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公元前2000年，亚摩利人入侵苏美尔，公元前2006年，乌尔城陷落，一个领土囊括如今的伊拉克、约旦和叙利亚的全新庞大帝国就此建立，而这些征服者便是著名的古巴比伦人。这个帝国成就辉煌，在其治下崛起了许多城市，其中最耀眼的当数著名的古巴比伦城，直到公元前538年，在国王居鲁士的统领下，波斯人攻陷古巴比伦城，古巴比伦帝国的荣光才自此黯淡。
征服苏美尔之后，古巴比伦人沿用了苏美尔人的楔形文字和数学。迄今为止，已考古出土了数千块印刻有古巴比伦楔形文字的泥板，大多属于公元前2000年到前600年这段时期的遗留，这些古老的记录为我们提供了大量有关古巴比伦数学的宝贵信息。虽然古巴比伦人沿用了苏美尔人以10和60为基底的数字体系，但他们摒弃了用于表示60、10·60、602、10·602和603等数值的特殊符号，仅保留两个符号：一个是带有垂直小尾巴的三角形，称为楔形（
），代表1；另一个是两侧均带有小尾巴的三角形，称为钩形（
），代表10。（不过，有三个例外，即分数二分之一、三分之一和三分之二，它们有各自的特定符号。）在此基础上，古巴比伦人又增添了一项妙思，使得他们设计的这套数系成为古代时期独一无二的耀眼存在—他们引入了既能代表大数字又能代表小数字的位值制。
我们当前使用的十进制数系也是一种位值制数系，无论是大数值还是小数值均能简便表示，从而使人们能够完成一系列复杂运算。1仅代表数字“一”，10代表数字“十”，100则是数字“一百”，“1”所处的位置赋予了它相应不同的数值。不妨以数字743为例，在非位值制数系中，这个数字可能代表7＋4＋3＝14，而在我们目前通用的数系中，它代表7·100＋4·10＋3＝700＋40＋3，或者说是七百四十三。在我们的数系框架下，若想表示分数，我们会在右边点下一个“小数点”（decimal point），小数点右侧数码则依次表示十分之几、百分之几、千分之几，以此类推。比如，57.32即5·10＋7＋3·（1/10）＋2·（1/100）＝50＋7＋0.3＋0.02＝57.32。
古巴比伦位值制数系的运作原理也与此类似，只不过它是以六十为基础，而非十。因此，数字621（此处以阿拉伯数字书写）就不是六百加上二十一，而是：
当然了，古巴比伦人并不是用阿拉伯数字来表示621这个数字的，他们所用的是他们自己的楔形符号，因此，数字21 721就变成了：
位置值也使表示分数成为可能。比如，4.5的书写方式是
在左
在右，
代表4.5中的4，
（或者说是三十）则表示六十分之三十，也即十分之五。可见，即便只有两个分别表示一（
）和十（
）的符号，古巴比伦人也可依凭位值制写出非常大以及非常小的数字，并使用它们进行高效率的运算。横亘在学者们心中的一个巨大疑惑是：为什么苏美尔人和古巴比伦人均对六十这一数值青睐有加，选择以其为基底构建整个记数体系？（就目前掌握的考古证据看，在苏美尔人之前，未发展出书写文字的西亚人也可能使用过这种进位数系。）有一种解释是，60能被许多较小的数字等分整除，比如2、3、4、5、6、10、12、15和30，这大大方便了许多基本计算。苏美尔数系和古巴比伦数系广泛应用于计算重量、丈量土地面积等日常活动中，60的可除性为此提供了极大的便利。
不过，古巴比伦位值制数系有两个重大缺陷：首先，它没有占位符（比如我们现在使用的数系中的0就是一个占位符）来标示60的哪个幂次是空位；其次，它没有小数点来标示一个数的分数部分从何处开始。对于这些问题，彼时的人或许只能根据当时的语境和事态自行判断，这无疑会造成古巴比伦书写数字的指示不明、模棱两可。比如，我们可按以下几种迥然不同的方式解读数字
：
我们可以推断，抄写员应该能够根据所要解决的实际问题正确判断此处的12、2和30在位值体系中所处的位置，并相应得出它所表示的数值。直到古巴比伦帝国覆灭两个世纪后的亚历山大大帝时代，占位符和小数点才正式登上历史舞台，彼时，人们用一个由两个倾斜楔形构成的特殊符号插在数码中间起零的作用。
即便疏漏了占位符和小数点，古巴比伦人的记数体系仍然领先于古埃及和古希腊人的非位值制数系。毋庸置疑，古巴比伦人在数学领域已达到较高的发展水平。出土的许多泥板上刻记有包括乘法、倒数、数的平方、数的立方、数的平方根、数的立方根等在内的数学算法表，甚至还有计算利息的公式表格。古巴比伦人运用代数思想解决实际问题的水平也远远优于古埃及人，他们已经领悟可在一个等式的两边做同样的加法和乘法以达到简化等式的目的，能够进行简单的因式分解，并且不使用烦琐的文字表达数量，而是同我们一样，使用诸如体积、宽、长等专门术语。 8
古巴比伦人甚至已掌握解带有两个未知数的联立方程式（simultaneous equation）、某些二次方程式（quadratic equation）和三次方程式（cubic equation）的技巧。他们也懂毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem），即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可用公式表达为 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ，其中 a 和 b 是两条直角边的长度，而 c 则是斜边的长度（如图14所示）。古代学者把这一伟大发现归功于生活在公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯，不过，后来的研究发现表明，古巴比伦人和中国人早在毕达哥拉斯之前就已掌握这个定理。满足这一定理的三元整数组无穷多，人们把这类三元整数组称为毕达哥拉斯数（Pythagorean number）。比如，三元整数组3、4、5就满足毕达哥拉斯定理，换言之，若某直角三角形有两条长度分别为3和4的直角边，那么其斜边长必定是5。我们可以看到：
毋庸置疑，古巴比伦人知道毕达哥拉斯数，因为他们已经制作出列有这类三元整数组的表格。而且，他们似乎在此基础上又往前迈进了一步。假如某直角三角形的两条直角边长度均为1，那么其斜边长度应为2。这个结论不难得出，只要设斜边长度为 x ，再运用毕达哥拉斯定理就能解出 x 。
图14 毕达哥拉斯定理： a 2 ＋ b 2 ＝ c 2
x
2
等于2，那么
x
就等于
—但
又属于什么数呢？事实表明，它既非自然数，也非分数，而是一种全新种类的数。从一块出土的泥板中我们知道，古巴比伦人已经具体计算出
的值为1.414 212 9。实际上，
精确到小数点后九位的近似值是1.414 213 562，也就是说，古巴比伦人算出的这个值其误差大约仅为0.000 000 7，这是一个十分小的数量
9
。那么，古巴比伦人是否意识到他们处理的是一类全新的数字？目前尚无证据显示他们已经意识到这一点，但他们已如此接近发现无理数，这一点已足够令人叹服，要知道，数学界最终真正确认无理数的存在是在15个世纪之后。
在古巴比伦天文学中也能看见数学智慧闪动的光芒。古巴比伦人可以测定月球、太阳以及包括水星、金星、火星、木星和土星在内的五颗可见行星的运转周期，并以此为基础，建构出一个算术模型用于预测上述星体的运行。
前文已经讲过，古巴比伦记数体系缺少占位符和小数点，那么，除此之外，古巴比伦数学还缺些什么呢？古巴比伦人运用数学的目的更多在于解决具体问题，而非总结并阐明一般规律；他们不区分精确解和近似解；他们似乎也不追求严谨的数学证明。然而，即便存在上述种种不足，我们也不可否认，古巴比伦人所达到的数学成就的确是那个时代的最高水平，同时代的古埃及人只能仰视其璀璨光辉。
我们可将西亚地区的苏美尔人和古巴比伦人所取得的成就亮点总结如下：
（a）发明了书写文字；
（b）引入了分数；
（c）发展出位值制记数体系；
（d）数学从简单记录事物数量（计数）发展到解决实际问题（代数）与丈量面积（几何）。
目前出土的苏美尔和古巴比伦泥板数量庞大，有成千上万块，但其中尚有很大一部分无法破译。由于古代这一时期的城市（如叙利亚的伊布拉）直到20世纪70年代才经考古发现重见天日，所以，有关西亚地区这一时期的历史图卷还未在我们眼前完全展开，在未来，我们可能需要随时根据考古新发现重新审视这些非凡人类的数学智慧。