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计数的特征

我们自小便在家人的教导下使用自然数。他们让我们伸出双手,从最左边或最右边的一根手指开始数:1、2、3……他们每对着一根手指说完一个数字,就轻点下一根手指,说出下一个数字。稚嫩的我们觉得这个游戏有趣,很快就学会了模仿,没用多长时间,便可按照正确顺序说出那些表示数字的词汇:1、2、3、4……不过,这样尚不算学会计数。计数要求我们懂得更多,比如,回答关于“多少”的问题。此时,我们的父母会拿出三个玩具积木放到我们面前,问道:“宝贝,你看看,这里一共有多少块积木呀?”母亲使出浑身解数,循循诱导,但在学习伊始,你可能只会胡乱挥手,把积木推到一边。

不过,你最终还是学会了。你指向某些事物,边数边重复嘟囔着几个词语,你渐渐明白,最后的那个字眼,便是你的母亲期待你说出的“数字”。那么,你是否真的理解了什么是“多少”?年幼时,兴许不懂;但是,到了大约可以上学的年龄,你或许会在某个时刻突然领悟众物之集合的概念,尤其是当你的姐姐百般辩称自己并没有拿走玩具小人,而你却清楚知道你的玩具小人少了一个的时候—你已然懂得要数清玩具小人的数量。

在这里,我们必须暂且停下,为“计数”这个概念提供一个附注。或许你常自然而然地把计数当作一项活动,你会掰着手指,一个个数过去,说出相应的正确数词。现在,我们将引入一个深受数学家青睐的术语—映射。数数时,每根手指只分配一个数词,你既不会让两根手指代表同一个数词,也不会让两个不同的数词指向同一根手指。这是一个一一对应的精确过程,每根手指都有其唯一且专属的数词。数学家称之为一一映射,它是计数过程的核心所在。

一一映射:一个集合(如数词)中的每个元素,在另一个集合(如手指)中都有唯一且确定的元素与之对应。

在孩童时期的某个阶段,一般在两到五岁之间,你的思维能力将取得巨大跃升,因为在这个时期,你将学会数学中最难习得的两个概念—学会以汇集或集合的形式来想象事物,并进一步理解,每个集合都是一个可由基数予以鉴别的“众物”;明白不同集合的基数既可能相同,也可能不同;领悟计数的方法,从此能够确切辨析各个集合的基数。这些技能本身也可组成一个令人惊叹的集合。

现在我们可以来尝试回答以下这一连串关于计数的根本问题了:我们如何计数?计数过程涉及怎样的思维过程?它将激活大脑的哪些部分?大脑中是否有一块专门区域负责这项活动的进行?它是一种纯粹通过学习而获得的技能,还是一种与生俱来的能力?我们在计数时使用了词汇,那么语言对计数是必不可少的吗?

一个完整的计数过程依赖于三项活动。一开始,我们考虑回答一个问题—“有多少?”我们已经划定了一个集合,并希望弄清它具体包含多少事物。后续两项活动同时发生。我们按顺序依次触碰或指向集合中的各个元素,然后说出恰当的数词—指出元素并说出正确的数词这一行为便是我们所说的映射活动。当我们说出最后的那个数词,也即我们想要探求的那个基数,该过程就正式宣告完成。因此,我们需要做的是:①浮现“究竟有多少?”这个念头;②依次触碰或指向元素;③按顺序说出对应的数词。如此可见,大脑中用于计数的部分大抵包括负责对事物进行抽象思维、实现持续运动功能和语言功能的区域。

实际上,有时我们并不真的用手指指点元素,而是用眼光在物体之间顺次游移。不过,眼睛的移动也是一种持续运动,在这种情况下,我们只是用眼睛的活动替代了手指的活动。有时我们也不真的高声说出数词,而是仅在心中默然念想。

我们可否据此确定完成计数过程所必需的最小活动?倘若可以,那么我们应当假定计数是依赖于语言的,因为在我们能够数清事物的个数之前,必须先学会那些表示数字的词汇。可见,计数兴许是一种在获得语言能力之后(或者不早于)方能习得的技能。

是否存在不依赖语言的计数方式?假如存在,那么这种计数方式可能比现代人类具备的快速说话能力还要古老,因此它可以不依赖大脑中与语言相关的区域而实现。

卡尔·梅宁格(Karl Menninger)所著的《数词与数的符号:数的文化史》( Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers )一书,对人们理解人类早期计数与数字做出了不可磨灭的经典贡献 1 。梅宁格在这本著作中指出,人们几乎已经可以断定,在早期人类活动中,非语言计数是存在的;甚至到了20世纪,一些原始部落 都只发展出两个数词:一和二,其他一律以“多”概称。这些部落的成员无可避免地需要跟踪记录其所拥有的财产集合中各元素的数量,然而,仅有的数词“一”和“二”不足以数清30头牛、11条狗或16篮粮食。厘清并持续记录财产数量的需求—特别是当这些财产囊括食物、遮蔽处所或抵御敌人所需要的防护器具时—强烈驱策着人们必须追踪明了各集合的基数。假如不诚实的邻居趁着黑夜偷走了你的牛,而你却全然不觉,那么在接下来的某段时间里,你和你的家人或许只能挨饿度日。

梅格宁还指出,一些原始部落,如斯里兰卡岛上的瓦达部落,他们并不通过数词与元素之间的映射来完成计数,而是通过木棍或其他物品与元素之间的映射来进行计数。举个例子,瓦达部落成员在清点一堆椰子的个数时,会为每个椰子分配一根木棍,分配完成后,成员手里拿着的那捆木棍便是椰子的“数量”。他无法确切地告知你究竟有多少个椰子,因为他并不知道这一捆木棍的基数所对应的数词,但他可以拿出这一捆木棍向你“展示说明”那个数字。

对此,你或许会认为,瓦达部落的成员并没有真正数出椰子的数量,因为你依然笃信,真正的计数应是全然理解数字顺序(1、2、3、4……)以及如何运用它。不过,对于瓦达部落而言,我们认为他们的行为是不是真正的计数其实无关紧要,他们真正在意的,是能否通过木棍与椰子的映射弄清椰子集合的正确基数,并进一步回答“有多少”这个问题。只有找到这个问题的答案,他们才能够掌握他所拥有的椰子、牛羊和其他财产的情况。他们依靠一种无须借助语言的巧妙方法做到了这一切。

那么,这个简单的数棍子行为需要用到什么技能呢?首先,部落成员必须明白,集合有“多”这一抽象概念。换言之,当他看到若干物品(如单个椰子)汇集一处、并清楚意识到它们具备一个或多个共同特征时,会将它们认定为一组对象或一个集合,进而萌生想要说明其“多”的想法。其次,他必须计划一系列极具巧思的行为,以使每根木根与每个椰子之间构成映射。该步骤只在所有步骤执行完毕后才有意义,因为此过程中的任何中断都会导致椰子基数计算错误。因此,他不仅需要巧妙谋划如何开始一系列映射,还须从一开始便设计好如何圆满完成各个步骤,从而如愿得到最终结果。

各个计数行为又是在大脑中的哪些区域发生的呢?“木棍计数和现代计数均发生于人的意识层面”—乍听之下,这个回答极具说服力和吸引力,似乎只要探寻到意识活动在大脑中的位置,便可顺藤摸瓜找到计数活动的终极源泉。但是,遵循这个思路展开探索的研究者们很快就走入了死胡同。事实上,识别所谓的“意识活动”在大脑中的具体发生位置一直是多年来深埋于科学家心底的大难题。在细致查看了众多有关脑损伤的临床案例之后,许多科学家业已重新认识到,意识活动不由大脑任意一个单独部分负责。埃里希·哈特(Erich Harth)在其书作《心智的窗口》( Windows of the Mind )中明确提出,意识活动是一种存在于整个神经系统的现象。

人类的感知能力具有直接性以及大脑皮层无法独立维持意识活动,这两点均表明一个事实,即意识的触角已然伸出脑壳,探至身体的表层甚至更远。 2

看来,意识活动的发生场所并不局限于大脑的个别区域,所以,通过研究意识活动来探寻计数技能的根源似乎不著见效。我们现在需要做的是仔细观察和剖解大脑结构,尝试发现人类计数能力的可能出处。 qCaL3Iq+QE/Ixd6AYPWTuogZ78p+f8pHn5ScbKbdw4PXNUUvCNRCsyKJrrcIpw8Q

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