第三章
空间不寻常的性质

1.维度和坐标

我们都知道什么是空间，但一旦被问及“空间”这个词的准确定义时，我们就会尴尬地发现自己说不出个所以然来。我们也许可以认为，环绕在我们周围的就是空间，在空间里我们能前后左右，向上向下移动。而这三个相互垂直且独立的方向，代表着我们所处的物理空间中最基本的性质之一，所以我们认为空间是三向或是三维的。空间中的任何位置都可以通过参考这三个方向来定位。假如你去到一座陌生的城市，在住宿的酒店询问前台当地一家知名公司办公楼的位置，酒店员工可能会说：“先朝南走五个街区，再向右拐，走两个街区，然后上七楼就到了。”这个例子中提到的三个数字通常被称为坐标，它们包含着城市的街道、大楼的层数和作为原点的酒店大厅之间的联系。然而很明显的是，利用坐标系，同一个目的地的方位可以从其他任意一点指出，且能正确地解释新的原点和目的地之间的关系，而且只要我们知道新坐标系相对已有坐标系的位置，那么新坐标就可以通过简单的数学运算，由已有坐标表示出来。这个过程就是所谓的坐标变换。这里补充一点，这三个坐标无须都用代表距离的数字来表示，事实上，在某些情况下使用角坐标还更为方便。

例如在以街区和干道为主的纽约市，用直角坐标系来表示地址，是再自然不过的了。而在莫斯科（俄罗斯），则需转为极坐标，这样才能表示它的地址体系。这座古老的城市围绕着克里姆林宫这一中心城堡建造而成，它有着如放射状的街道和数条同心圆形的林荫大道，所以在莫斯科要说某栋房子坐落的位置，人们就会说，它位于克里姆林宫城墙北的西北方向，大概二十个街区远的地方。

另一个关于直角坐标系和极坐标系的经典例子是位于华盛顿特区的海军部大楼和陆军部五角大楼，在二战时期从事战时工作的人，想必对这两幢建筑都非常熟悉。

在图12中，我们给出了几个例子，说明了一个点在空间中的位置是如何用三个坐标，以不同的方式来表示的，其中有些坐标表示距离，而有些坐标表示角度。但无论我们选择什么样的坐标系，这三组数据都缺一不可，因为我们面对的是三维空间。

尽管我们很难用三维空间的概念，去想象一个大于三个维度的超空间（不过稍后我们将会看到这种空间是存在的），但我们很容易想象出一个小于三维的低维空间。平面、球体的表面，或者任意表面都是二维空间，因为点在面上的位置只需要两个数字就能表示出来。同样，线（不管是直线还是曲线）是一维空间，因为它只需要一个数字就可以表示点在线上的位置。我们也可以说点是零维空间，因为一个点里不会存在两个位置。但试问谁又会对点感兴趣呢！

作为三维生物，我们会觉得理解线和面的几何性质比理解三维空间中类似的性质要简单得多，因为我们自身就处于三维空间之中，可以直接观察到线和面。这就解释了为什么即使你理解起曲线或曲面的含义时毫无障碍，但还是会对三维空间也能弯曲的说法感到惊讶。

然而，只要稍加熟悉，并理解“弯曲”这个词的真正含义，你就会发现“弯曲的三维空间”这个概念其实非常简单，因为到了下一章的末尾，你（我们希望！）甚至还能轻松地谈论另一个乍一看很吓人的概念，即弯曲的四维空间。

但在这之前，还是来让我们了解一些有关普通三维空间、二维曲面和一维线的特性吧。

2.无须测算的几何学

尽管你对几何学的记忆还停留在学生时代，即几何学就是对空间测算的科学 ，这可能会让你觉得，空间主要是由各种距离和角度之间的关系演绎而出的大量定理构成（例如，著名的毕达哥拉斯定理，它描述了直角三角形三条边的关系），但事实上，空间许多最基础的性质并不需要进行任何长度或角度的测算。与这些问题相关的几何学分支叫作位置几何学（Analysis situs）也叫拓扑学（Topology） ，它是数学界中最具挑战和难度的领域之一。

若要给出一个拓扑学方面的简单例子，我们先设想一个闭合的几何曲面，比方说一个球体的表面，这个球面被网状的线分隔成诸多区域。我们可以在球面上取任意数目的点，然后用不相交的线将各点连接起来，这样就可以得到上述的曲面。那么在这个曲面上原始点的数量，相邻区域之间界线的数量和区域的数量之间存在什么样的联系呢？

首先，如果我们将球压扁成南瓜状的扁球体，或拉长成黄瓜那样的长条状，那么很显然，点、线和区域的数量与在球体上时的数量是完全相同的。事实上，我们可以取任意形状的闭合表面，就像把一个橡皮气球随意拉伸和挤压似的，只要不把气球割破或撕裂，上述问题的形式和结论都不会有丝毫改变。这一事实与几何学中的普通数值关系（例如存在于线性维数、表面积和几何体体积之间的关系）形成了鲜明的对比。当然，如果将一个立方体拉伸成一个平行六面体，或是将一个球体压扁成一张薄饼，那么这种关系也会发生严重扭曲。

我们可以将划分好的闭合曲面的各个区域压平，这样球体就变成了多面体，区域间的界线变成了多面体的棱，原来的各点变成了多面体的顶点。那么就可以将先前的问题重新表述，变成一个关于任意类型多面体中顶点、棱和面的数目之间关系的问题，而且不改变原问题的意义。

图14中展示了五个正多面体，和一个随意画出的不规则多面体，这些正多面体上每个面的边和顶点的数目都是相同的。

在每一个几何体中，我们都能数出顶点、棱和面的数目。那么如果这三个数字之间存在关系的话，会是什么样的呢？

我们可以通过直接计数，建立起相应的表格。

起初，表中前三列数字（V、E和F）似乎没有任何明确的关联，但稍加研究你就会发现，V和F列中的数值之和总是比E列多上2。从而我们得出下列公式：

V+F=E+2

这种关系是否只存在于图14所示的五个正多面体中，还是对其他多面体也适用呢？如果你试着画几个与图14中不一样的多面体，然后数出它们的顶点、棱和面的数目，你就会发现上述的关系在这些多面体中都成立。那么显然，V+F=E+2是一个在拓扑学中普适的数学定理，因为这个关系表达式的成立不依赖于边长或面积，而仅与不同的几何单元（就是顶点、棱、面）的数目有关。

我们刚刚发现的多面体中顶点、棱和面的数量之间的关系，最初是由17世纪著名的法国数学家笛卡尔（René Descartes）注意到的，后来其严谨的证明过程是由另一位数学天才欧拉完成的，因而这个定理被称为“欧拉定理”。

下面是欧拉定理的完整证明，引自柯朗（R.Courant）和罗宾斯（H.Robbins）的著作《什么是数学？》 ，让大家看一看这类定理是如何证明的。

“为了证明欧拉的公式，我们先设想一个由橡胶薄膜做成的简单中空多面体（见图15a）。然后我们将多面体其中一个面切掉，并使剩下的几个面变形，直到这些面全部展开为平面（见图15b）。当然，在变形的过程中，各个面的面积和棱与边的夹角都会发生变化。但是在这个平面图形中，顶点和棱的数目与原多面体是保持一致的，只有多边形的面的数目因为开始被切掉一个面，所以少了一个。现在，我们将证明：在平面图形中有V-E+F=1，那么，如果算上切掉的那个面，原多面体中的关系为V-E+F=2。

“首先，我们按下列方式将这个平面图形‘三角化’：先在图形中还不是三角形的多边形内作对角线，这是为了让E和F各增加1，这样一来，V-E+F的值保持不变。我们接着作对角线，一直作到所有图形都变成三角形，如图15c所示。可见，在经过三角化的图形中，V-E+F的值与原图形中的相等，因为作对角线并不会改变它的值。

“还有些三角形的边位于图形的边缘，当然了，其中有的三角形（例如三角形ABC）只有一条边位于边缘，而有的可能有两条。我们将这类三角形中与其他三角形不共用的部分拿掉（见图15d）。因此，在三角形ABC中，我们要拿掉边AC和它的面，剩下三个顶点A、B、C和两条边AB、AC。同理，我们将三角形DEF的面和两条边DF、FE拿掉，剩下顶点F。

“类如ABC这样的三角形，经过以上过程后，E和F各减小1，而V不受影响，因此V-E+F保持不变。在类如DEF这样的三角形中，V减小1，E减小2，F减小1，因而V-E+F也保持不变。通过上述一系列这样的正确操作，我们可以逐步将位于边缘的三角形拿掉（在每次操作后都会改变），直到最后只剩下一个三角形：三条边，三个顶点和一个面。在这个简单图形里，V-E+F=3-3+1=1。但是，我们观察到，在移除三角形的过程中，V-E+F的值始终没有变化。这就说明，在原平面图形中，V-E+F也一定等于1。那么推知，其在缺少一个面的多面体中值也等于1。因此，在一个完整的多面体中，V-E+F=2。这样就证明了欧拉的公式。”

从欧拉公式得出了一个有趣的推论： 只可能存在五种正多面体，也就是图14中那五种。

然而，在仔细阅读后面这几页内容时，你可能会注意到，绘制图14所示“各种类型”的多面体时，以及在欧拉定理的推理过程中，我们都做了一个隐藏的假设，这导致我们在多面体的选择上受到了很大限制，我们默认了只选择没有任何透洞的多面体。而这里说的透洞，并不是像橡胶气球上撕开的洞那样，而是像甜甜圈或橡胶内胎中间那个洞的样子。

看一眼图16你就明白了。这里有两种不同的几何体，和图14所示的一样，它们也都是多面体。

我们来看看欧拉定理对这两种新多面体是否适用。

在第一种多面体中，我们一共数出16个顶点，32条棱，16个面，那么，V+F=32，而E+2=34。在第二种多面体中，一共有28个顶点，46条棱，30个面，那么，V+F=58，而E+2=48。这就又错了！

为什么会这样呢？前面我们针对欧拉定理给出的一般证明，在这里为什么会不适用呢？

显然，问题在于，前面我们把多面体看作足球内胆或气球，而这种有透洞的新型多面体更像是橡胶内胎或更复杂一些的橡胶制品。对于后面给出的这类多面体，无法用上述的数学方法证明，因为我们没办法对这类多面体进行证明所必需的操作，即“切掉多面体的一个面，然后使剩下的面变形，直到这些面全部展开成为一个平面”。

如果这是个足球内胆，用剪刀把表面剪掉一块，很轻易就能满足上面的要求。但这要是个橡胶内胎，无论你费多大力气都不可能成功。如果看了图16还不够说服你的话，那就找条旧轮胎试试吧！

但是，不要以为在这种复杂的多面体中，V、E和F之间就没有关系了，关系是有的，只不过不一样罢了。对于这种“甜甜圈型”，或者说得更科学点——“环形多面体”，V+F=E。而对于“椒盐卷饼型” 的，V+F=E-2。总结起来就是：V+F=E+2-2N，其中N为透洞的个数。

还有一个与欧拉定理密切相关的拓扑问题很典型，那就是著名的“四色问题”。我们假设有一个被划分为诸多区域的球面，现在我们要给这些区域涂上颜色，要求相邻两个区域（即有一段共用边界的区域）颜色不能相同。那么，完成这个任务最少需要多少种不同的颜色？首先，两种颜色显然是不够的，因为当三条边界相遇于一点时（类似于美国地图中弗吉尼亚、西弗吉尼亚和马里兰那样，见图17），我们就得用不同颜色给这三个州上色了。

而需要四种颜色的例子也很好找。例如：德国占领奥地利时期的瑞士（见图17）。

但是，随你怎么画，无论是在圆球上还是在平面上 ，你都画不出需要四种以上颜色的地图。这样看来，不管我们把地图画得多复杂，四种颜色总能避免在边界处发生混淆。

那么，如果上面那句话是正确的，我们就能用数学的方法将其证明。然而，尽管这个问题经历了好几代数学家的努力，但到最后还是没人成功。这就是那种几乎没有人会质疑，但也没人能证明的数学问题的典型例子。在这个问题的证明上，现在所能做到的最好就是：在数学上证明了五种颜色一定够用。这个证明过程是基于欧拉公式的应用，根据国家的数量、国家的边界线数量以及相邻国家边界相遇时出现的三重、四重等交点的数量，得出的结果。

对这个证明我们不再做展示，因为它的过程相当复杂，且会让我们偏离所要讨论的主题。但读者可以在各种有关拓扑学的书籍中找到它，并借此在思考中度过一个美好的夜晚（也可能是个不眠夜）。如果有人能证明给地图上色用不了五种颜色那么多，四种就够了，或者他对这个说法的真实性持怀疑态度，还画出了一张四种颜色都不够用的地图。那么，不管他两个中做成功了哪一个，他的大名都会镌刻在未来的理论数学史册中。

不过讽刺的是，虽然在球面或平面上，上色问题令我们束手无策，但对于像甜甜圈或椒盐卷饼这样的复杂表面，却能用一种相对简单的方法来证明它。比如，已经有确凿证据表明，无论如何划分甜甜圈表面，只需要七种颜色就可以绘制相邻两个区域颜色各不相同的地图，而且现在已经有了这样的实例。

如果哪位读者还想要再费点脑筋的话，不妨找一条充气的橡胶内胎，和一套七种色彩的颜料，试着画一个某种颜色和其他六种颜色相邻的图形，完成后，你就可以说：“我已经对甜甜圈了如指掌啦。”

3.把空间翻个面

到目前为止，我们所讨论的都是各类曲面，也就是二维空间的拓扑性质，但很明显，这类问题在我们所生活的三维空间内也同样存在。这样一来，地图的上色问题在三维空间中就变成了下面这样：我们要制作一幅镶嵌画，用的是由不同材料制成的各种形状的板材，相邻的两块板材的材料不能相同。那么一共需要多少种材料呢？

上色问题中的球面和环形面类推到三维空间中是什么样的呢？能否设想出一些特殊的三维空间，这些空间对于普通空间来说就像球面或环形面对于平面一样。乍一看，这个问题似乎很不合理。事实上，虽然构想出许多形状各异的曲面对我们来说易如反掌，但我们更倾向于相信只有一种类型的三维空间，即我们所熟悉并身处其中的物理空间。但这样的观点是危险而无知的。只要我们稍稍发挥一下想象力，就能想出与欧几里得几何学中讲的完全不同的三维空间。

想象这种古怪的空间的难处主要在于，我们作为三维生物，只能“从内部”观察空间，而无法像对形状各异的面那样，“从外部”观察。但只要借助一些脑力训练，我们就能轻松征服这些古怪的空间。

首先，我们先试着构建一个与球面性质相似的三维空间。球面的主要性质就是：它没有边界，但其面积是有限的，即旋转一周后自己闭合了。那么我们能不能想象一个同样自我闭合、体积有限，但没有明显边界的三维空间？不妨想象这样两个球体，它们分别受限于自身的球面中，就像一个被果皮包裹的苹果那样。

现在，想象这两个球体“相互重叠”，共享一个外表面。当然，我们不是说能把两个像苹果那样的实体挤得相互重叠，让它们的皮粘在一起。那样的话，就算把两个苹果挤碎，它们也不会相互重叠。

或许我们可以设想这样一个苹果，它的内部被虫子吃出了错综复杂的通道。再设想苹果内部有两条虫子，一条白的，一条黑的，这两条虫子相互憎恨，尽管它们从苹果表面的相邻两处开始往里吃，但它们所吃过的通道永远不会相交。被这两条虫子吃过之后的苹果就会像图18那样，它的整个内部空间被两套彼此交缠但互不相交的通道填满。尽管白虫和黑虫的通道之间离得很近，但要想从其中一座迷宫进入另一座，就只能先返回苹果的表面，由洞口进入。假设这些通道变得越来越细，数量变得越来越多，最终两个相互重叠的独立空间将充满整个苹果内部，而只在其表面相连接。

如果你不喜欢虫子，你还可以设想一种类似上届纽约世博会上巨型球形建筑里的那种封闭式的双走廊双楼梯系统。我们可以认为每套楼梯系统都贯穿整个球体，如果想从这个楼梯的某个位置到另一个楼梯的相邻位置，你就只能先返回至球面上两套楼梯的交会处，然后再从入口进入另一个楼梯里。我们说这两个球体相互重叠而互不干扰，就像你有个朋友离你很近，但为了和他见一面，握握手，却得兜兜转转走很长一段路。要格外注意的是，两套楼梯系统的交会处与球体内部其他位置其实并没有什么两样，因为我们总是可以让整个结构变形，把表面的交会处摁进球体内部，这样原先在内部的点就翻到表面了。还有一点要注意的是，在我们所假设的模型中，通道的总长度是有限的，但却不存在“死胡同”。你可以在走廊和楼梯上随意穿行，不会有墙壁或栏杆挡你的路，如果你走得足够远，还会发现自己又走回到了出发点。从外部观察整个结构时，你可以说：走这座迷宫的人最后会回到出发点，只不过是因为里面的走廊逐渐盘绕成了球状。但对于迷宫里面的人来说，他没有外部这个概念，在他眼中， 空间就是个有大小而无边界的东西。 在后续章节中我们将看到，这种没有明显边界但并非无限的 “自我闭合的三维空间” ，在讨论宇宙普遍性质时将非常有用。事实上，利用望远镜的极限观测到的结果表明，在遥远的深空，空间似乎开始弯曲了，表现出明显的反折并自我闭合的趋势，就像上例中虫子在苹果内部吃出的通道一样。但是，我们在讨论这些激动人心的话题之前，得再掌握一些宇宙空间的其他性质。

我们和苹果、虫子之间还没完事，就是我们能不能把虫子吃过的苹果变成甜甜圈。当然，我们的意思不是让苹果尝起来像甜甜圈，而是让它看起来像甜甜圈。现在我们聊的是几何学，可不是烹饪艺术。我们还用上文提到的双苹果，就是“相互重叠”然后皮“粘在一起”的那个。假设其中一个苹果被一条虫子吃出了一条粗环形通道，如图19所示。请注意，通道只存在于其中一个苹果内部，这样一来，通道外部的每一点都是这两个苹果共有的，而通道内部的物质则属于没被虫子吃过的苹果。现在双苹果有了一个由通道内壁构成的自由面（见图19a）。

你能把这个虫子吃过的坏苹果变成一个甜甜圈吗？当然可以，我们假设这个苹果的果肉有很强的可塑性，你可以按自己意愿捏出任意形状，只要别捏出来裂缝就行。为了方便操作，我们可以把苹果切开，不过在完成变形之后，我们还要将其再粘起来。

首先，我们将形成“双苹果”的两张表皮分离，然后把两个苹果分开（见图19b）。接着，我们将分出的两个苹果表皮标记为Ⅰ和Ⅰ''，以便于在后续的操作中跟踪它们，并在完成之前把它们再粘回去。现在，将虫子吃过的那一部分沿通道方向切成两半（见图19c）。这一步完成后，我们得到了两个新切的面，同样，将它们标记为Ⅱ、Ⅱ'和Ⅲ、Ⅲ'，以便于我们能在后面把它们粘回去。这一步也将通道的自由面露出来了，它也将成为甜甜圈的自由面。现在，将切开的这两部分拉成图19d所示的那样。可以看到，自由面被拉成了很大一片（按照我们的假设，果肉是可以随意拉伸的！）。同时，切面Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都缩小了。我们在操作“双苹果”中的一个苹果时，也需要缩小另一个的尺寸，把它挤成樱桃般大小。现在，我们要开始把切开的面粘回去了。先从简单的开始，把切面Ⅲ、Ⅲ'粘在一起，得到如图19e所示的形状。接下来，把那另一个缩小后的苹果放在上一步形成的“钳子”两端中间，然后将两端闭合起来。这样一来，小圆球的表面Ⅰ就可以与先前分离的表面Ⅰ'粘在一起了，而切面Ⅱ和Ⅱ'也会相互粘起来。最终，我们得到了一个精致而光滑的甜甜圈。

做这些有什么意义呢？

其实并没有什么意义，它只是对你的想象几何学的能力进行锻炼而已，这种脑力训练能帮助你更好理解弯曲空间和自我闭合空间这类不寻常的东西。

你要是想让自己的想象力更上一层楼，这里还有一个关于上述操作的“实际应用”。

你可能从来都没想过，你的身体也有类似甜甜圈的形状。事实上，在生物体发育的早期阶段（胚胎阶段），都会经历一个叫作“胚囊”的阶段，在这个阶段中，胚胎呈球状，中间还有一条宽阔的通道。食物从通道的一端进入，其中有用的物质会被胚胎吸收，剩下的从通道另一端排出。在完全发育的生物体中，其内部的通道变得更细也更加复杂了，但原理还是一样——甜甜圈的所有几何性质都没有改变。

既然你也是个甜甜圈，那么，你可以试试进行与图19所示相反的转换，将身体（在脑子里！）转换为内部有通道的双苹果。你会发现你身体中不完全重叠的部分构成了“双苹果”的主体，而整个宇宙，包括地球、月亮、太阳和星星都将被挤进内部的圆形通道之中！

你可以试着画画看是什么样子，你要是画得还不错的话，连达利（Salvador Dali） ^[39] 也得承认你是超现实主义画派的权威了（见图20）。

尽管这一节已经够长了，但如果不讨论左右手物体及其与空间一般性质的关系，我们就还不能结束本章内容。这个问题需要参考一副手套进行介绍。如果你对比一副手套中的两只（见图21），你会发现这两只手套的所有尺寸都完全一致，但两者之间又有很大区别：你右手戴不上左手套，左手也戴不上右手套。任你怎么旋转扭曲它们，左手套仍旧是左手套，右手套仍旧是右手套。同样，在鞋子的制造、汽车（美国的和英国的）的转向机构、高尔夫球杆和许多其他方面，都可以发现左右手性物体之间的区别。而另一方面，比如男式帽子、网球拍等其他物体就不存在这样的区别。没人会蠢到去商店订购十几个左手用的茶杯，要是有人让你去邻居家借一个左手专用的活动扳手就更是胡闹了。那这两种物体之间到底有什么不同呢？只要稍微想一下你就知道，像帽子或者茶杯这类东西，都具有一个对称平面，沿着这个平面，你可以把它们切成两个完全相同的部分。而手套或鞋子都没有这样的对称平面，随你怎么使劲，你都不可能把手套或鞋子切成完全相同的两部分。如果物体没有对称平面，那我们就称它们是不对称的，而我们就可以将它们分成两类——左手性物体和右手性物体。这些区别不仅存在于像手套或高尔夫球杆这样的物体，还存在于自然界中。例如，有两种蜗牛，它们在其他方面都是一样的，就是造自己小房子的方式不同：一种蜗牛的壳是顺时针螺纹，而另一种是逆时针螺纹。即使在小到能组成所有不同物质的分子中，也常常有左旋和右旋两种不同的形式，就像左右手的手套或者顺时针螺纹和逆时针螺纹的蜗牛壳一样。当然，你看不到分子，但其构成的物质的结晶形态和光学性质，都能显示出这种不对称性。比如，有两种糖，左旋糖和右旋糖。而且，说来你可能不信，还有两种嗜糖细菌，每种都只吃对应类型的糖。

我们已经在上面说过，把左手性物体（比如一只手套），变成右手性物体似乎是无法做到的。但是，真的是这样吗？我们能不能想象一个奇异的空间，在这个空间里我们可以做到这种变化呢？为了回答这个问题，我们可以从平面上的影子人的角度考虑，这样我们就能从更高级的三维空间去观察了。请看图22，画的是平原上可能存在的居民，当然，这里的平原特指二维空间。图里这个人拿着一串葡萄，我们叫他“正面人”，因为他只有“正面”而没有“侧面”。而他的一旁的那只动物是一头“侧面驴”，或者准确地说是“右侧面驴”。当然，我们还可以画一头“左侧面驴”，只不过它们都被限制在平面里，所以，从二维视角来看，这两头驴之间的区别，和我们普通三维空间中的左手套和右手套之间的区别是一样的。你无法将“左驴”和“右驴”完全重合，因为要想让这两头驴头挨着头，尾巴连着尾巴，你只能把其中一头翻个四脚朝天才行，但要是这样的话，这头驴就没法站立了。

但你要是把这头驴从平面中拿出来，在空间中给它转个面，再把它放回去，这样两头驴就一模一样了。以此类推，右手套也可以变成左手套，只需要把它从我们的三维空间拿到四维空间中，把手套适当地转一下，再放回来就可以了。但是，我们的物理空间中没有第四个维度，所以上面描述的方法是不可能实现的。那么，有没有别的方法呢？

让我们再回到二维世界中，但这一次我们不考虑如图22所示的普通平面，而是来探究一下所谓的“莫比乌斯面（Surface of Mobius）”。它是由一百年前首次研究它的德国科学家命名的。我们很容易就能制作出这样的表面：拿一条长长的普通纸带，将纸带的一端旋转半周，然后与另一端粘在一起成为一个环形。看看图23你就知道怎么制作了。这种表面有许多奇特的性质，其中有一个很容易发现：拿一把剪刀，沿着一条与它边界平行的线（沿着图23所示的箭头）剪上完整的一圈。当然，你肯定会想，如果这样剪的话，最后这个环会被剪成两个独立的环。剪完你就会发现，你的猜想是错的：并没有出现两个环，还是一个环，只不过长度变成了原来的两倍，而宽只有原来的一半！

现在，我们看看如果让影子驴在莫比乌斯面上行走会发生什么吧。假设驴子从位置1（见图23）出发，出发时为“左侧面驴”。在图中可以清晰看到，这头驴走啊走，经过了位置2和3，最后又到达了起始点。但这时候，不仅你会感到惊讶，连驴也会惊讶自己怎么到了这么一个四脚朝天的尴尬处境（位置4）。当然，它可以翻个身，让腿着地，但这样它的朝向就又不对了。

简而言之，我们的“左侧面”驴在莫比乌斯面上走了一圈后，变成了“右侧面”驴。你别忘了，这头驴全程都没有离开表面，也没有在三维空间中翻转。因此，我们认为：在扭曲的表面上，只需要让物体通过扭曲处，就可以实现右手性和左手性物体的相互转换。图23所示的莫比乌斯面代表了另一种更普遍的曲面的一部分，那就是克莱因瓶（如图23右侧所示）。克莱因瓶只有一个面，它自我闭合且没有明显边界。如果这种面在二维曲面上可能存在，那么在我们的三维空间中就一定可能同样存在，当然，前提是空间要有适当的扭曲。在空间中想象莫比乌斯扭曲自然绝非易事，我们没办法像观察“影子驴”那样，从外部观察我们的三维空间，然而，我们身处内部又往往看不清。但是，天文空间能像莫比乌斯面那样扭曲，并且能自我闭合也并非不可能。

如果这是真的，那环绕宇宙的旅行者会带着一颗长在右侧胸腔里的心脏返回。那些手套和鞋子的制造商也许还能因此简化生产流程：他们只需要生产单只手套和鞋子，然后带着一半去环游宇宙，回来之后它们就能与另一半配成一对了。

让我们带着这个奇妙的想法，结束对不寻常空间的不寻常性质的讨论吧。 qqqcqbmAXNLC8k8GkWc8S1WPGu84vVQoFZFX+wk9O+VWggWRf7+cZ54VSfHaIwUC