第二章
自然数和人工数

1.最纯粹的数学

数学在人们眼中，尤其是在数学家眼中，被视为科学界的皇后。既然身为皇后，自然不能屈尊于其他知识分支。例如，曾经有人请大卫·希尔伯特在“纯粹数学和应用数学联合大会”上致开幕词，并希望他能化解纯粹数学家和应用数学家之间存在的敌对情绪。希尔伯特是这样开场的：

“总有人说纯粹数学和应用数学水火不容，这种说法是不正确的。纯粹数学和应用数学没有相互敌对，从来没有过，也绝对不会有。事实上，这两门学科根本无法形成敌对关系，因为它们之间有着天壤之别。”

但是，尽管数学想要保持自己的纯粹性，努力与其他学科拉开距离，但其他学科，尤其是物理，却对数学情有独钟，并尽其所能与它“亲近”。实际上，现在几乎所有纯粹数学的分支，都被用来解释物质世界中的种种特性了。甚至连曾经被认为是最纯粹，但同时也最无用的“抽象群理论”“非交换代数”“非欧几何”等，如今也都派上了用场。

然而，直到现在，数学中还有一个庞大的体系，它除了能锻炼脑力外，没有任何实质性的作用，简直可以荣获“纯粹之冠”了。这个体系就是所谓的“数论”（这里指整数），它也是纯粹数学思维中最古老、最错综复杂的产物之一。

看似奇怪的是数论，它作为最纯粹的数学，从某种意义上来说，又可以被称为经验科学，甚至是实验科学。事实上，它的大多数命题都是人们在尝试处理不同的数学问题时形成的，正如物理定律是在人们处理各类与实物相关的问题时发现的。而且，就像在物理学中一样，数论中的一些命题已“从数学上”证明为真，而另外一些仍纯粹来源于经验，也让无数卓绝的数学家们绞尽脑汁。

就拿质数问题来说吧。质数就是无法用两个或两个以上较小数字的乘积表示的数字，例如1，2，3，5，7，11，13，17，等等，都是质数 。但12就不是，因为它可以写成2×2×3。

那么，质数的数目是无穷无尽的吗？还是存在一个最大的质数，所有比它大的数都可以用几个已知质数的乘积来表示呢？这个问题最初是由欧几里得（Euclid）本人提出并论证的。他以一个简单而优美的过程，证明了质数的数目是无穷无尽的，所以并没有所谓的“最大的质数”。

为了研究这个问题，我们不妨假设已知质数的数目是有限的，并用N来代表已知最大的质数。然后我们将所有已知质数相乘并加1，得到以下形式：

（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1

上式得出的结果无疑要比所谓“最大的质数”N更大。然而，显而易见的是，这个数不能被小于或等于N的质数整除，因为从上式的形式上看，它除以其中任何一个质数都会得到余数1。

由此可知，这个数要么本身就是质数，要么一定能被比N大的质数整除。这两种可能性都与我们最初假设的“N是最大的质数”相矛盾。

这种证明方式叫作 归谬法 （Reductio ad absurdum），也叫反证法（Contradiction），是数学家们最爱用的方法之一。

既然我们已经知道质数的数目是无穷多的，那么我们就要问问自己，有什么好方法能一个不落地将所有质数按顺序排列出来呢？古希腊哲学家、数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）最先提出了一种可行的方法，叫作“筛选法”。你只需要先完整地写出所有整数序列：1，2，3，4……然后筛选出其中所有2的倍数，3的倍数，5的倍数，等等。前100个数经过埃拉托色尼筛选后，情况如图9所示，一共还有26个质数。通过上述的简便的筛选法，我们已经建立了10亿以内的质数表。

不过，如果能设计出一种专门推算质数的公式，并且它能自动而迅速地完成其推算过程，那该有多方便哪。但是，尽管数世纪以来人们一直在努力，但还是没有找出这样的公式。在1640年，法国著名数学家费马（Fermat）认为他设计的公式计算出的结果一定都是质数。

在他的公式 中，n取连续自然数1，2，3，4……

将n值代入后得到：

事实上，每个公式得出的结果的确都是质数。但就在费马将其公式公布一个世纪后，德国数学家欧拉（Euler）指出在费马公式的第五个式子中， 的结果4，294，967，297不是质数，而是6，700，417和641的乘积。这证明了费马用来计算质数的经验公式是错误的。

还有一个公式值得一提，用它也能计算出很多质数：

n ² -n+41

式中n也取1，2，3，4……这个公式在n取1到40之间的数时，计算结果全部都是质数，但很可惜，当n取41时，公式的结果就相差甚远了。

实际上：

41 ² -41+41=41×41

结果这是一个平方数，而不是质数。

除此之外，人们还试过另外一个寻找质数的公式：

n ² -79n+1601

同样，n小于79时结果都是质数，但到了80就不行了。

因而，直到现在还尚未得到仅能算出质数的通用公式。

还有一个关于数论的命题也十分有趣，自1742年提出至今，既没有人能证明也没有人能推翻，这个命题就是著名的“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture）。即： 任何一个偶数，都可以表示为两个质数之和。 通过几个简单的等式，你很容易发现这句话是对的，例如：12=7+5，24=17+7，32=29+3。但是，尽管历代数学家们为此猜想呕心沥血，但其正确性依旧无法得到确切的证明，而且也找不出任何反例来推翻它。直到1931年，苏联数学家施尼雷尔曼（Schnirelman）才首次朝着哥德巴赫猜想的最终证明迈出了建设性的一步。他证明了 任何一个偶数，都可以表示为不超过300，000个质数之和。 几年之后，另一位苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）又证明了“任一偶数都可以表示为四个质数之和”，这大大缩短了施尼雷尔曼所证明的“不超过30万个质数之和”与猜想中的“两个质数之和”之间的距离。然而，从维诺格拉多夫的“四个质数”走到哥德巴赫的“两个质数”，这最后两步难于登天。谁也不知道证明或推翻这个难题还要多久，究竟是短短几年，还是漫长的几个世纪呢？

由此看来，得到能自动生成任意大质数的公式这一目标，对我们还很遥远，况且这个公式的存在与否，也没有人能说得准。

现在，我们不妨思考一个更简单的问题：在给定数值区间内，质数所占的百分比是如何变化的。随着数值区间的不断增大，这个百分比会不会趋近于一个常数？不会的话，它是会增加还是会减少呢？我们可以通过统计数表中质数的个数，然后凭经验来回答这个问题。利用这种方法，我们统计出小于100的质数有26个，小于1000的质数有168个，小于1，000，000的质数有78，498个，小于1，000，000，000的质数有50，847，478个。然后，用质数的个数除以其对应的数值区间，得到的表格如下：

首先，这张表表明，随着数值区间的扩大，质数的相对数目逐渐减少，但不存在质数数目减少为零的情况。

那么，有没有一种简单的数学形式，可以表示这种随着数值区间的增大，质数所占比例减小的现象呢？答案是肯定的，质数的平均分布规律可谓是整个数学领域最卓越的发现之一。它可以简单表述为： 在从1到N（N取任意大于1的数）的数值区间内，质数所占的比例约等于N的自然对数 ^[1] 。并且N越大，这两个值越接近。

上述表格的第四列即为N的自然对数的倒数。如果你将其与第三列数进行对比，你会发现它们之间的差值很小，并且N越大，差值越小。

同数论中的许多命题一样，上述的质数定理最初也是凭经验提出的，并且在之后很长一段时间内都未得到严格的数学证明。直到上世纪末，法国数学家阿达马（Jacques Hadamard）和比利时数学家普森（de la Vallée-Poussin）才成功将其证明。由于证明过程过于复杂，这里就不做解释了。

对整数的讨论当然少不了著名的费马大定理（Great Theorem of Fermat），我们可以拿它作为例子，来聊一些与质数性质没有必然联系的问题。这个故事的根源，还要从古埃及讲起，那个时候，手艺好的木工都知道，如果一个三角形的三边长度比例为3:4:5，那么其中一定有一个直角。事实上，现在这样的三角形被称为“埃及三角形”（Egyptian triangle），古埃及人就是拿它当木工尺的。 ^[2]

公元3世纪时，来自亚历山大的丢番图 （Diophantes）开始进一步思考这个问题：除了3和4之外，还有没有这样两个整数的平方和等于第三个整数平方的情况。后来他证明了具有同样性质的整数是存在的（事实上，这样的整数有无数个），并且给出了计算这些整数的法则。现在，这种三条边长都是整数的直角三角形被称为“毕达哥拉斯三角形”，而埃及三角形就是第一个毕达哥拉斯三角形。毕达哥拉斯三角形的构建，可以通过简单的代数方程实现，其中x、y和z必须是整数 ^[3] ：

x ² +y ² =z ²

1621年，费马在巴黎买了一本丢番图所著的《算术》（ Arithmetica ）的法译版，其中就探讨了毕达哥拉斯三角形。他在阅读时，在页边空白处做了个简短的笔记：方程x ² +y ² =z ² 有无数个整数解，而形如：

x ⁿ +y ⁿ =z ⁿ

这样的方程，当n大于2时，便不会有整数解。

费马其后又继续写道：“我想到了一个绝妙的证明方法，可惜这里的空白太窄了，写不下。”

费马死后，人们在他的图书室里找到了那本丢番图的书，页边上的笔记也因此公之于世。这已经是3个世纪之前的事了，自此以后，世界各地顶尖的数学家们都试图重现费马笔下的证明过程，但直到现在也没人能成功。当然，人们已经在追求证明费马大定理这一终极目标的过程中取得了很大的进展，一个号称“理想论”的全新数学分支也应运而生。欧拉证明了等式x ³ +y ³ =z ³ 和x ⁴ +y ⁴ =z ⁴ 不存在整数解；狄利克雷（Dirichlet）证明了等式x ⁵ +y ⁵ =z ⁵ 不存在整数解。凭借数位数学家的共同努力，现在已经证明：当取任意小于269的数时，费马的等式不存在整数解。然而，对指数n取任意值都成立的一般证明仍尚未得出。 越来越多的人怀疑，费马本人要么也没能做出证明，要么就是证明过程出了差错。那时，有人悬赏10万马克以寻求答案，这个问题也因此备受关注，而那些求财的门外汉自然是毫无所成了。

当然，这个定理仍然可能是错误的，只需要找到两个整数的某次幂之和等于第三个整数的同次幂就可以了。但这样的例子得在指数大于269的情况下找，这可不是件容易事啊。

2.神秘的

现在，让我们来做点高等算术。二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五。因此四的算数平方根是二，九的算术平方根是三，十六的算术平方根是四，二十五的算数平方根是五。 ^[4] 那么，负数的算术平方根是什么样的呢？形如 和 这样的表达有什么意义？

如果你按正常思路去考虑这个问题的话，得到的结果无疑将是：上面的根式没有任何意义。引用12世纪数学家婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话来说：“正数和负数的平方都是正数，因此正数的平方根有两个，其一为正数，其二为负数。而负数没有平方根，因为负数不是平方数。”

但是数学家们都是倔脾气，如果公式中总冒出一些似乎不合常理的东西，那他们一定会用尽全力把这些东西变得合理。而负数的平方根就是这样，不管是在以往数学家们研究的简单问题中，还是在20世纪相对论的框架下，空间和时间的统一问题里，都少不了它的身影。

第一个在公式中用到这一明显无意义的负数平方根的勇士，是16世纪意大利数学家卡当（Cardano）。在探讨将数字10分为两部分（两部分乘积为40）的可能性时，他表示，尽管这个问题没有任何合理的解决方案，但可以通过 和 这两个荒谬的式子实现。 ^[5]

卡当对这两个式子持保留意见，因为它们毫无意义，是虚构和想象出来的，尽管如此，他还是把它们写了下来。

既然有人敢于把负数的平方根写出来，虽说是虚构的，但的确做到了把数字10分成乘积为40的两部分。有了第一个吃螃蟹的人，负数的平方根也就是卡当口中的虚数，被各种数学家越来越频繁地使用，尽管使用的时候都带着极大保留和种种借口。在德国著名数学家欧拉（Euler） 于1770年出版的代数著作中，我们发现了大量虚数的应用，然而，他又发表了这样的评论：“所有形如 ， 的数，都是不存在或是虚构的，因为它们表示的是负数的平方根，对于这些数，我们只能断言，它们不是零，即不比零大，也不比零小，它们是虚无的。”

尽管受到这么多的指责和非议，但虚数很快就在数学中变得和分数或根式一样不可或缺，如果不用它的话，可谓是寸步难行。

可以说，虚数代表了实数在镜子里的幻象，并且，正如我们可以从基数1开始得到所有实数一样，我们也可以从虚数的基本单位 得到所有虚数， 通常用符号i表示。

不难看出， ，如此看来，每一个实数都有一个对应的虚数。也可以将实数和虚数结合起来成为一个表达式，就像卡当初创的 。像这样的混合形式通常被称为复数。

自虚数闯进数学领域以来，足足两个多世纪，一直披着一层神秘而奇妙的面纱，直到两个业余数学家对虚数进行了简单的几何解释后，这张面纱才被揭开。这两个人分别是：挪威测量师韦赛尔（Wessel）和巴黎会计师罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。

根据他们的解释，例如复数3+4i，可以如图10所示，其中3对应水平方向上的距离，4对应垂直方向或纵轴上的距离。

事实上，所有普通实数（正数或负数）都可以用横轴上相对应的点来表示，而所有虚数都可以用纵轴上的点来表示。当我们将横轴上的实数3乘以虚数单位时，我们就得到位于纵轴上的纯虚数3i。因此，一个数乘以i，相当于在几何上逆时针旋转90°。（见图10）

假如我们将3i再乘以i，点的位置就得再逆时针转90°，又回到了横轴上，不过是位于负轴那边了。因此：

3i×i=3i ² =-3，i ² =-1

这样一来，“i的平方等于-1”这个说法比“旋转90°（都是逆时针旋转）两次后就得到相反的方向”好理解得多了。

这个规则也适用于复数，将3+4i乘以i得到：

（3+4i）i=3i+4i ² =3i-4=-4+3i

从图10中立刻就能看出，点-4+3i是点3+4i绕原点逆时针旋转90°后得到的对应点。同理，如图10所示，一个数乘以-i就相当于将此点绕原点顺时针旋转90°。

如果你还是觉得虚数披着一层神秘面纱，那么，解决一个有关虚数实际应用的问题，应该能帮你揭去这层面纱。

曾经有一个富有冒险精神的年轻人，他在曾祖父的文稿中发现一张羊皮纸，上面记录了一处神秘宝藏的位置。内容如下：

“乘船到北纬________，西经________ ，你会看到一个荒岛。岛的北岸有一大片开阔的草地，草地上孤零零地长着一棵橡树和一棵松树。 ^[32] 在那还有个绞刑架，那是以前我们用来吊死叛徒的地方。从绞刑架出发，朝着橡树走，并记住走的步数。走到橡树后向右转90°，再走同样的步数后，在地上插一根木棍。现在重新回到绞刑架，然后朝着松树走，并记住走的步数。然后走到松树后向左转90°，再走同样的步数后，再在地上插上一根木棍。在两根木棍正中间开挖，就能找到宝藏。”

藏宝图上的指示非常明确，所以这个年轻人租了条船，便往南海驶去。他找到了这座小岛，也看到了草地、橡树和松树，而让他失望的是，绞刑架不见了。原来，时间过去太久了，木头在风吹日晒雨淋下，早已腐朽成土，一点痕迹也看不出了。

我们这位年轻的冒险家陷入了绝望，然后愤怒地开始在草地上乱挖。但这一切只是白费力气，因为这个岛实在太大了！于是他只能两手空空地回去了。那宝藏说不定现在还在那呢。

这是个令人悲伤的故事，但更令人悲伤的是，如果这个年轻人懂点数学，尤其是虚数的用法，他可能就找到宝藏了。我们来看看能不能帮他找到宝藏，虽然对于他来说已经为时太晚了。

将这个岛看作是一个复数平面，过两棵树做一条坐标轴（实数轴），再过两棵树连线的中点作一条垂直于实数轴的坐标轴（见图11）。用两树距离的一半作为单位长度，这样，橡树位于实数轴的-1处，松树位于实数轴的+1处。我们不知道绞刑架的位置，因此假设其位置并用希腊字母Γ（大写伽马）表示，这个字母还挺像个绞刑架。因为绞刑架的位置不一定在两个坐标轴上，所以必须将Γ设为复数：Γ=a+bi，图11中解释了a和b的意思。

现在，让我们来做一些简单的计算，同时，不要忘了上面讲的虚数乘法规则。假如绞刑架位于Γ处，橡树位于-1处，那么两者的距离和方位可以表示为：（-1）-Γ=-（1+Γ）。同理，绞刑架和松树的间距表示为：1-Γ。按照前面的法则，想要将这两段距离分别顺时针旋转（向右旋转）90°和逆时针旋转（向左旋转）90°，我们需要分别用-i和i与之相乘。这样一来，就得到两根木棍应插的位置了：

第一根：（-i）[-（1+Γ）]+1=i（Γ+1）+1

第二根：（+i）（1-Γ）-1=i（1-Γ）-1

既然宝藏位于两根木棍中间，我们就必须计算出上面两个复数的和的一半。如下：

现在我们可以看到，表示绞刑架的未知位置Γ在计算过程中被消掉了，不管绞刑架现在在哪，宝藏的位置一定在+i。

所以，如果我们这位年轻的冒险家会做这么一点数学计算的话，也用不着把整个岛都挖个遍，他只需在图11中叉号所示的位置挖，宝藏就能找到了。

如果你还是不相信找到宝藏，可以完全不需要知道绞刑架的位置，那么你可以找张白纸，在纸上标出两棵树的位置，再为绞刑架标几个不同的位置，然后按照羊皮纸上的指示寻找宝藏。最后你会发现，无论绞刑架的位置如何，宝藏的位置一定都在平面上+i的地方。

利用-1的平方根这个虚数，人们还发现了另一个宝藏，那就是我们所处的三维空间和时间能够相互结合，从而形成一幅符合四维几何规律的四维图景。不过这个发现，我们将在下一章讨论爱因斯坦的思想和他的相对论时，再做详细讲解。

[1] 简单来说，自然对数也可以由表中的常用对数（log ₁₀ N）乘以2.3026来表示。

[2] 小学几何课本中，由毕达哥拉斯定理可得：
3 ² +4 ² =5 ²

[3] 通过丢番图提出的一般规则（取任意a和b，且2ab是完全平方数。 。那么通过普通代数方法即可证明：x ² +y ² =z ² ），我们可以列出所有可能性，前面的几个为：
3 ² +4 ² =5 ² （埃及三角形）
5 ² +12 ² =13 ²
6 ² +8 ² =10 ²
7 ² +24 ² =25 ²
8 ² +15 ² =17 ²
9 ² +12 ² =15 ²
9 ² +40 ² =41 ²
10 ² +24 ² =62 ²

[4] 得到其他数的算术平方根也很容易。例如： 。

[5] 计算如下：
4OPkqjjUmjMMEXyxwI5XWRFarsIqHwz9kvTHzm8sXxLHVJvf9YaKTDM5m4ZxA1o4