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大多数人会将17世纪中叶法国赌场中的故事作为概率论史的开端，但实际上早在16世纪的时候，意大利博学家吉罗拉莫·卡尔达诺就开始研究色子赌博中的概率问题了。比如他想知道，连掷4次色子，出现数字6的可能性有多大？将一对色子连掷24次，出现双6的可能性有多大？
他是这样计算的：首先，掷一次色子出现数字6的概率为1/6，约等于17%。一般我们在研究概率的时候并不直接写出百分比，而是将它表示为一个介于0和1的数值，并称之为 P 。所以这里我们将掷一次色子出现数字6的概率写作 p =0.17（实际上是0.166666…，但我四舍五入了）。
之后他做出了一个自认为合理的推测：连掷4次色子，出现数字6的概率就会变成前者的4倍，即4/6，约等于0.67。其实只要稍加思索，你就会意识到这肯定不对，因为如此一来连掷6次色子出现数字6的概率就变成6/6，换句话说这变成一个必然事件。但显然连掷6次色子是有可能每次都不出现数字6的。
令他感到困惑的是，虽然出现数字6的次数与总次数的比的确是0.67，但有时一次实验中你能看到3次6，有时一次实验中你1次6也看不到。这是因为他没有搞清楚“只出现1次数字6”和“至少出现1次数字6”是两回事。
事实上“连掷4次色子，至少出现1次数字6”的概率并不是0.67，而是0.52。尽管如此，在赔率为1 ∶ 1的情况下，你一直把钱押在“连掷4次色子会出现数字6”上面，仍旧是个正确决策。可是如果你在第二个问题上继续相信吉罗拉莫·卡尔达诺的结论，那你可就要亏大了。他的计算结果表明，既然一对色子一共有36种结果，双6在其中只出现一次（ p =1/36≈0.03），那么将1对色子连掷24次，出现双6的概率就是前者的24倍，即24/36=2/3（就像第一个问题一样，他又得出了 p ≈0.67的结论）。
如果赔率仍旧为1 ∶ 1，那你就不该相信他的结论，而是应该把钱押在“连掷24次双色子不会出现双6”上面，因为“连掷24次双色子至少出现1次双6”的概率约为0.49，一直押这个选项会让你赔个精光。
一个多世纪后的1654年，安托万·贡博也对这个问题产生了兴趣。贡博喜欢将自己称为“梅雷骑士”，他除了热爱哲学，还痴迷赌博。和我们一样，他也意识到了卡尔达诺的结论有问题：一直把钱押在“连掷4次色子至少出现1次数字6”上面能让你赚钱，但一直把钱押在“连掷24次双色子至少出现1次双6”上面会让你赔钱。
多次试验之后，贡博得出了一个比卡尔达诺更靠谱的结论。可是他也困惑起来了：两个事件的概率为什么会不一样呢？4 ∶ 6和24 ∶ 36难道不是一回事吗？于是他邀请自己的朋友、数学家皮埃尔·德·卡尔卡维一起研究这个问题，但两人仍旧毫无头绪。无奈之下，两人又请来共同的朋友——天才数学家布莱兹·帕斯卡。
这个问题的答案其实并不复杂——卡尔达诺完全搞反了：重要的并不是它发生的概率，而是它没有发生的概率。
在连掷4次色子这个问题中，每次不出现数字6的概率都是5/6，即 p ≈0.83。如果连掷2次，那么2次都没有看到数字6的概率是0.83乘以0.83，约等于0.7。每多掷1次色子，你看不到数字6的概率都会下降17%。
如果连掷4次色子，那么数字6完全不出现的概率就是0.83×0.83×0.83×0.83≈0.48（可以简写为0.83 4 ）。反过来，至少看到1次数字6的概率就是1-0.48=0.52，即52%。如果你在赔率为1 ∶ 1的情况下下注100次，那么你预计可以赢52次，小赚一笔。
假如我们现在每次掷2颗色子来赌双6，那么正如前面的分析，每次掷出双6的概率是1/36，即 p ≈0.03；没有掷出双6的概率就是1-1/36=35/36，约等于0.97。
连掷24次，1次双6都看不到的概率就是0.97 24 ，约等于0.51。因此，至少出现一次双6的概率就是1-0.51=0.49。如果赔率为1 ∶ 1，那么你下注100次预计只能赢49次，最终会赔钱。
（我们应当为安托万·贡博点个赞，他肯定花了很多钱才弄明白第一个赌局赢钱的概率是52%，第二个赌局赢钱的概率是49%。他甚至还正确地推测出，在第二个赌局中，投掷次数至少要提高到25，出现双6的概率才会大于50%。看得出来，他是真喜欢玩色子啊。）
赌场老手安托万·贡博感到有些意犹未尽，于是又问了帕斯卡一个问题：假定两个人正在玩一个赌钱游戏，比如扑克或色子，玩到一半就被迫终止，此时其中一人拥有明显的优势。这种情况下，怎样分配赌资才是最公平的？平分显然不合理，因为有人领先；把钱全给领先的那个人也不太合理，毕竟他还没有真的赢下赌局。
帕斯卡觉得这个问题很有意思，于是赶忙和皮埃尔·德·费马（以“费马大定理”而闻名天下）互通书信进行讨论。
这个问题可以追溯至几百年前的1494年。当时意大利数学家、方济各会修士卢卡·帕乔利也在研究类似的问题，并将结论写进了《算术、几何、比及比例概要》。
他构想了这样一个场景：两个人正在进行踢球比赛，每进一个球得10分，最先得到60分的人获胜。
在比赛被迫中断的时候，其中一人已经得了50分，另一人得了20分。此时比赛的奖金该如何分配？
帕乔利认为，既然两人目前的得分一共是70，那么得50分的人就应当得到奖金的5/7。
45年后，前面提到的卡尔达诺竟公然嘲笑帕乔利，认为他的答案“荒谬至极”——考虑到卡尔达诺也没弄明白色子问题，我觉得他还是谦逊一点比较好。卡尔达诺设想了一个稍有不同的场景：两个人玩游戏，先得10分的人获胜，当游戏被迫终止时，一个人得7分，另一人得9分。按照帕乔利的观点，此时得7分的玩家应该分到7/16的奖金，都快占总奖金的一半了。得9分的玩家的奖金只比前者多一点，这显然很不公平，毕竟他只差1分就获胜了，而前者还差3分呢。
卡尔达诺的确给出了一个更好的方案。“他把关注点放在了‘双方还差多少分赢得比赛’上面，而不是‘双方已经得了多少分’上面。”普拉卡什·戈罗彻恩如此评价道。
可惜卡尔达诺离正确答案还是差了一点。他自己创造了一个叫作“胜利距离”的概念，来表示某选手距离胜利还有多远。选手差 X 分赢得比赛，他的胜利距离就是 X +（ X -1）+（ X -2）+…+1。假如该选手还差5分赢得比赛，那么他的胜利距离就是5+4+3+2+1=15。
在卡尔达诺的例子中，第一位选手得了7分，还差3分赢得比赛，所以他的胜利距离是3+2+1=6。第二位选手得了9分，还差1分赢得比赛，所以他的胜利距离就是1。如此一来，第二位选手应该分到6/(1+6)的奖金，看上去这的确公平了一些。
尽管这套方案的确比帕乔利的方案要好（至少更接近正确答案），但它仍是错的。
现在终于轮到帕斯卡和费马出场了。他们两人很快就看出了问题的关键：重要的不是选手距离终点有多近，也不是选手距离起点有多远，而是在剩下的所有可能性中，双方赢下比赛的可能性各占多少。
在写给费马的信中，帕斯卡设想了一个比较简单的场景：两个赌徒在玩一个游戏，先拿到3分的人获胜。双方各自下注32皮斯托尔（当时的一种金币），所以总赌资为64皮斯托尔。
假定在两个人都拿到2分的时候，游戏突然被迫终止。帕斯卡认为这种情况下钱很好分，每人拿32皮斯托尔就好了。
但如果此时两个人的得分不是2 ∶ 2，而是2 ∶ 1呢？帕斯卡认为，既然刚才在2 ∶ 2的情况下，奖金是两个人对半分，那此时就应该先给得2分的那个人分一半奖金，毕竟就算下一轮他输了，比分也只是2 ∶ 2而已。剩下那一半奖金怎么办呢？得2分的那个人可能会说：“这一半奖金有可能被你赢走，也有可能被我赢走，机会相等，既然如此，不如继续平分了吧。”如此一来，得2分的选手一共分到了32+16=48，即总赌资的3/4。
还有一种思路是，假定游戏继续进行，那么可能的结果共有4种：得2分的那个人既赢了第一轮，又赢了第二轮；他赢了第一轮，输了第二轮；他输了第一轮，赢了第二轮；他既输了第一轮，又输了第二轮。
只有在最后一种情况下，他才会输掉比赛。如果他赢了第一轮，那么第二轮的结果就不用看了，因为他已经得了3分，所以第一轮他有一半的机会直接赢下比赛。即便他第一轮输了，那第二轮中他仍有一半的机会赢下比赛。
由此可见，就像帕斯卡所分析的那样，如果两人不得不在2 ∶ 1的情况下终止赌局，那么总赌资最公平的分配方式的确是3 ∶ 1。
帕斯卡继续分析了其他情况。假定赌局被迫终止时，甲得了2分，乙只得了0分。如果甲在下一轮赢了，那比赛就结束了。如果甲在下一轮输了，那就又回到刚才2 ∶ 1的情况，我们已经知道这种情况下甲最终赢得赌局的概率为75%。按照帕斯卡的逻辑，甲会这样说：“如果下一轮我赢了，那我就会赢得全部赌资，即64皮斯托尔；如果下一轮我输了，那我也应当分走48皮斯托尔。因此，这48皮斯托尔肯定是属于我的。剩下的16皮斯托尔我们应当平分，因为咱俩拿到这笔钱的概率一样大。”
换句话说，甲最终赢得赌局的概率为7/8，即87.5%，所以最公平的分配方式就是甲拿走56皮斯托尔。用图来表示就是：
假如赌局被迫终止时，甲和乙的比分为1 ∶ 0呢？帕斯卡认为，这种情况我们可以再多分析一轮。如果乙赢了第一轮，那比分就变成1 ∶ 1，两个人重新站在了同一条起跑线；如果甲赢了第一轮，那比分就变成2 ∶ 0，我们已经知道此时甲最终赢得赌局的概率为7/8。在所有可能出现的16种结果里，有11种是甲最终赢得赌局，所以这种情况下甲应该分走总赌资的11/16，即44皮斯托尔。
现在大家应当已经意识到了，概率论关心的是给定情况下可能会发生什么，而不是已经发生了什么。不过前面的计算方法既费时又费力，所以帕斯卡和费马研究出了更便捷的方式。
我们的确可以耐心地做个汇总，但如果剩余回合数有很多，那计算量可就太大了。我们得把每一个可能出现的回合都分析一遍——需要分析的回合数等于甲最终赢下赌局所需的回合数，加上乙最终赢下赌局所需的回合数，再减去1。比如有一个三局两胜的双人比赛，甲以1 ∶ 0领先，那我们需要分析的回合数就是2+3-1=4（因为比分最高为3 ∶ 2，所以最大回合数是5，剩下的回合数最多是4），而4回合意味着2 4 （等于16）种可能性。之后你需要分析出其中有哪些可能性可以让甲最终赢下赌局，这一过程涉及大量的数字和标注，实在让人吃不消。
好在帕斯卡想到了一个轻松的方法。其实帕斯卡并不是第一个使用“帕斯卡三角形”的人——它在2世纪的印度、古代中国都很有名，它还有一个中文名字“杨辉三角形”——但他却是第一个将其用在概率问题中的人。这个三角形具体长这样：
它的“第0行”是1，其他各个位置上的数字都等于该数字左上角与右上角的和（如果左上角或右上角没有数字则视为0）。
帕斯卡发现这个三角形刚好对应着剩余回合数的各种可能性。仍然以甲乙比分为1 ∶ 0为例，剩余回合数最大为4，所以我们取第4行的数字来分析（最上面那个单独的1视作第0行）。第4行一共有1、4、6、4、1五个数，由于甲需要再赢两局才能获胜，所以我们去掉最左边的两个数，即1和4。把剩下的三个数6、4、1相加，再除以该行5个数的总和16，就是甲在1 ∶ 0的情况下最终赢下赌局的概率11/16，即 p =0.6875。
再试试其他例子。在甲乙比分为2 ∶ 1的情况下，比赛最多还能进行两回合，甲只要赢下其中任一回合就可以获得最终的胜利，因此我们可以用第2行的数字1、2、1来分析。首先我们去掉1，然后用剩下两个数字的和除以该行的总和，就得到了甲获得最终胜利的概率为3/4，即 p =0.75。这种方法相当便捷，能节省大量时间。
只要是双方每回合获胜概率相等的比赛，我们都可以采用该方法来分析，比如抛硬币、势均力敌的球赛。最大回合数为 X ，我们就用第 X 行的数字来分析（再次强调，最上面是第0行），该行所有数字的总和，就是所有可能出现的结果的总数。假如一共抛7次硬币，那么你就应该用第7行的数字来分析，即1、7、21那一行。该行所有数字的总和等于128，所以抛7次硬币一共有128种可能性。
现在假定你想知道抛7次硬币，某结果出现Y次的概率有多大，比如硬币正面朝上出现 Y 次。
有可能抛了7次全是背面朝上，1次正面都没看到。而在全部的128种结果当中，只有1种结果符合这一情形。
出现1次正面、6次反面的结果有7个。这是因为7次结果当中，只要正面恰好出现一次就行，具体哪次出现的并不重要。出现2次正面、5次反面的结果有21个（我就不一一列举了，你可以自己验证一下）。出现3次正面、4次反面的结果有35个。
看出规律了吗？1、7、21、35——这就是杨辉三角形的第7行。
因此，如果你想知道抛 X 次硬币，正面出现 Y 次的概率，你就可以在三角形中找到第 X 行的数字，然后自左向右找到第 Y 个数字（需要强调的是，最左侧的1视作第0个数字），用该数字除以该行所有数字的总和。比如你想知道抛7次硬币，正面出现5次的概率，那你就应该先找到第7行的数字，1、7、21、35、35、21、7、1，然后自左向右找到第5个数字，即21。所求概率为21/128≈0.164，接近1/6。
如果想求“正面至少出现5次”的概率，你只需把 Y 等于6和7的情况再加上去，即21+7+1=29，再用它除以该行总数128。帕斯卡在分析“赌资公平分配”问题时用的就是这一方法。
分析各种结果的概率有很多方法，杨辉三角形只是其中一种相对便捷的方式。如果每回合的可能性只有两种，就像抛硬币一样，我们就将其称为“二项分布”。
由此可见，当你想知道某件事发生的概率有多大时，你就需要分析一共有多少种结果符合该情形，以及所有可能的结果的总数。我想，你现在应该对“概率”有一个相对具象化的认知了。