计数系统

为了驾驭代数的力量，我们需要一套满足其需求的计数系统。部分要求是，自由地运用适合于任意数或未知数的符号来执行四个基本的算术运算。但是，普通的自然数集合就这一点来说是有缺陷的。1，2，3，…这些由计数产生的数被称为自然数；因为一旦我们开始对事物进行计数，这些数或大或小自然而然地就出现了。自然数的集合用ℕ表示，ℕ对于加法运算和乘法运算是封闭的。这意味着假如我们由两个自然数出发，可以把它们相加或相乘，而结果始终是一个自然数。不过，减法则是另一回事儿。减法是一个数减去另一个数，是加法的反向运算或逆运算，而数学家更乐意用后者来表述。就像3—5这样的算术题中的减法运算，把我们从ℕ中带了出来，而进入人们平常所说的负整数的范围。出现这种困难时，我们不会放弃，而是采取如下态度，即我们的计数系统目前不够完备，应该扩展，使得我们的计算能继续下去。

数的典型范例遍布高等数学及工程的所有领域，即通常所说的复数域，由ℂ表示。从ℕ一路到ℂ的旅程很长，直到19世纪才真正完成。在此之前，关于不同于自然数的数，对其真实性、意义及有效性还有许多哲学上的烦恼。不过，我们将毫不迟疑地介绍所需类型的数。

说到此处，我们首先为ℕ关联零这个数，用0来表示，即使得任何数加上或减去后数值都不会改变的那个数。必须承认0并不是我们有时称之为自然数的正整数中的一员；不过，0仍然是个数，因而有必要在我们的算术系统中找到其自身的位置。接下来，我们为每个正数引入一个负的镜像；例如，—6便是6的负“搭档”。

尽管对于这门学科的发展并非必需，不过要描绘并解释数的行为，通常最简单的方式是想象数沿着数轴排列。这是一条水平线，整数就被置于沿线长等间距的点上。我们把0放在中间，正整数以自然升序向右行进，而负整数则占据零左侧的镜像位置。

所有整数的集合，如该集合的名称那样，包括正整数、负整数以及零，用符号ℤ表示；而ℚ代表有理数的集合，由所有分数及对应的负数组成。集合ℤ包含于ℚ，因为整数 n 即等于有理数 n /1。（我们说，ℤ是ℚ的子集；同样，ℕ是ℤ的子集。）不过，像3/9和7/21这样的两个有理数被认为是相等的，因为二者都可化简为相同的分数，即1/3。任何正有理数都有唯一的表达式，即约分至最简项的分式 a / b ，这里的 a 和 b 除了1之外没有别的公约数。有理数也可以描绘成按其自然顺序分布在数轴上，稠密而均匀地在整个数轴上展开。

一个数 m （或正或负）加一个正数 n ，我们就从 m 出发，在数轴上向右移动 n 个点位，而减 n 则是左移 n 个点位。在集合ℤ中，每个数 n 都有一个相反数— n ，我们现在用这个性质把减法定义为与负数相加。我们声明，减去任何数 n ，即指加上其相反数— n ，所以加上一个负数— n ，就是在数轴上左移 n 个点位。那么，要减去一个负数— n ，我们就加上它的相反数 n 。换句话说，要减去负数— n ，我们就在数轴上右移 n 个点位。

这种观察事物的方式，对于如下这样的算式

（—1）+4=3，6+（—11）=—5，（—8）+6=—2，1—（—9）=1+9=10，

便得出了熟悉的求和结果，正如图1所示那样。

以上式子中，—1及其他负数前后的括号并不是必需的；但被引入是为了避免以一个运算符来开启一个算式，或是为了避免比如“+”和“—”两个运算符间的冲突。之所以有这样做的必要，是因为我们赋予了“—”两个略微不同的含义：既用于表示取一个整数的相反数，此时是作用在单一数上的运算符；也用来表示减法，这时是作用在有着特定顺序的两个数上的运算符。

至此，我们尚未提及任何你可能称之为代数法则的内容，来解释我们的算术是如何运作的。针对我们这些法则的合理解释，更确切地说，是取决于将减法的概念扩展至已按自然的线性方式排列的整个整数集合。我们在第二章中来探究支配算术运算的法则，并解释这些法则是如何扩展的，以便当我们从一个计数系统转到一个包括前者但更大的系统时，这些法则仍然适用。 Mpu1ae8PRrDDiolbNvFMY5tgDH/0Wi6Thob20sNqYX5bUDS52vjdOwYEukF9Gfi6