引言

这是一本关于数但又不仅是关于数的书。诚然，数学是对于数的研究，但数的应用是与人类的经验与感受细密交织在一起、无法分割的，在全面探索数的过程中，必然深入触及人性的许多奥秘。这本书既包含数学，也涉及人类学、生物学、心理学、解剖学、历史学和哲学。

长期以来，人类总被称为“懂得使用工具的猿”“懂得运用火的猿”“会说话的猿”等等。不过，在我看来，我们更应当被称为“懂得计数的猿”，因为数和计数活动弥散于人类社会的各个细微角落，无处不在。不妨设想一下没有数和计数的社会是什么样子的。我们早已习惯用数来计量生活的方方面面：我们用街道编码标示我们的居住地址；我们与他人通话时要拨打数字号码；我们日常所用的货币以数字为基础；我们的日历和时钟同样离不开数。今天清晨我睁开惺忪睡眼，翻身瞥了眼数字钟，发现已是6:45；我突然想起今天是17号，到日子支付车辆费用了，一共110美元；我起床用早餐，将收音机调到97.3MHz，听到主播正在播报股市上涨了14点。我的一天（与其他人一样）就这样开始了。现代生活已离不开数。

经济、技术和科学均依赖我们对数的应用。这种依赖性反映为我们总是想让孩子尽早接触并掌握数字。早教中，孩子们最早学习的事情之一就是如何从1数到10。不过，谈到数学时，即便是最简单的计数，也有无数美国人或担忧，或抱怨，认为：“数学真的太枯燥太无趣了！而且数学好难！看着这些符号都害怕！”但是，就在这些人之中，有些人会专程飞往拉斯维加斯，彻夜不眠、不知倦怠地玩二十一点（一种涉及数字相加的扑克牌游戏）和花旗骰（一种双骰子赌博游戏）；有些人会待在家里玩“大富翁”，这种桌游要求玩家把两枚骰子掷出的点数相加，然后走相应的步数，如果刚好走到别的玩家的领地上，则要计算并赔付租金，如果落到无主之地，则可以出钱买下这一格土地，整个游戏过程都在进行数的加减。可见，人们骨子里是热爱数的，尽管他们嘴里常嚷嚷数学枯燥无味，但实际上，无论是玩游戏时，还是兑现支票时，都对数表现出了浓厚的兴趣和耐心。

看来，虽然极少宣之于口，但人们对数还是怀有一种隐秘的热爱的。如此看来，这本书或许会得到大家的喜爱。这一趟对数的探索之旅将以自然数为起始点，它们是我们首先学会的数字，也即1、2、3、4……此处的省略号意味着，我们可以一直不间断地数下去，无穷无尽，永远没有终点。

自然数是人类发现的第一类数，祖先们对数所做的第一件事是计数。在第一章中，我们将定义计数，并由此研究人类大脑中负责计数的那部分结构；第二章将引领我们走进历史隧道，探寻数和计数的源起与最初的发展历程；第三章主要讨论其他物种是否也会计数；在第四章中，我们将走进最早的农耕社会，研究第一批农耕者使用的数，以及由美索不达米亚和古埃及文明创造的最早有文字记录的数；第五章将回顾古代中国和美洲土著居民对数所做的贡献；在第六章中，我们将直面一个古希腊人花了两千多年都未能解决的巨大谜团，这个谜团最终将把我们引向奇异的无理数世界；第七章将着重介绍负数和我们现今通用的印度-阿拉伯数系；之后，在第八章中，我们将鼓足勇气，一探“无穷”的秘境，了解这个概念如何影响人们对数的信念；此前，我们沿着时间的河流，重走数的演化之路，而到了第九章，终于抵达无理数的领地，可以一窥它的真容；在第十章中，我们将充分发挥想象力，去发现一些独特的超越数，如π，这些数性质奇特，我们甚至都无法把它们完全写下来；第十一章将迎来一类广泛应用于科学研究和工程建筑的全新的数—复数；紧接着，第十二章将介绍本书最后一类数—超限数；第十三章中，我们将邂逅一些非凡的计算怪才；第十四章将在前文的基础上，展开关于数的哲学讨论；在最后一章中，我们将回顾数学在20世纪的研究进展，探讨数学在21世纪的行进之路，最终于此结束这趟短暂的数字探索之旅。

数与文化互相交织，联系紧密，在回顾它们的发展历程时，我们看到的其实是人类历史的缩影—一段惊叹满盈、奇迹充溢、喜悦迷漫的历史。

我们中的大多数人对于数或许端着一种漫不经心的姿态，不过，在过往的漫长岁月中，还是有一些人充分意识到数在人类社会中所起的重要作用。早在公元前400年前后，一位被称为“塔兰托的非洛拉斯”（Philolaus of Tarentum）的古希腊人就曾发出这样的感叹：

实际上，凡是能为我们所了解的事物皆有一个与其对应的数，若没有这些数，我们就无法以理智思维去领悟和认识它们。 ¹

伟大的古希腊哲学家柏拉图曾指出，数不仅在人类世界占据中心地位，更关键的是，它能引领人类走向真理本身。柏拉图借讲述他的导师苏格拉底及其友人格劳孔的对话，阐述了雅典人对于数的见解。

苏格拉底：所有算术与计算过程都必然涉及数吗？

格劳孔：是的。

苏格拉底：它们真的像是引导思维往真理方向前行的关键吗？

格劳孔：是的，而且是以十分显著的方式。 ²

那么，这本书的主题是什么呢？我们又期待通过这本有关数的书增强对自身哪方面的了解呢？这本书论证了一个观点，数及数学，均为人类本性的一层底色，没有了数，我们将无法发挥那些令我们之所以成为“人”的功能与作用。

遗憾的是，许多美国人持相反的看法，他们认为，我们虽然每天都在计数，但大多数人只进行必要的简单的加减法。一般意义上的数学是留给大学象牙塔里留着花白胡子的老学者的功课，数学对于人类个体生活的意义远不如爱情、家人、职业等重大，在很多时候，数学反而是一种烦恼。

本书将直面这类对立的观点，向各位读者展示数学是如何深深印刻在人类的机理构造之中的。这样做有助于我们定义人类自身，比如，未来某天我们终于能够去往其他遥远的星系拜访其他高等智慧文明，初见面，他们肯定会问：“你们是谁？”那时我们将可以自豪地说：“我们是掌握了数的奥秘的计数者！”