2.4.3 换面法的基本作图

（1）一般位置直线变换成新投影面平行线

如图 2.53（a）所示，为了求出直线AB的实长和对H面的倾角，用一个既垂直于H面又平行于直线AB的V ₁ 面更换V面，通过一次换面即可达到目的。具体作图如下（见图 2.53（b））：

①作新投影轴O ₁ X ₁ ∥ab。

②作出直线段AB两端点A，B在V ₁ 面的新投影 和 连线 即直线AB的实长， 与新轴O ₁ X ₁ 的夹角即直线AB对H面的倾角（见图 2.53（b））。

如需求直线AB对V面的倾角β，可用∥AB的H ₁ 面来替换原有的H面，构成V／ H ₁ 投影体系，求出直线AB在H ₁ 面的新投影a ₁ b ₁ ，a ₁ b ₁ 与新轴的夹角即直线AB的β角。

（2）投影面平行线变换成新投影面垂直线

投影面平行线变换成投影面垂直线，选择哪一个投影面进行变换，要根据已知直线的位置来确定。若已知直线是正平线，要使正平线在新投影体系中成为垂直线，则应变换H面；若已知的直线是水平线，则应变换V面。

如图 2.57（a）所示为将正平线AB变换成投影面垂直线的空间情况。这里只有变换H面为H ₁ 面，才能做到新投影面H ₁ 既垂直于AB又垂直于V面。具体作图如下（见图 2.57（b））：

①作新投影轴O ₁ X ₁ ⊥a′b′。

②作出直线段AB两端点A，B在H ₁ 面的新投影a ₁ 和b ₁ ，它必然积聚为一点a ₁ （b ₁ ）（见图 2.57（b））。

将投影面平行线变换成投影面垂直线只需一次换面（见上例），而将一般位置直线变换成投影面垂直线则需要两次换面，需先将一般位置直线变换成投影面平行线，再将该投影面平行线变换成投影面垂直线。

（3）一般位置平面变换成新投影面垂直面

如图 2.58（a）所示，△ABC为一般位置平面，要将它变换成新投影面垂直面，则新投影面必须垂直于平面△ABC。根据两平面相互垂直的关系可知，新投影面应垂直于平面△ABC内的一条直线。要将一般位置直线变换成投影面垂直线需要两次换面，而将投影面平行线变换成投影面垂直线只需一次换面。因此，首先在平面△ABC内任取一条投影面平行线，如水平线AD，然后作V ₁ 面垂直于这条水平线，则V ₁ 面就垂直于H面，同时也垂直于平面△ABC。具体作图如下（见图 2.58（b））：

①在△ABC内作水平线AD，其投影为ad，a′d′。

②确定新投影轴O ₁ X ₁ 的位置，作O ₁ X ₁ ⊥ad。

③作出A，B，C各点在V ₁ 面上的新投影 连接 即得平面△ABC具有积聚性的新投影，该新投影 与新轴O ₁ X ₁ 的夹角即为平面△ABC与H面的倾角α（见图2.58（b））。

同理，如果要求平面△ABC对V面的倾角β，可在△ABC内先取一条正平线，再作H ₁ 面垂直于该正平线，则平面△ABC在H ₁ 面上的投影积聚为一条直线，该直线与新轴O ₁ X ₁ 的夹角即该平面的β角。

（4）投影面垂直面变换成新投影面平行面

投影面垂直面变换成新投影面平行面，要由已知平面的位置确定。若已知平面为正垂面，要使正垂面在新投影体系中成为投影面平行面，只能变换H面；而要使铅垂面在新投影体系中成为投影面平行面，只能变换V面。

图 2.59（a）中，△ABC为铅垂面，取新投影面V ₁ ∥△ABC，则V ₁ 面必垂直于H面。具体作图如下（见图 2.59（b））：

①作新投影轴O ₁ X ₁ ∥abc。

②求出点A，B，C的新投影 ，连线得△ △ 即平面△ABC的实形。

投影面垂直面变换成投影面平行面只需一次换面，一般位置平面变换成投影面平行面则需要两次换面：首先将一般位置平面变换成投影面垂直面，然后将投影面垂直面变换成投影面平行面。

2.4.4 换面法应用举例

例 2.22 如图 2.60（a）所示，求点C到直线AB的距离及其投影。

分析： 若所给直线AB是一条垂直于某个投影面的直线（如铅垂线），则从点C向AB作垂线CD，该垂线CD一定是该投影面的平行线（水平线）（见图 2.60（b）），同时CD在该投影面上的投影反映点C到直线AB的实际距离。由于直线AB是一般位置直线，因此，需两次换面才能将其变换为投影面垂直线。

作图步骤：

①作O ₁ X ₁ ∥ab，求出直线AB及点C在V ₁ 面的新投影 和 （见图 2.60（c））。

②作O ₂ X ₂ ⊥ ，求出直线AB及点C在H ₂ 面的新投影a ₂ ，b ₂ 和c ₂ ，b ₂ （a ₂ ）积聚为一点。c ₂ 和b ₂ （a ₂ ）的连线即距离CD的实长，垂足d ₂ 必与b ₂ （a ₂ ）重合（见图 2.60（c））。

③求距离CD的投影。在V ₁ ／ H ₂ 体系中，从点C作直线AB的垂线CD，即有 ∥ O ₂ X ₂ 得到 ，由 返回原投影，得d和d′，连接cd，c′d′即得点C到直线AB距离的投影（见图2.60（c））。

视野拓展

蒙日与画法几何学

1746 年，法国数学家蒙日生于博恩的一个平民家庭。他青少年时代就勤于动手，勇于探索，早已显露出非凡的几何才华和创造精神。14 岁时，他曾为博恩镇制造了一架消防用的灭火机。16 岁时，完全靠自己的智慧制作各种测量工具，为博恩镇绘制了一幅精彩的大比例地图。1762 年，他被推荐到梅济耶尔皇家军事工程学院学习，被分到测量和制图专业学习，7 年之后成为该学院的教师，讲授画法几何长达 15 年。1795 年巴黎高等师范学校成立，蒙日应邀讲授画法几何学，讲授过程中他不断地融入自己科研的实例和理论成果，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在 19 世纪的复兴。此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就。

在蒙日诞生之前，欧洲已开始研究用二维的平面图形来表示通常三维空间中的立体和其他图形。16 世纪，德国迪勒采用多个二维投影表示人体特征；17 世纪末，意大利人波茨措所著《透视图与建筑》中介绍了先画物体的二正投影图，并根据正投影图画透视图的方法。蒙日的最大贡献在于用“投影”（或“射影”）的观点对这些方法进行了几何的分析，从中找出规律，形成体系，使经验上升为理论；同时，使作图方法也形成了体系，形成他的著作《画法几何学》（见图 2.61）。

在蒙日看来，画法几何学是每一个设计人员和技术工人必须具备的一种通用语言。按照这种语言，设计人员可把自己头脑中设想的机器部件用一张图纸上的两幅平面图形表示出来；图纸到了工厂，熟练的技术工人根据这两幅平面图形立即想象出该部件的实际形状应该是什么样子，并把它制造出来。蒙日创作的《画法几何学》为 19 世纪大规模的工业生产奠定理论基础。