前言

代数是数学的通用语言，而这本小书的目的是要阐明代数是关于什么的。支配代数的法则源于数的特性；我们的主题之一就是，算术与代数的法则及实践，有多少是一小部分反映了普通整数常见性质之基本法则的结果。

本书前半部分叙述了代数的大部分内容，这些已经是中学数学持续了数代人的主要教学内容，以求解线性方程以及二次方程中的未知数为基础。这些读者会在前四章中读到。近世代数诞生于为解决高于二次的方程而出现的争论；本书的第一部分结束于第五章，这一章讲述一般三次方程的求解，其根未必只是简单的分数，而可能涉及通常所说的无理数和复数。

本书的下半部分引入该主题的现代视角；我们着眼于这样的代数，即其并非基于数的一般性质，而是涉及其他门类的数学对象。第六章的主题是余数的算术，提供了含有两种运算的基本代数类型即环的若干实例。矩阵则是第七、八、九章的中心主题。矩阵的起源可以回溯至数千年前的古代中国；但这一主题直到19世纪中期才获得关注，由此始点它已经成长为计算的主要工具，应用遍及数学、物理及社会科学。然而，在纯数学中，矩阵理论的历史意义是它提供了数域之外另一类型代数的重要实例。最后一章介绍向量空间和有限域。

本书的叙述过程中简要提及了代数的许多方面，而每一方面都很重要。我希望读者在通读本书时会看到各部分的拼图聚合在一起，从而在整体上理解代数。现代抽象代数牢固地建立在被称为群、环、域等结构以及向量空间的基础之上。随着本书内容的展开，读者可以通过其中出现的示例来了解这些构造。只有在此之后，才会以更正式的方式引入这些概念。这样做的目的是，读者既会对基础数学的概况留下印象，又能品味并管窥广阔代数世界的现代视角。

彼得·M.希金斯
科尔切斯特，2015