2.3 直线与平面、平面与平面的相对位置

直线与平面、平面与平面的相对位置有平行和相交两种情况。垂直是相交的特殊情况。

2.3.1 平行关系

（1）直线与平面平行

直线与平面平行的几何条件是：若直线平行于平面内的一直线，则该直线与平面平行。

例 2.12 已知平面△ABC和面外一点M（见图 2.35（a）），试过点M作一正平线平行于平面△ABC。

分析 ：在平面△ABC内任取一条正平线，再过点M作此正平线的平行线即为所求。

作图步骤：

①在平面△ABC内取正平线CD。

②过点M作MN∥CD（N为任取），m′n′∥c′d′，mn∥cd，直线MN即为所求。

当直线与特殊位置平面平行时，则直线与特殊位置平面积聚为线的同面投影平行。如图 2.36 所示，直线MN∥正垂面△ABC，则m′n′∥a′ b′c′。同样，直线EF也平行于正垂面△ABC。

（2）平面与平面平行

两个平面平行的几何条件是：若一平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两平面相互平行。

例 2.13 试过点D作一平面平行于平面△ABC（见图 2.37）。

分析 ：根据两平面平行的几何条件，只要过点D作两相交直线对应平行于平面△ABC内任意两相交直线即可。

作图步骤：

在图中，作d′e′∥a′b′，d′f ′∥a′c′，de∥ab，df∥ac，则DE和DF所确定的平面即为所求（见图 2.37）。

判断两一般位置平面是否平行，实际上就是看在一平面内能否作出两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别平行。若这样的直线存在，则两平面平行，否则不平行。

例 2.14 判断如图 2.38 所示的两一般位置平面是否平行。

分析及作图：

在四边形ABCD平面的正面投影中，作a′h′∥f ′e′。求出其水平投影可知，ah与fe不平行；正面投影中a′d′∥f ′g′。观察其水平投影可知，ad与fg不平行，说明在四边形ABCD平面内不存在与△EFG平行的相交二直线，故两平面不平行。

判断两特殊位置平面是否平行，可直接看两平面积聚为线的同面投影是否平行即可，如图 2.39 所示。

2.3.2 相交关系

直线与平面相交，交点是直线与平面的共有点，它既在直线上，又位于平面内。

平面与平面相交的交线是一条直线，它是两平面的共有线。求两平面的交线，只要求出两平面的两个共有点或一个共有点和交线的方向，就可求出两平面的交线。

（1）特殊位置直线与一般位置平面相交

例 2.15 求铅垂线AB与一般位置平面△CDE的交点，并判断可见性（见图 2.40（a））。

分析 ：铅垂线水平投影积聚为一个点，交点K是铅垂线上的点。因此，交点K的水平投影k重合在直线AB水平投影积聚的点上。交点K也是平面△CDE上的点，利用在平面△CDE内取点即可求得交点K的正面投影。

作图步骤：

①在平面△CDE内取直线CⅠ，c′1′正面投影与a′b′的交点即为交点K的正面投影k′（见图 2.40（b））。

②判断可见性：从水平投影可知，CD位于AB前方，CD的正面投影c′d′为可见，因此以交点K为分界，正面投影中直线AB的AK段与平面△CDE重叠部分为不可见，画细虚线（见图 2.40（c））。

（2）一般位置直线与特殊位置平面相交

例 2.16 求一般位置直线AB与铅垂面△CDE的交点，并判断可见性（见图 2.41）。

分析与作图：

铅垂面水平投影具有积聚性，直线AB的水平投影ab与铅垂面△CDE水平投影积聚的直线cde的交点即为直线AB与铅垂面△CDE交点的水平投影k。再根据点与直线的从属关系，即可求出交点K的正面投影k′。分析二者的水平投影可知，直线AB的BK段位于铅垂面的前方，因此BK段的正面投影为可见，AK段的正面投影与平面△CDE正面投影重叠部分为不可见，画细虚线（见图 2.41）。

（3）一般位置平面与特殊位置平面相交

例 2.17 如图 2.42 所示，求平面△ABC与铅垂面DEFG的交线，并判断二者投影的可见性。

1）分析与作图

铅垂面DEFG的水平投影积聚为一条直线。根据交线的共有性，铅垂面DEFG与平面△ABC的水平投影的共有线段mn，即为交线MN的水平投影。交线的两个端点分别在△ABC的CA，CB边上，对应求出其正面投影m′和n′，连线即得交线的正面投影。

2）判断可见性

因铅垂面的水平投影具有积聚性，故水平投影的可见性不需判断。正面投影的可见性可由水平投影直接判定，由于amnb位于铅垂面的前方，因此正面投影a′m′n′b′为可见。交线MN的另一侧平面△ABC与铅垂面正面投影重叠部分为不可见，铅垂面的DG边正面投影也有小段不可见，都画成细虚线。

（4）两个特殊位置平面相交

如图 2.43 所示为两正垂面相交。正垂面正面投影具有积聚性，交线是正垂线。两平面正面投影积聚的两条直线的交点，即交线MN的正面投影m′（n′），水平投影为mn。

由于正面投影积聚，因此正面投影可见性不需判断。水平投影的可见性可由正面投影直观判定，交线右侧c′在上，则平面△ABC在交线右侧部分为可见，左侧部分为不可见。而平面GDFE情况相反，交线左侧部分可见，右侧部分不可见。不可见的线段画细虚线。

（5）一般位置直线与一般位置平面相交

一般位置直线与一般位置平面的投影都没有积聚性，需要用作辅助平面的方法求交点。如图 2.44 所示，一般位置直线AB与一般位置平面△CDE相交，首先包含直线AB作一辅助平面P，然后求出辅助平面P与△CDE的交线MN，交线MN与直线AB均位于平面P内，二者的交点K即为直线AB与平面△CDE的交点。

例 2.18 如图 2.45（a）所示，求直线AB与平面△CDE的交点K，并判断可见性。

分析 ：这是一般位置直线与一般位置平面的相交，采用辅助平面法求解。

作图步骤：

①包含直线AB作铅垂辅助平面P（P _H ），求出铅垂辅助平面P与平面△CDE的交线MN，MN与AB的交点即为直线AB与平面△CDE的交点K（见图 2.45（b））。

②利用重影点判可见性。

判断正面投影的可见性：在正面投影中取直线AB与平面的DE边重影点 3′（4′），求出其水平投影 3，4 可知，此处直线AB在前。因此，AK段正面投影为可见，BK段与平面△CDE重叠部分为不可见，画细虚线（见图 2.45（c））。

判断水平投影的可见性：在水平投影中取直线AB与平面的DE边重影点 1（2），求出其正面投影 1′，2′可知，此处平面的DE边在上。因此，BK段与平面△CDE重叠部分为不可见，AK段水平投影为可见，不可见部分画成细虚线（见图 2.45（c））。

（6）两个一般位置平面相交

两个一般位置平面相交，可用求一般位置直线与一般位置平面交点的方法求两平面的交线。在其中的一个平面内取两条边线，经两次求交点作图，分别求出两个共有点，其连线即两平面的交线。

例 2.19 如图 2.46（a）所示，求两个一般位置平面△ABC和△DEF的交线，并判断可见性。

分析 ：在平面△ABC内取两条直线BA，BC，求出BA，BC与平面△DEF的交点，连接这两个交点的同面投影，即可得两平面交线投影。

作图步骤：

①包含直线BA作铅垂辅助平面Q（Q _H ），求出BA与平面△DEF的交点N（n，n′）（见图2.46（b））。

②包含直线BC作铅垂辅助平面P（P _H ），求出BC与平面△DEF的交点M（m，m′）（见图2.46（b））。

③连接MN的同面投影，即得交线MN的两面投影（见图 2.46（b））。

④判断可见性：

判断水平投影的可见性：在水平投影中取重影点 5（6），求出其正面投影 5′，6′。由此可知，△DEF的EF边在△ABC的BC边上方。因此，△DEF水平投影在交线mn的右后侧为可见，左前侧为不可见，在两平面重叠区域内，不可见的边线画成细虚线。△ABC的可见性与之相反（见图 2.46（c））。

同理，在正面投影中取重影点 7′（8′），可判断两平面正面投影的可见性（见图 2.46（c））。

2.3.3 垂直关系

（1）直线与平面垂直

直线与平面垂直的几何条件是：如果一条直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面；反之，如果一条直线垂直于一个平面，则它必垂直于平面上的所有直线，其中包括平面上的投影面平行线。

例 2.20 如图 2.47（a）所示，过点K作平面垂直于直线AB。

分析 ：过点K分别作垂直于直线AB的正平线和水平线，这两条相交的直线即过点K垂直于已知直线AB的平面。

作图步骤：

①过点K作水平线KC⊥AB（kc⊥ab，k′c′∥X轴）（见图 2.47（b））。

②过点K作正平线KD⊥AB（k′d′⊥a′b′，kd∥X轴）（见图 2.47（b））。

注意：上述所作的垂面，并没求出该垂面与直线AB的交点。如需求出交点，可利用求一般位置直线与一般位置平面的交点的方法求解。

当直线与特殊位置平面（投影面平行面或投影面垂直面）相垂直时，直线一定平行于该平面所垂直的投影面（见图 2.48，铅垂面的垂线即水平线），同时在该平面所垂直的投影面上反映直角（见图 2.48）。如图 2.49 所示，水平面的垂线即铅垂线，正面投影反映直角。

（2）平面与平面垂直

如果一条直线垂直于一平面，则包含此直线所作的一切平面都垂直于该平面；反之，如果两平面互相垂直，则由第一个平面上的任意点向第二个平面作垂线，该垂线一定位于第一个平面内。

在图 2.50 中，KL直线垂直于平面P，则包含直线KL的平面Q和R都垂直于平面P，如果由平面Q上的一点A向平面P作垂线AB，则垂线AB一定位于平面Q内。

例 2.21 如图 2.51（a）所示，包含直线DE作一平面，使它垂直于平面△ABC。

分析 ：过直线DE上任一点E作一直线EF，使EF垂直于平面△ABC，则相交两直线DE和EF所确定的平面即为所求。

作图步骤：

①在平面△ABC内取水平线CⅡ，求出其两面投影c′2′和c2；取正平线CⅠ，求出其两面投影c1 和c′1′（见图 2.51（b））。

②过直线DE的端点E作平面△ABC的垂线EF（ef⊥c2，e′f ′⊥c′1′），则EF和DE所确定的平面即为所求。

当两个相互垂直的平面，同时垂直于某个投影面时，两平面有积聚性的同面投影相互垂直。如图 2.52所示为两垂直的铅垂面。