农业的诞生

在绝大部分人类史前史中都难以找到有关书写文字存在的证据以及简单计数之外的数学运算，这可能是因为彼时人类尚没有碰上需要更复杂的数学思维方能解决的难题。生活在石器时代的人们只需掌握基本计数便能长足生存，至多也只会用到基础的小数额加减乘除运算。但是，一旦农耕发端，情况就大不一样了。大约自1.3万年前起，人类开始使用镶有锋利坚石的木棍收割野生谷物。这些谷物是大自然赐予人类的礼物，因为谷物与肉类不同，即便是在温暖的季节里，它们也不易变质，所以可将它们暂时储藏在洞穴中，以供日后食用。之后，尝到甜头的人们开始有意识地保护长有野生谷物的田地，并通过间歇灌溉呵护它们的顺利生长。当人们开始细心保存采集到的作物种子，留待下个季节播种时，便为真正意义上的农耕时代拉开了序幕。在此过程中，人们会有意精心挑选出品质最佳的种子，从而通过选择性耕种改善作物收成。作为西亚地区种植的第一种主要谷物，大麦是早期人们酿造啤酒和制作面包的原料，它很快成为该区域内的主导货币。

狩猎采集者依赖野生猎物和野生蔬果生存，因而最适合他们的生活方式是聚成小群体，在较大面积的区域内集体活动；农耕则不同，它主要依靠驯养动物和种植适当的农作物，所以，与前者相比，其单位面积区域可供养更多人口，换言之，农耕地区定居人口更密集。农业耕种一经萌芽，小村庄就迅速发展壮大成为农耕中心。这一朝向农业的重大转变在世界若干个地区陆续独立发生，其中，发端最早的是公元前1.1万年前后的新月沃地，该地区自以色列西海岸的古耶利哥（Jericho）向北延伸到叙利亚的大马士革（Damascus）和阿勒颇（Aleppo，如今写作Haleb），向东南延伸到伊拉克的巴格达（Baghdad）和巴士拉（Basra），甚至到达苏萨（Susa，位于今伊朗境内的一个古代遗址）（如图8所示）。第一批以农耕为主要生活方式的村落出现在土耳其南部和伊拉克北部的扎格罗斯山；大约在公元前8000年，像耶利哥城这样的较大型村庄逐渐形成，并繁荣发展。随着农业耕作的兴起，其他手工业也迅速萌芽。公元前6500年前后，陶器制作开始出现；编织业以及带有轮子的简易车子则在公元前6000年登上历史舞台。

相比于狩猎采集者，聚居于村落的农耕者须面临什么全新挑战呢？农业最首要的优势在于它能产生盈余食物。正因为食物有盈余，人们方能聚集在一处，共同建立永久的定居场所，而这一切能够发生的前提条件是，这些谷物能够得到妥善保存，并且人们能够测定谷物的存量。这些谷物大部分用作当年的口粮，少部分留为第二年耕作播种的种子，有时还须留下一部分用于跟其他农耕部落交换食物。除此之外，人们还须对农田本身进行适当划分并加以保护。而且，土地的利用促使了新计算维度的产生，人们不仅要计算不同数量的物体，还要丈量土地的尺寸大小，而自然数与度量之间的关联也由此建立。

除管理农田与农作物以外，还必须有效组织更多的人手种植、照料和收割农作物，之后，还须将村民武装起来以保护农作物和土地免遭劫掠者的袭击。这一系列活动涉及大量人员、食物和地块，这无疑会促使抄写员和神职人员进行加、减、乘、除的运算。至此，统治阶层逐步形成，他们指派手下的抄写员计算个人及家庭需要缴纳的各类税收。

当农耕成为主流，一年间的季节变化与天气条件就显得尤为重要，农民亟须一份历法来确定种植每一种作物的恰当时间，而这需要更复杂的计算技能以追踪天上星辰的位置并及时记录。历法计算的一个早期例子是古巴比伦人，他们在书写文字发明（公元前3500年至前3100年）之前大约在公元前4700年制定了以春分（3月21日）为周期起点的古巴比伦年历。年历的第一个月是金牛月（the month of Taurus），这表示在每年历法起始计算时，太阳正处于金牛座所在的方位。苏美尔人这个更加古老的民族可能早在公元前5700年就着手制定了他们的历法 ¹ 。

清点食物储量、测定土地范围、统计人员数量、追寻季节变化规律……所有这些不可或缺的活动无时无刻不在推动着统治者和相关工作人员去发明一套更快捷便利的自然数记录及运算方法。在此过程中，逐渐发展出三种保存数字记录的方法：算筹记数、结绳记数、黏土记数。

算筹就是用于做标记或刻痕以记录数字的骨头或木制小棍。前文提及的那根3万年前的狼骨便是最原始的算筹，另一个例证来自在非洲扎伊尔境内爱德华湖畔一个渔场发现的一块骨头，其年代大约在公元前9000年到前6500年之间，这两块骨头上都凿刻有许多数字样式的图案。不过，大部分算筹是木制的，在日常生活里用于记录物品数量、追踪交易及契约合同（如图9所示）。一种流行的做法是：在一根细长且薄的木棍上凿刻若干条状凹痕以代表相应数量的债务，然后将木棍对半劈成几乎等长的两半，如此便得到两根相匹配的算筹。较粗的那根视为本筹（stock），交由债权人保管；较细的那根为插筹（inset），由借贷方保管。此后，如有需要，双方可将各自保管的两根签筹拼接在一处，观察两个部分能否完全吻合，以判断其上刻痕是否遭到篡改。

算筹记数在非洲、欧洲、太平洋岛屿、美国和中国等地区均有广泛使用。在拉丁语中，算筹（talea）一词意为“切开的树枝”；中文里“契”（意为合同）这一字分为三个部分：上面的两部分分别表示一把小刀以及一根刻有凹痕的棍状物，下面的部分则为“大”字，因此三部分合于一处意为“带有刻痕的大棍子”，即算筹。关于算筹还有一段有趣的历史记载。英国直至1828年仍在使用算筹记录税务数据，议会大厦里存放着经年积累的大量算筹，1834年，英国政府下定决心焚毁这些算筹，结果因不慎操作，议会大厦竟也被大火夷为平地。

第二个实物记录数字的方法是结绳记数。这个方法同样应用广泛，在非洲、北美和南美等不同地方均有考古发现。公元前5世纪，中国哲学家老子也曾劝告人们不要全然舍弃结绳这种记录方式 。目前所知的最先进的结绳记数方式是秘鲁印加人发明的“结绳语”，用于记录当地的一些正式交易（如图10所示）。结绳语共包含三种类型的结，同时，在长度、颜色和打结的位置上也有各异变化。这种方法相当复杂精细，甚至可用于记录非数字信息。

第三种方法—黏土记数法最具意义。考古学家在新月沃地一带陆续发现了一些新石器时代（公元前8000年至前3500年）的城市遗址，其中出土了许多人工制成的黏土小物件，它们的用途困扰了考古学家长达数十年之久。这些黏土制品的出土地点隶属最早期的农耕区域，从巴基斯坦的昌胡达罗（ChanhuDaro）至土耳其西南部的贝尔迪比（Beldibi），再向南延伸至苏丹的喀土穆（Khartoum）。迄今发现的最古老的黏土物件来自伊朗，其历史可追溯到公元前8000年。黏土物件长度从1厘米到4厘米不等，形状各异，球体、圆盘状、圆锥体、卵圆形、三角形、矩形和其他各色怪异外观不一而足（如图11所示）。

考古学家绞尽脑汁，为这些黏土制品设想了许多功用，包括儿童玩具、游戏器件、阳具崇拜的象征物、女性小塑像、钉子和弹珠等等。但是，假若得克萨斯大学的丹尼斯·施曼特·贝瑟拉（Denise Schmandt Besserat）教授提出的观点正确属实，那么以上这些猜测统统都是错的。20世纪70年代和80年代，施曼特·贝瑟拉带领其研究团队对从116个地方收集得来的1万多件黏土制品进行了细致研究，发现它们代表了某些特定对象，并用于记录它们的保存状况 ² 。施曼特·贝瑟拉在其著作《书写文字出现之前》（ Before Writing ）中写道：

这些黏土制品的年代可追溯至大约始于公元前8000年的新石器时代。它们随着经济的需要而逐步发展起来，起初用于记录农耕产品，到城市蓬勃兴起的年代，则开始应用于追踪手工作坊制造的产品。 ³

依据该论著的主张，这类黏土物件早在文字出现之前5 000年就已被人们广泛用于核算物资。公元前8000年到前4400年之间使用的原始黏土物件形制设计简单，不同形状代表不同物体。比如，一块卵球状黏土代表一罐油，一个黏土小球则代表一单位的谷物 ⁴ 。公元前4000年之后，黏土物件的设计样式逐渐增多，其上刻凿的标记也日趋繁复。在农耕时代早期（公元前8000年至前3100年），黏土记数物件与被记录物品之间是一一对应的关系。比如，三罐油用三块卵球状黏土表示，四单位谷物就用四个黏土小球表示。这种以特制物件指认被记录物体的方式是一种较为先进的木棍计数法，在这个阶段，用于记数的特制物件尚未用于表征抽象数字。 IZulv7/CEKIXupcSCWOqlyQYY6lWqlOKyUsmZ3ENUIKjGTnly90T71fMvf11jqCq