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以数学知识研究为核心开展科学研究的原因如下：
（1）数学抽象：科学客观性的前提
数学抽象性理论为科学研究提供了方法和工具，科学可以通过使用数学模型来抽象、简化和精确描述自然现象，这有助于理解客观存在复杂的关系和规律，提高科学研究的客观准确性。
例如，正态分布是一种统计学概念，描述了各种现象的分布情况，呈钟形曲线。其特征包括对称性、集中趋势以及标准差。标准差表示数据点在均值周围的分散程度，影响着数据集中度和分布范围。在自然科学、社会科学、工程和质量控制、金融和经济学等领域，正态分布都有广泛应用，有助于理解和分析不同类型的现象，为科学研究提供了有力工具。
数学抽象性提供了一种客观的语言和工具，可以客观、准确记录和表达科学观察、实验的结论，保证研究过程和结果是可重复和可验证的科学客观性要求。通过数学语言的使用，科研人员可以消除主观因素，提供精确的数值关系，确保研究在科学界中被广泛认可和接受。
通过数学抽象化，科研人员可以发现科学研究对象普遍的模式和规律，有助于思考、解决和揭示问题的本质，有助于建立更广泛的科学理论、推动科学知识的积累并推动科学的发展。
例如，微积分是数学的一个分支，它研究了变化和积分的概念，是许多科学领域的基础。在物理学中，微积分在描述和理解自然现象方面发挥了关键作用。
在研究一个物体的运动中，如果要分析速度和加速度如何随时间变化的问题，就可以用微积分来解决。具体来说，可以定义一个物体的位置函数，如 s （ t ）表示物体在时间 t 时的位置。然后，通过对位置函数进行微分，可以得到速度函数 v （ t ），通过再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数 a （ t ）。这些函数之间的关系可以用微积分的数学符号表示：
其中， s （ t ）表示位置函数， v （ t ）表示速度函数， a （ t ）表示加速度函数，而d t 表示时间的微小变化。
数学抽象性促进科学客观性的发展有以下特点：
①微积分提供了精确描述物体运动的方法，这种描述不受主观判断的影响。
②使用微积分的方法能够保证实验结果的可复制性并使不同研究者得到相同的数学结果。
③微积分作为客观工具，独立于个人观点或解释，所有科研人员都需要遵循相同的数学原则和规则。
因此，数学作为通用的、精确的抽象语言，有助于科学研究更加客观和可靠。
（2）数学严谨：科学重复性的保证
数学的严谨性（rigor）是指，在数学知识体系中，所有的概念都需要有明确的定义，使用精确的语言包括专门的数学术语、符号来描述概念以及严谨的逻辑结构。每个定理或者公式，无论多么直观或者明显，都要从已知公理或定理中通过严谨的逻辑推理来证明。
例如，依据皮亚诺算术公理和自然数加法定义，证明：1＋1＝2。
皮亚诺公理（Peano.s axioms）的自然数算术公理如下：
——0 是自然数。通常，0 被认为是自然数中的第一个数字。
——每个自然数都有一个后继数，记为 S （ n ），且这个数也是一个自然数。
——0 不是任何自然数的后继数，就是说，没有自然数 n 满足 S （ n ）＝0。
——两个自然数如果有相同后继数，那么这两个自然数相同。即：如果 S （ n ）＝ S （ m ），那么 n ＝ m 。
——数学归纳法：如果一个子集 P 的自然数满足以下两个条件：
①0 属于 P 。
②如果 n 属于 P ，那么 S （ n ）也属于 P 。
那么， P 包含所有的自然数。
这些公理在初看时似乎是显而易见的，为自然数提供了一个基础结构，为严谨数学处理奠定了坚实的基础，并在数理逻辑和数学基础研究中扮演了重要角色。
基于皮亚诺的公理，自然数的加法可以如下定义：
①加法的基本属性：对于任意自然数 n ，有 n ＋0＝ n 。
这表示任何自然数与 0 相加都等于其自身。
②加法的递归属性：对于任意自然数 n 和 m ，有 n ＋ S （ m ）＝ S （ n ＋ m ）。
这意味着，为了计算一个自然数与另一个自然数的后继数相加，可以先将前者与后者相加，然后取结果的后继数。
这两个属性定义了所有自然数的加法。通过递归应用这些规则，可以计算任意两个自然数的和。
证明：根据皮亚诺算术公理，可以定义自然数集合中的最小元素为 0，并定义每个自然数的后继函数，记作 S （ n ）。
同理，定义自然数的加法： n ＋0＝ n 对所有的自然数 n 成立。
n ＋ S （ m ）＝ S （ n ＋ m ）对所有的自然数 n 和 m 成立。
使用以下表示法：
1 是 0 的后继，即 1＝ S （0）；2 是 1 的后继，即 2＝ S （1）＝ S （ S （0））。
根据这些定义，1＋1＝1＋ S （0）＝ S （1＋0）。
根据加法的第一个定义（与 0 相加），有 1＋0＝1，
所以： S （1＋0）＝ S （1）。
根据 1 的定义， S （1）＝ S （ S （0））＝2，
所以，可以得出：1＋1＝2。
这就是依据皮亚诺算术公理证明 1＋1＝2 的基本过程。
虽然命题似乎是显而易见的，但在数学逻辑中，要注意避免直觉。虽然直觉在数学发现中起着重要作用，但在严格的数学证明中，直觉不能成为证明基础。相反，证明需要基于明确定义、公理和逻辑规则，确保从最基本公理和定义开始进行推理。因为，数学论证不仅应用于特定实例，还应具有普遍性，应用于所有满足特定条件的一般情况。这样才能确保数学的严谨性。
科学的可重复性表现在，科学研究要求实验和观测的结果能够被独立的研究者重复验证。可重复性是科学方法的核心原则之一，从而确保科学结果的可靠性和可信度。只有当不同研究者能够独立重复实验并得出相似的结果时，才能确认一个科学发现或理论。数学严谨性表现在，数学是一门严格的学科，是建立在精确的定义、公理和严密的逻辑推导之上的理论。每一步推理都必须经过详尽的证明，确保了数学结果的精确性和可信度。所以，数学严谨性是科学可重复性的保证。
例如，研究地球上物体自由落体运动的规律，也就是在没有空气阻力的情况下物体自由下落的行为。为了研究这个问题，首先需要测量不同高度下物体下落的时间，并记录下相关数据。在设计实验中，可以选择在不同高度放置一个物体并记录其下落时间。这涉及选择合适的高度、使用合适的实验设备等。通过实验，可以测量不同高度下物体的下落时间并记录这些数据。接下来，需要对这些数据进行分析以确定物体自由下落的规律。这可能涉及绘制图表、计算平均值、计算标准差等。
在数据分析这个阶段，为解释自由落体运动的数据，可以使用如下公式：
其中， h 是下落距离， g 是重力加速度， t 是时间。
这个公式基于数学原理，并且是数学严谨性的体现。
正是因为在实验设计和数据分析中遵循了数学严谨性，所以不同研究者可以使用相同的方法和公式来重复这个实验，并得出相同的结论。如果在分析数据时没有遵循数学严谨性，可能会得出错误的结论。这证明了科学可重复性的重要性，并且强调了数学在这一过程中的关键作用。
（3）数学证明：科学研究的简约化
数学证明体现了科学哲学中的简约原则（Occam.s razor），即在解释现象时应尽可能减少不必要的假设。恩斯特·马赫（Ernst Mach）说过：“数学的力量在于它规避了一切不必要的思考且节省了脑力活动。
”在解决科学问题中，创造性数学证明可以为科学研究提供简便方式和精确计量，将复杂的科学问题简化为更易于理解和操作的数学形式，实现科学研究的简约化。因为，“只要你处理的是纯数学，你便处于完全和绝对的抽象领域中。所有所说的不外乎是理性的坚信，任何持有具有满足纯抽象条件的关系，就必然满足另外纯抽象条件的关系。
”这种科学研究的简约化使得人们可以探索和理解复杂系统的规律。
数学证明的普遍性意味着证明的结论适用于所有符合前提条件的情况，而不仅仅是个别实例或特定的例子。这与实验科学不同，后者通常依赖于观察和实验来验证假说。数学证明尤其是在发现新的证明方法或解决难题时，需要创造性的思维和直觉，使科学问题简约化。
例如，公元前 3世纪，古希腊学者埃拉托色尼（Eratosthenes）计算地球经度周长就是利用数学证明的简约化进行科学研究的经典案例，其中的关键点如下：
——严谨假设。当时，人们通过出海船只的桅杆是渐渐从海平面消失的猜测大地是球体。既然是球体，那么，计算地球经度周长就是球体圆周长度的问题。埃拉托色尼把地球测量物理问题抽象为数学圆周长求解问题，并且选择位于同一经线上的塞伊尼（SYENE）小镇和亚历山大（ALEXANDRIA）城。这样，两地之间的圆心角就可以通过亚历山大的太阳角度来估计。
——观测数据收集。埃拉托色尼发现，在夏至日正午时，塞伊尼小镇的阳光直接照入井底，不会在井边投下一丝阴影，这说明阳光垂直于地面。
——精确度量。埃拉托色尼在另一年的夏至正午时分，测量了北方亚历山大城树干投下阴影的角度，为 θ ≈7.2 度。这就是塞伊尼小镇的点 S 与亚历山大城的点 A 分别连接地心 O 所成的角∠ SOA ≈7.2 度。这意味着它约占圆形一周角度 360 度的 1/50。
——数学计算。埃拉托色尼使用比例计算，如果 7.2 度对应塞伊尼和亚历山大之间的距离，那么，一个完整圆的 360 度数对应的长度就是地球的周长。通过这种方式，可以得出一个相当接近真实值的地球周长数值。
此外，埃拉托色尼通过商队得知塞伊尼与亚历山大城之间的距离为800 千米，埃拉托色尼计算出地球的周长约为 40 000 千米。这一计算结果与现代通过高科技测量的地球周长 40 076 千米，误差仅为千分之几。
这个方法之所以成为科学和数学历史上的重要里程碑，是因为在验证假说的精确计量过程中，创造性的数学证明在科学研究方面发挥了简约化的重要作用。
①假说的数学证明。埃拉托色尼的假说建立在明确的数学证明之上，这些证明是可以被其他人理解的计算过程。
②数学证明简约化的计算结果。埃拉托色尼的计算严格遵循逻辑推理，证明整个地球周长是已知两个城市之间距离的 50 倍。只要对已知两个城市之间的距离进行精确测量和计算，就可以保证计算整个地球周长结果的准确性。
③可验证性。埃拉托色尼方法是数学证明的模型，是人人可以掌握和实验操作的，具有系统性和可操作的性质，任何人都可以进行重复验证。
埃拉托色尼没有直接测量地球周长，而是应用欧几里得几何学中圆的性质和相似三角形定理的数学理论，对人类世界进行探索，创造性地解决了第一个科学问题。
因此，创造性的数学证明常常促进新的科学发现和理论的发展；反过来，数学本身的发展也能够推动新的科学研究方法和理论的产生。