自然数

为了对数的本质有更全面深刻的理解，我们首先从自然数着手开展研究。自然数是我们最熟悉的数字，是我们日常用于计数的数字：1、2、3、4……此处的省略号意味着我们尽可按照我们的需求一直往下数。数字本身不会对这个计数过程产生任何限制。在现实生活中，阻碍计数无限延续的是时间。换言之，我们只能在时间允许的范围内进行计数。有时，人们会把自然数称为“整数”或“正整数”，此三种表达意思相同，不过最常用的还是“自然数”这个说法。

数字有三种基本用法。当想知道一堆东西究竟有多少个，我们用到的是基数，而这一整堆东西则被数学家称为一个集合。因此，假若现有一个装了11个苹果的水果篮，我们可说，这一篮苹果的基数是11，而这11个苹果就是一个集合。集合中的东西叫作元素，也就是说，每一个苹果都是该苹果集合中的一个元素。

基数：一个指明集合中有多少单个对象的数。

集合：一组汇总于一处的对象。

元素：构成集合的对象。

基数这一概念对人类的用处显而易见。它可以用于回答下述问题：停车场里现在停了多少辆车？我钱包还剩多少美元？我表哥威尔福德和他的妻子玛维斯共育有几个孩子？以上问题的答案都是基数。

现在我们来定义数字的第二种用法：显示事物的相对顺序。走进咖啡店买你最喜欢的波希米亚咖啡，你发现柜台前已大排长龙，心下暗想着，得等多久才能排到。此时你从服务员处拿到一个标有“47”的号码牌，上面显示“现在正为35号提供服务”。这里的数字“47”并不能告诉你一个集合中共有多少个对象，它告诉你的是你与其他人的相对位置，也即在你之前还有12位顾客。因此，47这个数显示的是你在一个数字序列中所处的次序。这类数便是序数。

序数的运用范围同样很广。你居住的街道地址就是序数，它不代表房屋、人或任何集合中的元素个数，它标示的是你的房子及其所在街区与城市中其他房子的相对位置关系。只要使用数字表明事物之间的相对位置，就必定涉及序数。

序数：指明某一元素在集合中的相对位置的数。

数字的第三种用途是做简单识别。作为标码数，此时的数字既不用于计算集合中的元素个数，也不显示任何相对顺序。你的电话号码就是一个标码数，它既无法确定电话号码集合中有多少个电话号码，也不能标明你的电话号码与他人电话号码的相对位置。社保号码是标码数；大多数公交汽车线路号和飞机航班号也是标码数。实际上，我们对标码数大多兴趣寥寥，因为这类数字仅有指称命名作用，换言之，这类数字都可被具体名称替换。因此，后文的叙述将着重聚焦序数与基数，而非标码数。自然数既可作为基数，也可作为序数。之所以可作为基数，是因为它们能够指明集合中所含元素的数目；之所以可作为序数，是因为每一个自然数在数字序列中均分配有一个唯一的指定位置，比如，数字5就总在数字4之后、6之前。可见，自然数是有序的。 0HFvRqNGYK8M4FREaC6JRYjE8+L0aqoYldyymPY5Tgh0wDbR7AJgitiEjzJfq/KO