下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
由前面的学习可知，当直线或平面与投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，其投影能反映直线或平面的某种特性（如实长、实形、倾角等），可方便解决某些度量问题和定位问题（如求距离、交点、交线等）。换面法就是解决如何通过更换投影面改变空间几何元素对投影面的相对位置实现简化解题的一种方法。
空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面（辅助投影面）代替原来的某一投影面，使空间几何元素对新投影面处于有利于解题的某种特殊位置，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。
如图 2.53（a）所示，求一般位置直线AB的实长及对H面的倾角，取平行于直线AB且垂直于H面的V 1 平面作为新投影面代替V面，则V 1 面和H面构成一个新的投影体系V 1 ／ H，直线AB在这个新投影体系中为正平线，其在V 1 面的投影a 1 ′b 1 ′反映直线AB的实长和对H面的倾角。
在进行投影变换时，新投影面不是任意选择的，新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
①新投影面必须垂直于原投影体系中的一个原有的投影面，与其一起构成一个新的两面正投影体系。
图 2.53 换面法的原理
②新投影面必须使空间几何元素处于最利于解题的位置。
如图 2.54（a）所示，用新投影面V
1
更换V面，使V
1
⊥H组成新的投影体系V
1
／ H，V
1
面与H面的交线为新投影轴O
1
X
1
，过点A向V
1
面作投射线，得点A在V
1
面的正投影
。这样，新的投影体系V
1
／ H取代了原投影体系V／ H，H面为保留投影面。由图 2.54（a）可知，
＝ Aa ＝ a′ a
x
，将V
1
面绕新轴O
1
X
1
旋转 90°与H面重合（见图 2.54（b）），此时
⊥O
1
X
1
。
根据上述分析，得出点的投影变换规律如下：
图 2.54 点的一次换面（更换V面）
①点的新投影和其保留投影的连线垂直于新投影轴（aa 1 ′⊥O 1 X 1 ）。
②点的新投影到新投影轴的距离等于被更换的投影到原投影轴的距离（
）。
根据点的投影变换规律，点在换V面时的作图步骤如下（见图 2.54（c））：
①作新投影轴O 1 X 1 。
②过a作新投影轴O 1 X 1 的垂线，垂足为a x 1。
③延长该垂线并截取
，即得点A在V
1
面上的新投影
。
同理，也可保留投影面V而更换H面，如图 2.55（a）所示。设立一个垂直于V面的新投影面H 1 面来代替原H面，组成新的投影体系V／ H 1 ，变换过程中V面保持不动，所以点A到V面的距离不变，即a 1 a x 1 ＝ aa x ＝ Aa′，且a 1 a′⊥ O 1 X 1 （见图 2.55（b））。
图 2.55 点的一次换面（更换H面）
换面法在解决实际问题时，有时经一次换面还不能完全解决问题，还必须经过两次或多次换面。两次换面是在一次换面的基础上进行的，作图原理和方法与一次换面完全相同。如图 2.56（a）所示为点的两次换面直观图。第一次用V
1
更换V面，组成V
1
／ H新投影体系，新投影轴为O
1
X
1
，求得新投影
；第二次用H
2
更换H面，组成V
1
／ H
2
新投影体系，新投影轴为O
2
X
2
，求得新投影a
2
。投影面展开后投影如图 2.56（b）所示。这时，
⊥O
2
X
2
新轴，a
2
a
x
2 ＝ aa
x
1。
图 2.56 点的两次换面
两次换面时，也可先换H面，再换V面。但必须注意，在多次换面时，新投影面的选择除符合前述的两个条件外，还必须是在一个投影变换完后，在新的两面投影体系中交替更换另一个。