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任何物体的表面都是由点、线（直线或曲线）、面（平面或曲面）等几何元素所组成的。因此，需掌握好点、直线、平面的投影规律及作图方法，为正确绘制和阅读物体的三视图打下基础。
如图 2.9（a）所示，过空间点A分别向 3 个投影面作垂线，其垂足a，a′，a″即为点A在 3个投影面上的投影。如前述将投影面体系展开（见图 2.9（b）），去掉投影面的边框，保留投影轴，便得到点A的三面投影图，如图 2.9（c）所示。其中，a x ，a y ，a z 分别是点的投影连线与投影轴OX，OY，OZ的交点。
图 2.9 点的三面投影形成
规定：空间元素用大写英文字母A，B，C，…或罗马字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，…表示，其水平投影用相应的小写字母a，b，c，…表示；正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′，b′，c′，…；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″，b″，c″等。
从图 2.9（b）、图 2.9（c）可得出点的三面投影规律：
点A的V面、H面投影连线垂直于OX轴，即aa′⊥OX（长对正）。
点A的V面、W面投影连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ（高平齐）。
点A的H面投影到OX轴的距离等于点A的侧面投影到OZ轴的距离，即aa X ＝ a″a Z （宽相等）。这种关系可用画 1 ／4 的圆弧或 45°斜线作图来保证（见图 2.9（c））。
若把三面投影体系看成直角坐标系，则投影轴、投影面、投影原点O分别是坐标轴、坐标面和坐标原点，则点的空间位置可用点的 3 个坐标A（x A ，y A ，z A ）确定。
空间点的任一投影，均反映了该点的两个坐标值，即a（x A ，y A ），a′（x A ，z A ），a″（y A ，z A ）。因此，点的两个投影就包含了点的 3 个坐标，即确定了空间点的位置。
空间点的每一个坐标值反映了点到对应投影面的距离。换言之，点的投影到投影轴的距离等于该点的某一坐标值，也就是该点到相应投影面的距离（见图 2.9（a））。
点A到W面的距离为A a″ ＝ a′a Z ＝ aa Y ＝ x A 。
点A到V面的距离为A a′ ＝ aa X ＝ a″a Z ＝ y A 。
点A到H面的距离为A a ＝ a′a X ＝ a″a Y ＝ z A 。
根据上述投影特性，在点的三面投影中，只要知道点的任意两个面的投影，就可求出第三面投影，也可写出空间点的坐标和点到某投影面的距离。
例 2.2 如图 2.10（a）所示，已知点A的正面投影和水平投影，求其侧面投影。
图 2.10 已知点的两个投影求第三投影
分析： 由点的投影特性可知，a′a″⊥OZ，aa X ＝ a″a Z 。
作图步骤：
过a′作直线垂直于OZ轴，交OZ轴于a Z ，在a′a Z 的延长线上量取a″a Z ＝ aa X 。本题也可采用作 45°斜线的方法求解（见图 2.10（c））。
例 2.3 已知空间点A到 3 个投影面W，V，H的距离分别为 20，10，15，求作点A的三面投影。
图 2.11 求点的三面投影
分析： 由点的投影特性可知，点到 3 个投影面W，V，H的距离分别等于点的x，y，z 3 个坐标值。
作图步骤：
①画投影轴，在X轴上量取 20，定出点a X （见图 2.11（a））。
②过点a X 作OX轴的垂线，自a X 顺OY H 方向量取 10，作出点A的水平投影a；顺OZ轴方向在垂线上向上量取 15，作出点A的正面投影a′（见图 2.11（b））。
③根据点的投影规律，由a，a′作出点A的第三面投影a″。（见图 2.11（c））。
1）两点的相对位置
两点的相对位置是指空间两点的上下、前后、左右位置关系。这种位置关系可通过两点的同面投影的相对位置或坐标的大小来判断，即x坐标大的在左、y坐标大的在前、z坐标大的在上；反之，x坐标小的在右、y坐标小的在后、z坐标小的在下。
由图 2.12 可知，x A ＞ x B ，故点A在点B的左方。同理，点A在点B前方（y A ＞ y B ）、下方（z B ＞ z A ）；反之，点B在点A的右、后、上方。两点的相对位置也可用两点的坐标差来确定，如图 2.12（b）所示。
图 2.12 两点的相对位置
2）重影点及其投影的可见性
若空间两个或两个以上的点在某一投影面上的投影重合，则称这些点为该投影面的重影点。
图 2.13 重影点
如图 2.13（a）所示，点A位于点B的正上方，即x A ＝ x B ，y A ＝ y B ，z A ＞ z B ，A，B两点在同一条H面的投射线上，故它们的水平投影重合于一点a（b），则称点A，B为H面的重影点。同理，位于同一条V面投射线上的两点称为V面的重影点；位于同一条W面投射线上的两点称为W面的重影点。
两点重影，必有一点被“遮挡”，故有可见与不可见之分。对正面投影、水平投影、侧面投影的重影点的重合投影的可见性，应按照“前遮后、上遮下、左遮右”来判断，被遮挡住的为不可见，为了表示点的可见性，被遮挡住的点的投影字母应加括号。如图 2.13（b）所示，因点A在点B的上方，故点A的水平投影a为可见，点B的水平投影b为不可见。同理，C，D两点在V面上重影，C在前，D在后，故c′可见，d′不可见，不可见投影字母加括号表示，如（d′）。
由平面几何可知，两点确定一条直线，因此直线的投影可由直线上两点的投影确定。如图 2.14 所示，作直线AB的三面投影，可分别作出A，B两点的三面投影a，a′，a″和b，b′，b″，然后用粗实线连接其同面投影ab，a′b′，a″b″，则得到直线AB的三面投影。为了叙述方便，本书将直线段统称直线。
图 2.14 直线的三面投影
根据直线在三投影面体系中的相对位置不同，可将直线分为 3 类：一般位置直线、投影面平行线和投影面垂直线。后两类直线又称特殊位置直线，并规定直线对H面、V面、W面的倾角分别用α，β，γ来表示。
1）一般位置直线
如图 2.14 所示的一般位置直线AB，对 3 个投影面都倾斜，两端点分别沿前后、上下、左右方向对 3 个投影面的距离差都不等于零，故AB的 3 个投影都倾斜于投影轴，其投影的长度比空间线段的实际长度缩短，并且AB的投影与投影轴的夹角，也不等于AB对投影面的倾角。
由此可得一般位置直线的投影特征：3 个投影都倾斜于投影轴；投影长度小于直线的实长；投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。
2）投影面平行线
平行于某一投影面而与另两投影面倾斜的直线，称为投影面平行线。其中，平行于V面的直线，称为正平线；平行于H面的直线，称为水平线；平行于W面的直线，称为侧平线。表2.1 列出了 3 种投影面平行线的立体图、投影图和投影特征。
表 2.1 投影面平行线的投影特征
从表 2.1 可概括出投影面平行线的投影特征：
投影面平行线在所平行的投影面上的投影反映实长；它与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。
投影面平行线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且长度缩短。
3）投影面垂直线
垂直于某一投影面而与另两投影面平行的直线称为投影面垂直线。其中，垂直于V面的直线，称为正垂线；垂直于H面的直线，称为铅垂线；垂直于W面的直线，称为侧垂线。表 2.2列出了 3 种投影面垂直线的立体图、投影图和投影特征。
表 2.2 投影面垂直线的投影特征
从表 2.2 可概括出投影面垂直线的投影特征：
投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。
投影面垂直线在另两投影面上的投影，平行于相应的投影轴，且反映实长。
直线上的点有以下特性：
①若点在直线上，则点的投影一定在直线的同面投影上，反之亦然。如图 2.15 所示，点K在直线AB上，则点K的三面投影k，k′，k″分别在直线AB的三面投影ab，a′b′，a″b″上，且k，k′，k″符合一个点的投影规律。
②若点在直线上，则点的投影将直线的同面投影分割成与空间线段相同的比例（定比定理），反之亦然。即ak∶ kb ＝ a′k′∶ k′b′ ＝ a″k″∶ k″b″ ＝ AK∶ KB。
图 2.15 直线上的点
例 2.4 如图 2.16（a）所示，已知直线AB的两面投影，点K分AB为AK∶ KB ＝ 1∶2，求分点K的两面投影。
分析 由点在直线上的定比定理可知，AK∶ KB ＝ ak∶ kb ＝ a′k′∶ k′b′ ＝ 1∶2，用比例作图法可求得k和k′。
作图步骤：
①过a任作一射线，在该射线上截取 3 个单位长，得到B 0 ，并取靠近a端的第一单位长处标记为K 0 点。
②将bB 0 相连，过点K 0 作K 0 k∥B 0 b，交ab于k，交点k即K点的水平投影。
③过k作OX轴的垂线，与a′b′交于k′，交点k′即为点K的正面投影。
图 2.16 直线上取点
例 2.5 如图 2.17（a）所示，已知侧平线AB及点K的正面投影和水平投影，判断点K是否在直线AB上。
作图步骤：
方法 1 ：补画直线和点的侧面投影，如果点K在直线AB上，则k″必在a″b″上。从如图2.17（b）所示可知，k″不在a″b″上，故点K不在直线AB上。
方法 2 ：根据定比定理作图判断（见图 2.17（c）），如果点K在直线AB上，必有a′k′∶ k′b′ ＝ak∶ kb。
①过a任作一射线，在该射线上截取aK 0 ＝ a′k′，截取K 0 B 0 ＝ k′b′。
②将B 0 b相连，过点K 0 作B 0 b的平行线交ab于一点，该点与k不重合，说明等式a′k′∶k′b′ ＝ ak∶ kb不成立，即点K不在直线AB上。
图 2.17 判断点是否在直线上
空间两直线的相对位置有 3 种：平行、相交和交叉。由于相交两直线或平行两直线在同一平面上，因此它们也称共面直线；交叉两直线不在同一平面上，也称异面直线。
1）平行两直线
根据正投影的投影特性，空间两平行直线的各同面投影必定互相平行；反之亦然。如图2.18 所示，由于AB∥CD，则必有ab∥cd，a′b′∥c′d′。
图 2.18 两平行直线
例 2.6 如图 2.19（a）所示两侧平线AB，CD的投影，试判断它们是否平行。
图 2.19 判断两直线是否平行
分析： 对一般位置直线，根据两个投影就可以判断两直线在空间是否平行。但当两直线均为投影面平行线时，要判断它们是否平行，则取决于两直线在所平行的投影面上的投影是否平行。
作图步骤：
补投影判别，即补出两直线在所平行的投影面上的投影。如图 2.19（b）所示，作出a″b″和c″d″。若a″b″∥c″d″，则AB∥CD；否则AB与CD不平行。按作图结果可判定AB与CD不平行。
本题另外还有共面法、定比定理法两种解题方法，请读者自行思考。
2）相交两直线
空间两相交直线的各同面投影必定相交，且交点符合空间点的投影规律；反之亦然。相交两直线的交点是两直线的共有点，因此交点也应满足直线上点的投影特性。如图 2.20 所示，AB与CD相交，则ab与cd，a′b′与c′d′必定分别交于k，k′，且符合一个点K的投影规律。
图 2.20 相交两直线
3）交叉两直线
交叉两直线是既不平行又不相交的异面两直线。
交叉两直线的同面投影也可能相交，但其“交点”不符合点的投影规律。交叉两直线的同面投影的交点是两直线上一对重影点的投影，用它可判断空间两直线的相对位置。如图2.21 所示，ab与cd的交点 1（2）是直线AB上的点Ⅰ和CD上的点Ⅱ（对H面的重影点）的水平投影，由于点Ⅰ在上，点Ⅱ在下，因此该处AB在CD的上方。同理，a′b′与c′d′的交点3′（4′）是直线AB上的点Ⅳ和CD上的点Ⅲ（对V面的重影点）的正面投影，由于点Ⅲ在前，点Ⅳ在后，因此该处CD在AB的前方。
图 2.21 交叉两直线
二直线垂直（相交垂直或交叉垂直），一般情况下，其投影不反映直角。但如果这垂直二直线中有一直线为投影面平行线时，则该二直线在所平行的这个投影面上的投影反映直角。证明如下（见图 2.22（a））：
已知：水平线AB垂直于倾斜线AC（相交垂直），求证：ab⊥ac。
证明：因AB⊥AC（已知），AB⊥Aa（投影形成可知），故AB⊥平面AacC。
又因AB∥H面，故ab∥AB，ab⊥平面AacC，故ab⊥ac，即∠bac为直角（见图 2.22（b））。
图 2.22 直角的投影
反之，如果相交二直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中一条直线又平行于该投影面，则该二直线在空间必相互垂直。这同样适用于交叉垂直，如图 2.22（c））所示。
例 2.7 如图2.23（a）所示，已知矩形ABCD之AB边（a′b′∥OX），并知其顶点D在已知直线EF上，试完成该矩形两面投影。
图 2.23 由已知条件，完成矩形的投影
分析： 矩形的几何特性是：各邻边相互垂直，对边平行且相等。由于AB与AD相邻，因此AB⊥AD。又由于AB边是水平线，因此必有ab⊥ad。D在EF上，d必在ef上。由d求作d′，然后利用矩形各对边平行即可完成作图。
作图步骤 （见图 2.23（b））：
①作ad⊥ab，交ef于d。
②由d求作d′，连接a′d′。
③分别过b，b′作ad，a′d′的平行线，过d，d′作ab，a′b′的平行线，二者的交点即为顶点C的两面投影。
④顺序连接点A，B，C，D的同面投影，擦去多余作图线得所求。
一般位置直线的三面投影都不反映其实长和对投影面的倾角。如需解决这类度量问题，可采用直角三角形法来求得直线的实长及倾角。
在图 2.24（a）中，AB为一般位置线，过点B作BA 0 ∥ab，得直角三角形BAA 0 。其中，直角边BA 0 ＝ ab，AA 0 ＝ z A － z B ，斜边AB就是所求实长，AB与BA 0 的夹角就是AB对H面的倾角α。同理，过点A作AB 0 ∥a′b′，得直角三角形ABB 0 ，AB与AB 0 的夹角就是AB对V面的倾角β。
图 2.24 求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角
在投影图上的作图法如图 2.24（b）所示，直角三角形画在图纸的任意地方都可以。为作图简便，可将直角三角形画在如图 2.24（b）所示的正面投影或水平投影的位置。
①以线段某一投影的长度为一直角边。
②以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一直角边（坐标差在另一投影面上量取）。
③所作直角三角形的斜边即为线段的实长。
④斜边与该投影的夹角即线段与该投影面的倾角。
例 2.8 已知直线AB对H面的倾角α ＝ 30°，AB的正面投影a′b′及点A的水平投影a（见图 2.25（a）），试作出线段AB的水平投影。
分析： 由于Δz AB 和α已知，因此本题可采用如图 2.24（b）所示正面投影直角三角形的作图方法。
作图步骤：
①在正面投影中作直角三角形（见图 2.25（b）），得线段AB水平投影长ab。
②在水平投影中，以a为圆心，ab长为半径画弧得端点B的水平投影，该题有两解（见图 2.25（b））。
图 2.25 求直线的水平投影
平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示，如图 2.26 所示。
①不在同一直线上的 3 点（见图 2.26（a））。
②一直线和直线外一点（见图 2.26（b））。
③两相交直线（见图 2.26（c））。
④两平行直线（见图 2.26（d））。
⑤平面几何图形，如三角形、四边形、圆等（见图 2.26（e））。
一般情况下，平面的投影只用来确定平面的空间位置，并不限制平面的空间范围。因此，平面都是可以无限延伸的。
图 2.26 用几何元素表示平面
根据平面在三投影面体系中的相对位置不同，可将平面分为 3 类：一般位置平面、投影面平行面和投影面垂直面。后两类平面又称特殊位置平面，并规定平面对H面、V面、W面的倾角分别用α，β，γ来表示。
1）一般位置平面
对 3 个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。如图 2.27 所示，△ABC对H面、V面、W面都倾斜。因此，它的三面投影△abc，△a′b′c′，△a″b″c″都为缩小的类似形，其投影也不反映平面与投影面的α，β，γ角。
由此可得一般位置平面的投影特征：3 个投影都是平面缩小的类似形；投影都不反映平面对投影面的真实倾角。
2）投影面垂直面
垂直于某一个投影面而与另两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。其中，垂直于V面的平面，称为正垂面；垂直于H面的平面，称为铅垂面；垂直于W面的平面，称为侧垂面。表 2.3 列出了 3 种投影面垂直面的立体图、投影图和投影特征。
图 2.27 一般位置平面
表 2.3 投影面垂直面的投影特征
从表 2.3 中可总结出投影面垂直面的投影特性：
投影面垂直面在其所垂直的投影面上的投影积聚成一条斜直线；该直线与相应投影轴的夹角反映了平面对另两投影面的真实倾角。
投影面垂直面在所不垂直的另两投影面上的投影都是缩小的类似形。
3）投影面平行面
平行于某一个投影面，而与另两个投影面垂直的平面称为投影面平行面。其中，平行于V面的平面，称为正平面；平行于H面的平面，称为水平面；平行于W面的平面，称为侧平面。表 2.4 列出了 3 种投影面平行面的立体图、投影图和投影特征。
表 2.4 投影面平行面的投影特征
从表 2.4 中可总结出投影面平行面的投影特性：
投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映真实形状。
投影面平行面在另两投影面上的投影，分别积聚成直线，并且平行于相应的投影轴。
平面延伸后与投影面的交线，称为平面的迹线。迹线的符号用平面名称的大写字母附加投影面名称的注脚表示。如图 2.28（a）所示，平面P与V面、H面、W面的交线分别用P V （正面迹线）、P H （水平迹线）、P W （侧面迹线）表示。
用平面的3 条迹线P V ，P H ，P W 的投影来表示平面的空间位置，平面的这种表示法称为平面的迹线表示法。由于迹线是平面与投影面的共有线，因此，每条迹线的一个投影与迹线本身重合，另两个投影必与相应的投影轴重合。如迹线P H ，它既在H面上，又在平面P上，因而它的H面投影与自身重合，V面投影与OX轴重合，W面投影与OY W 轴重合。为了简化平面的迹线表示，一般不画迹线与投影轴重合的投影（见图 2.28（b））。
一般位置平面的 3 条迹线都与投影轴倾斜，每两条迹线分别相交于相应的投影轴上的同一点。因此，在用迹线表示该平面时，可用任意两条迹线来表示这个平面（见图 2.28（b））。
图 2.28 平面的迹线表示法
投影面垂直面在所垂直的投影面上的迹线有积聚性，另两投影面上的迹线分别垂直于相应的投影轴（见图 2.28（c））。因此，在用迹线表示投影面垂直面时，只用一条倾斜于投影轴的有积聚性的迹线表示该平面，不再画出其他两条垂直于相应投影轴的迹线，如图 2.28（d）、图 2.28（e）所示的正垂面Q和铅垂面T。
投影面平行面在平行的投影面上无迹线，另两投影面上的迹线有积聚性，且平行于相应的投影轴。因此，在用迹线表示投影面平行面时，可只用一条平行于投影轴的有积聚性的迹线表示该平面，如图 2.28（e）所示的水平面S。在解题中，常用有积聚性的迹线来表示特殊位置平面。
1）点和直线在平面内的几何条件
①点在平面内的任一直线上，则该点在此平面上。
②直线在平面上，则该直线必定通过平面上的两个点；或通过平面上的一个点，且平行于平面上的另一直线。
如图 2.29（a）所示，点D在平面ABC的直线AB上；直线MN通过平面ABC上的两个点M，N（见图 2.29（b））；直线CE通过平面ABC上的点C，且平行于平面ABC上的直线AB（见图 2.29（c））。因此，点D和直线MN，CE都位于相交两直线AB，CD所确定的平面ABC上。
例 2.9 如图 2.30（a）所示，已知四边形ABCD的V面投影及AB，BC的H面投影，试完成四边形的H面投影。
分析 ：四边形ABCD的 4 个顶点在同一平面上，而A，B，C 3 点的两投影为已知，即该平面的位置已经确定，根据在平面上取点的方法即可求出d。
作图步骤：
①连a′c′，ac，将A，B，C 3 点连成三角形，点D在平面ABC上，可作直线BD。
图 2.29 平面上的点和直线
图 2.30 完成平面图形的投影
②连b′d′，并与a′c′交于e′，在ac上作出e，连be并延长作出d。
③连ad，cd即为所求（见图 2.30（b））。
此题也可利用两平行直线的投影特性来求解（见图 2.30（c）），请读者自行思考。
2）平面内的投影面平行线
既位于平面内又与某一投影面平行的直线，称为平面内的投影面平行线。其投影既有投影面平行线的投影特性，又与平面有从属关系。
例 2.10 如图2.31（a）所示，在平面△ABC上取一点K，使点K在H面之上30 mm，在V面之前 20 mm。试作出点K的两面投影。
图 2.31 在平面上取点
分析： 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线。由投影面平行线的投影特性可知，平面内的水平线是平面内与H面等距离的点的轨迹。因此，可先在△ABC上取位于H面之上 30 mm的水平线MN，再在MN上取位于V面之前 20 mm的点K。
作图步骤：
①先在OX之上 30 mm处作m′n′（m′n′∥OX），再由m′n′作mn（见图 2.31（b））。
②在mn上取位于OX之前 20 mm的点k，即为所求点K的水平投影。由k′在m′n′上作出点K的正面投影k′（见图 2.31（c））。
3）平面内的最大斜度线
属于平面并垂直于该平面内的投影面平行线的直线，称为该平面内的最大斜度线。属于平面且垂直于平面内的水平线，称为平面对H面的最大斜度线；属于平面且垂直于平面内的正平线，称为平面对V面的最大斜度线；属于平面且垂直于平面内的侧平线，称为平面对W面的最大斜度线。
平面内对某投影面的最大斜度线的倾角就是该平面对该投影面的倾角。因此，平面内的最大斜度线可用来求一般位置平面对投影面的倾角，具体见例 2.11。
例 2.11 已知平面△ABC的两个投影，求平面△ABC对V面的倾角β（见图 2.32（a））。
图 2.32 求一般位置平面的β角
分析： 平面△ABC对V面的倾角β，即为该平面对V面最大斜度线的倾角β。
作图步骤：
①在平面△ABC内取正平线AD（见图 2.32（a））。
②在平面△ABC内作一条垂直于正平线AD的直线BE，该直线BE即为该平面对V面的最大斜度线（见图 2.32（b））。
③在水平投影中，用直角三角形法求出BE的β即为所求（见图 2.32（c））。
1）与投影面平行的圆
当圆平行于某一投影面时，圆在该投影面上的投影仍为圆，反映真实形状；其余两投影均积聚成直线，长度等于直径，且平行于相应的投影轴。如图 2.33 所示为圆心是O的一个水平圆的立体图和投影图。
2）与投影面倾斜的圆
当圆倾斜于投影面时，其在投影面上的投影是椭圆。圆的每一对互相垂直的直径，投影成椭圆的一对共轭直径。在椭圆的各对共轭直径中，有一对互相垂直，成为椭圆的对称轴，也就是椭圆的长轴和短轴。根据投影特性可知，椭圆的长轴是平行于投影面的直径的投影，短轴则是与其相垂直的直径的投影。
图 2.33 水平圆的投影
如图 2.34 所示为圆心为O的一个正垂圆的三面投影。由图 2.34（a）可知，正垂圆在V面上的投影积聚成一直线，长度等于直径。在H面上的投影为椭圆：长轴是平行于H面的直径CD（在正垂圆上的正垂线）的投影cd，长度等于直径；短轴是与CD垂直的直径AB（在正垂圆上的正平线）的投影ab。当作出投影椭圆的长、短轴后，可采用第 1 章表 1.10 的四心近似法作出近似椭圆。
同理，这个正垂圆的侧面投影椭圆的长轴是c″d″，短轴是a″b″，如图 2.34（b）所示。
图 2.34 正垂圆的投影