用为主题，从数学角度出发，对相关的理论和方法进行归纳总结，旨在推动数学与图像处理领域的交叉与融合。通过特定的分数阶微积分定义与图像处理领域的重要工具——傅里叶变换和分数阶傅里叶变换，建立分数阶微积分与图像变换的关系。书中首次提出分数变阶微分的概念，进而设计基于分数变阶微分的图像去噪模型、图像复原模型和图像分割模型，实现分数阶微积分在图像处理领域的交叉应用。本书的主要特色如下。

（1）跨学科整合。本书将数学理论与图像处理技术相结合，为读者提供了一个跨学科的视角。分数阶微积分作为一个强大的数学工具，通常在纯数学领域中被深入研究，而本书展示了如何将这些复杂的数学概念应用于实际的图像处理问题。这有助于读者理解数学理论如何影响实际应用，以及工程与计算机技术背后的数学原理，从而促进两个领域之间的对话和合作。

（2）强调实用性。书中提出的基于分数变阶微分的图像去噪、复原和分割模型，在实际应用中能够有效地解决图像中的噪声问题和恢复图像的细节信息，这对于许多涉及图像质量改善的领域（如医学成像、遥感探测、数字摄影等）都是极其重要的。

（3）注重创新性。本书首次提出了分数变阶微分的概念，这一新概念的提出，无疑为图像处理领域带来了新的思路和方法。同时，基于这一新概念，本书还设计了新的图像去噪模型、图像复原模型和图像分割模型，这些模型的出现，对于推动图像处理领域的发展具有重要意义。

郑州航空工业管理学院分数阶微积分图像处理课题组的研究生王璐瑶、吴澄俊、段康、高俊铭参与了本书的撰写，做了大量有意义的研究工作。同时，本书的出版获得了郑州航空工业管理学院科研团队支持计划专项（No.23ZHTD01005）、河南省科技攻关项目（No.242102210150、No.232102210151）、河南省重点研发专项（No.231111212000）、河南省高等学校青年骨干教师培养计划项目（2020GGJS172）、河南省高校科技创新人才支持计划项目（22HASTIT020）、河南省杰出外籍科学家工作室（No.GZS2022011）等项目的支持，并得到航空航天电子信息技术河南省协同创新中心、航空航天智能工程河南省特需急需特色骨干学科群、河南省通用航空技术重点实验室的资助。

由于作者学识水平有限，书中难免存在疏漏与不妥之处，敬请广大读者批评指正。编辑电子邮箱为jiahongfei@ptpress.com.cn。

编者
2024年10月