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在我们的学生时代，黑板上出现的 x 与 y ，代表着这样一个始点，于此数学跨越了算术的范畴，而通过获取一种自有语言进入了更高的领域。迈进了代数的大门，数学这门学科由此发展出令人惊讶的力量，给我们展现了以其他任何方式都无法发现的内容。现代科学以数学为基础，而数学便是通过对代表着被关注量的符号进行代数运算而运作的。确切的物理关系通过代数这样一种工具被揭示出来，包括最著名的质能方程 E = mc 2 ，以及许多其他方程。就像爱因斯坦的狭义相对论中出现的这则等式一样，方程式都是以实验为基础的物理模型的结果。尽管如此，这种关系本身就是通过代数来表达的。代数赋予如下重要的结论以威力，即能量与质量是一回事儿；而这就是位于底层的代数无可置疑的正确性。代数构成了所有现代系统化研究的基础。尽管这些研究的成果可以被融合进科学软件之中，但若没有代数，进步是不可能的。
“algebra”（代数）一词源于阿拉伯语词汇“al-gebr”，意思是“折断部分的复位”。11世纪时，或许正是伊斯兰世界代表着数学领域最复杂巧妙的文明。不过，那时还没有见于现代文本中那种类型的代数运算；中世纪的数学写作是修辞式的，一切都用言语描述，这种风格遍及马可·波罗所处的世界。我们也许能辨别出的一种代数，直到17世纪才出现。纸张的稀缺可能阻碍了数学符号体系的自然发展；不过也应该意识到，古代学者面对着诸多遮蔽了算术之根本数学面貌的障碍。我们在执行代数运算时会引入任意符号，最常见的是 x 和 y ，用来表示确定而未知的数，并根据算术法则对这些符号进行处理。无论数 x 与 y 可能是什么，支撑我们所做的一切的理由是，在我们运算中出现的关系是真实的，因为它们是我们初始假设及适用于所有数的法则的结果，与其特定的数值无关。用代数符号来表示未知量是一种便利的缩简；诚然简洁肯定有助于推理，但代数真正的力量源于符号赋予阐释的普适性，这使得它们能以一种强有力的方式被运用，而这种方式是词汇无法单独胜任的。
为了认识到代数的潜力，我们要能以无限制的方式移动我们的符号，即自如地利用算术运算，特别是成对的基本运算：加法与减法、乘法与除法。为此，我们需要一套适用的计数系统。比如，我们如果认为负值毫无意义而加以拒绝，或者进一步从根本上不把零看作一个数，便会受到妨碍而自我否定代数所赋予的探索未知量的世界的自由。我们认为代数世界的存在是当然的。不要说在其被恰当地理解及得以发展之前，甚至在其开始被窥视之前，就有大量的困惑需要清除。过去的智者会震惊于现代的某位学生能够轻松地用代数来彻底地解决问题；而在他们看来这些问题是不可能的，甚至可能是难以清晰描述的。比如，学校中的代数便足以证明整数的平方根如
或
，要么是另一个整数，要么根本不是分数。古希腊学者为这个问题付出了巨大的努力，并且运用他们所掌握的几何方法来证明大到
的一些特定平方根不是分数。然而，这个平常的问题难倒了他们。不过，这个问题和其他许多超越古人所及范围的问题，完全可以为牛津大学出版社通识读本系列的读者所理解，正如你即将读到的那样。