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在多属性评价方法的选择与应用中，我们发现不同的方法各有其独特的优势和适用场景。下面会介绍几种主要的多属性评价方法，包括TOPSIS法、VIKOR法、功效系数法以及层次分析法。这些方法在解决复杂决策问题时，通过综合考虑多个评价指标，提供了具有系统性、科学性的决策支持。在实际应用中，决策者可以根据具体问题的特点和自身需求，选择最适合的评价方法；或结合多种方法，以获得更加全面、准确的决策结果。下面将进一步分析这些方法的具体原理、步骤及其在不同领域中的典型应用案例。
TOPSIS法（technique for order preference by similarity to ideal solution），即“逼近理想解法”，由C．L．Hwang和K．Yoon于1981年首次提出，是一种基于有限评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法。其基本思路是通过构造多指标问题的理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离负理想解两个基准作为评价各对象的判断依据，因此也被称为双基准法。
TOPSIS法的核心概念是“理想解”和“负理想解”。理想解是所有方案在各属性指标上都达到最优值的虚拟方案，而负理想解则是所有方案在各属性指标上都达到最劣值的虚拟方案。以一个具有两个指标的决策问题为例，若有
m
个可行方案，记第
i
个方案的这两个指标的值为
，那么每个方案可以在二维平面上表示为点
。理想解
和负理想解
分别表示指标值最大和最小的点。
TOPSIS法的步骤如下：
第一步，进行标准化决策矩阵的构建，将不同量纲的指标转化为无量纲数值。标准化公式为
加权标准化决策矩阵，将标准化后的指标值乘以各指标的权重，得到加权标准化决策矩阵。设权重向量为
则加权标准化决策矩阵为
第二步，确定理想解和负理想解。理想解
和负理想解
的计算如式（2－3）所示：
第三步，计算各方案与理想解和负理想解的距离。使用欧几里得距离计算第 i 个方案与理想解和负理想解的距离：
第四步，通过相对贴近度计算各方案的优劣。相对贴近度
的定义为
相对贴近度
介于0和1之间，
越接近 1，表示该方案越优。
第五步，根据相对贴近度的大小对各方案进行排序。
TOPSIS法广泛应用于多指标决策分析中，适用于以下几类问题：项目评价与选择，如投资项目、工程项目等的优先级排序；绩效评价，如企业绩效、员工绩效等的综合评价；资源分配，如预算分配、资源调度等问题的决策。刘飞等（2021）基于熵权TOPSIS模型对湖北省高质量发展进行了综合评价，构建了包括创新、协调、绿色、开放、共享、发展六个准则的评价指标体系。吕志鹏等（2020）提出了CRITIC－TOPSIS综合评价方法，结合CRITIC赋权法和相对距离改进TOPSIS法，以客观、准确地评估电能质量。赵书强等（2019）结合改进层次分析法、CRITIC法和TOPSIS法，提出了一种适用于输电网规划的综合评价方法，有效地兼顾了主客观权重，提升了评估的全面性与客观性。陈强等（2007）则引入熵权方法改进TOPSIS法，应用于水环境质量评价，显著提高了评价结果的合理性与准确性。刘继斌等（2006）使用属性AHM赋权法结合TOPSIS法进行医院卫生质量评价，既强调了指标重要性，又充分利用了数据信息，为保障评价结果的可信性与实用性提供了支持。
TOPSIS法具有操作简单、客观性强等优点，但也存在一些不足之处，如指标权重难以确定，对数据依赖较强以及忽略了指标之间的相关性。尽管如此，通过合理的改进和优化，TOPSIS法在项目评价、绩效评价和资源分配等领域中，仍具有重要的应用价值和广阔的发展前景。
VIKOR法（vlse kriterijumska optimizacija i kompromisno resenje），即多标准优化与妥协解决方案，是一种由Serafim Opricovic在1998年提出的多标准决策分析方法。该方法的设计初衷是解决具有冲突和不可通约（不同单位）标准的决策问题。VIKOR法通过对备选方案进行排名，帮助决策者找到最接近理想的折中解决方案，使其在可接受妥协的前提下做出最佳选择。
VIKOR法核心思想是确定正理想解和负理想解。正理想解代表各属性指标的最优值，而负理想解则代表最差值。VIKOR法通过计算每个方案的评价值，能够找出最接近理想解的方案，从而实现多标准决策的最佳折中。
VIKOR法的计算步骤如下：
第一步，确定正理想解和负理想解。正理想解表示各指标的最佳值，而负理想解表示各指标的最差值。
第二步，计算各方案的评价值。对每个方案
i
，计算其在各评价标准
j
下的偏差值
：
其中，
为标准
j
的权重，
为方案
i
在标准
j
下的值。
第三步，计算综合指标。首先，计算最小化偏差最大值（
Q
值），
表示方案 i 在所有评价标准下的最小偏差最大值。
其中，
为方案
i
的综合加权偏差值；
为方案
j
在所有评价标准下的最大偏差值；
v
为权重，通常取0.5。其次，计算最大化偏差最小值（
R
值），
表示方案
i
在所有评价标准下的最大偏差最小值。
第四步，根据Q值对各方案进行排序，Q值越小，方案越优。通过在方案选择上妥协，确保选择的方案不仅在综合指标上表现优异，同时在个别评价标准上也具备较好的表现。
VIKOR法在多个领域都有广泛应用，包括工程项目评估与选择，如基础设施建设项目的优先级排序与选择；企业绩效评价，如不同业务单元或部门的综合绩效评价；资源分配与优化，如预算分配、生产计划优化等。常娟等（2022）针对毕达哥拉斯犹豫模糊数（PHFN）风险型多属性决策问题，结合累积前景理论（CPT）和VIKOR法提出了一种决策方法，通过定义分散率和综合前景值矩阵，有效地确定方案的优选排序。王坚浩等（2023）结合灰色群组聚类（GGC）和改进的标准间冲突性相关性（ICRITIC）组合赋权方法，扩展了VIKOR法在武器装备供应商选择中的应用，验证了方法在决策灵活性和稳定性方面的有效性。赵辉等（2020）基于前景理论，提出了一种适用于犹豫模糊多属性决策的VIKOR法，通过前景价值函数和综合前景值矩阵，实现了对方案的合理排序。汪汝根等（2019）引入新的直觉模糊距离测度和VIKOR法，针对直觉模糊数的多属性决策问题，提升了方法在信息缺乏和不确定性处理方面的效果。钟登华等（2017）提出了动态VIKOR扩展方法，应用于混凝土重力坝施工方案的多属性决策，通过施工进度系统仿真和时段集成评价，为复杂工程项目的决策提供了可靠的支持。
VIKOR法灵活性强，通过调整权重和妥协参数，可以适应不同类型的决策问题；综合性强，能够同时考虑多个评价标准，提供综合评价结果；注重妥协解决方案，通过对妥协解决方案的选择，能够在多标准冲突的情况下，找到一个相对最优的解决方案。然而，VIKOR法也存在一些缺点，如权重确定困难，各评价标准的权重确定较为复杂，对评价结果有较大影响；对数据的依赖程度较高，需要准确的评价标准数据的支持；复杂性较强，计算过程相对复杂，尤其是综合指标的计算
功效系数法是一种用于多指标综合评价的决策方法，通过将各决策指标的相异度量转化为相应的无量纲功效系数，再进行综合评价。
该方法的基本操作步骤如下：
第一步，确定决策指标体系。设决策矩阵为
，其中
表示第
i
个方案在第
j
个指标下的取值。用适当方法确定指标的权重向量
W＝
。
第二步，计算各指标的功效系数。设第
j
个指标的满意值为
，不允许值为
。功效系数的计算分为两种情况：
对于正向指标，功效系数为：
其中，
。显然，满意值
对应的功效系数为100，不允许值
对应的功效系数为60。因此，功效系数的范围是
。
对于逆向指标，功效系数为：
其中，
。其他含义与上述正向指标相同。
第三步，计算各方案的总功效系数。总功效系数的计算有两种方法：
算术加权平均，即
另一种方法是几何加权平均，即
第四步，根据总功效系数对各方案进行排序，功效系数越大，方案越优。
功效系数法可以用于财务风险预警和作为评估工具，在不同领域和类型的研究中得到了广泛应用。侯旭华和彭娟（2019）基于功效系数法和熵值法，研究了互联网保险公司的财务风险预警，指出安心财险在资产流动性、保费收入和综合费用率方面的挑战，并提出了相应的改进策略。李海东和张少阳（2018）针对A零部件制造企业，应用改进的功效系数法建立了财务风险预警系统，通过综合评估各项财务指标，揭示了企业在不同能力方面存在的风险，为企业管理层提供了改进和优化的建议。李凯风和丁宁（2017）从低碳经济视角出发，利用功效系数法评估了W企业的财务风险，强调了在低碳经济模式下企业通过优化能耗和资源结构来提升财务风险预警能力的重要性。李霞和干胜道（2016）则运用功效系数法评估了教育类公募基金会的财务风险，为非营利组织的财务管理提供了新的评估方法和实务指导。洪燕平（2010）针对层次分析法在财务预警模型中的局限性提出批判性见解，并探讨了功效系数法在解决不同变量类型转化问题上的优势，提出了改进模型以提高财务预警模型的准确性和实用性。
层次分析法（analytic hierarchy process，AHP）是一种将复杂决策问题分解成多个层次，并通过对各层次元素进行成对比较，计算出各元素相对重要性权重的方法。该方法由美国运筹学家托马斯·萨蒂（ThomasL．Saaty）于20世纪70年代提出，AHP广泛应用于各种决策问题，包括项目评估、资源分配、政策制定等。
AHP的核心思想是将复杂决策问题分解为目标、准则和备选方案三个层次，通过构建判断矩阵进行成对比较，计算各层次的相对权重，从而得出综合评价结果。AHP的具体步骤如下：
第一步，构建层次结构模型。将决策问题分解为三个层次：目标层（决策的最终目标）、准则层（影响决策的主要因素或标准）和方案层（可供选择的备选方案）。
例如，选择一个最佳项目投资方案，目标层为“选择最佳项目”，准则层可能包括“投资回报率”“风险”“市场前景”等，方案层则是具体的项目A、项目B、项目C等。
第二步，构建判断矩阵。对同一层次中的每两个元素，依据决策者的判断进行成对比较，构建判断矩阵。判断矩阵中的元素表示两个元素相对重要性的比例，通常采用1到9的标度表示，具体含义见表2－1。
表 2-1 1到9的标度
第三步，计算权重向量并通过判断矩阵计算各元素的相对权重。具体步骤如下：
对判断矩阵A进行归一化处理，即将矩阵每列的元素除以该列元素之和，得到归一化矩阵：
计算归一化矩阵的行平均值，得到权重向量：
第四步，一致性检验。
为了确保判断矩阵的合理性，需要进行一致性检验。判断矩阵的一致性比例（consistency ratio，CR）通过式（2－14）计算：
计算一致性指标（consistency index，CI）：
其中，
是判断矩阵的最大特征值，
n
为矩阵的阶数。
查表得到随机一致性指标（random index，RI），然后计算一致性比例（CR）：
通常，当CR＜0.1时，判断矩阵具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵。
第五步，计算综合权重。根据各层次元素的权重和层次结构，计算备选方案的综合权重。
第六步，根据各备选方案的综合权重进行排序，选择权重最大的方案作为最佳选择。
AHP被广泛应用于项目评估与选择、资源分配、政策制定和供应链管理中。尽管AHP具有结构清晰、操作简便、综合考虑多因素等优点，但也存在依赖主观判断、一致性检验复杂、难以处理大规模决策问题和权重计算敏感等缺点。因此，在实际应用中，应结合其他方法优化AHP，以提高决策的客观性和准确性。赵书强和汤善发（2019）针对输电网规划提出了一种综合评价方法，结合了改进层次分析法、CRITIC法和逼近理想解排序法（TOPSIS）。他们通过将主观权重和客观权重结合，有效地评估了不同输电网规划方案的优劣，为电网规划决策提供了科学支持和决策依据。王钦等（2009）提出了一种基于模糊集理论和层次分析法的电力市场综合评价方法。他们利用模糊集确定各指标对不同评价结果的隶属度，并通过层次分析法计算各级指标的权重，有效结合了客观性和主观性，为电力市场的综合评价提供了一种通用且有效的方法。刘亚臣等（2008）针对城镇化水平提出了基于层次分析法的模糊综合评价方法。他们通过建立评价指标体系和确定权重，结合最大－最小值法确定了各指标对城镇化评价的隶属度函数，对辽宁等地区的城镇化发展水平进行了综合评价，为城镇化水平评估提供了科学依据和实证支持。章海波等（2006）应用改进的层次分析法评估了我国香港地区的土壤肥力质量。他们通过分析多个土壤指标的综合评价，揭示了我国香港地区土壤肥力质量普遍较低的状况，并提出了改善土壤肥力的策略建议，为环境保护和土地利用管理提供了重要的参考依据。舒卫萍和崔远来（2005）在灌区综合评价中应用层次分析法，通过确定各评价指标的权重，对灌区运行状况进行了系统、科学的评估。他们通过对实例的验证，证明所建立的评价模型能够客观地反映灌区的状况和问题，为灌区管理和优化提供了科学依据。