第一章
大数

1.你能数到多大？

有这样一个故事，两个匈牙利贵族决定要玩儿一个数字游戏——谁说的数字最大谁赢。

其中一人说：“来吧，你先说个数吧。”

经过几分钟的苦思冥想后，另一个贵族终于说了一个他能想到的最大的数：

“三。”

现在轮到第一个人思考了，他搜肠刮肚有一刻钟，但最后还是放弃了。

他同意道：“你赢啦！”

当然，这两个匈牙利贵族表现出的智商并不高 ，而这个故事也可能只是对他们的恶意中伤，但如果这两个人不是匈牙利人，而是霍屯督人 ，那这样的对话就可能真的存在过。根据一些非洲探险家的说法，我们确实发现在许多霍屯督部落的语言中，没有比三更大的数字。如果你去问部落里的某个土著有几个儿子，或是他杀过几个敌人，那么要是数字大于三，他就会回答“很多个”。因此，在数数方面，再勇猛的霍屯督战士也比不过美国幼儿园的小孩儿，他们都能数到十呢。

现如今我们已经习惯性地认为，我们想写出多大的数就可以写出多大的数，无论是以美分计算战争开支，还是用英寸表示恒星之间的距离，只需要在某个数后面添上一堆零就可以了。你可以一直添零，直到手指发酸。不知不觉中，这个数就比宇宙 中所有原子数目总和还要大了，顺便一提，目前已知宇宙中一共有300，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000个原子。

或者你可以将它简写为：3×10 ⁷⁴ 。

这里10右上角的数字“74”表示3后面必须写出74个零，或是3乘以10的74次方。

但是在古代，人们并不知道这种“算术简写”法。实际上，这种方法是在距今不到两千年前由一个不知名的印度数学家发明的。在这个伟大发明——这确实是个伟大的发明，尽管我们通常没有意识到这点——出现之前，数字中的每位有专门的符号来表示，该位上的数字是几，这个符号就重复写几次。例如，古埃及人是这样写8732的：

而在恺撒（Caesar）的皇宫里，他的办事员会将其写成这种形式：

后面这种符号你肯定很熟悉，因为罗马数字仍能不时地派上用场——用来表示书的卷数或章节，或是在一块浮华的纪念碑上记载历史事件发生的日期。然而，因为古代对于计数的需求不会上万，所以不存在表示千位以上的符号。而假如要求一个古罗马人写出“一百万”，不管其在算术方面造诣有多深，他都会尴尬得不知所措。但为了达到要求，最好的方法也只能是连续写下一千个M，这可够他好几个小时忙碌了（见图1）。

对于古人来说，那些像天上星星的个数，海里游鱼的条数，沙滩上沙粒的粒数等都“数不胜数”，就像对于霍屯督人来说“5”也“数不胜数”，因而只能说成“许多”了。

公元前3世纪的著名科学家阿基米德（Archimedes），曾开动脑筋想出了写出特别大的数字的办法。在他的论著《数沙者》（ The Psammites 又称 Sand Reckoner ）中，阿基米德写道：

有人认为沙子的数目是无穷无尽的，而我所说的沙子，可不仅仅指在叙拉古 和西西里岛（Sicily）其他地方的沙子，而是指地球上所有的沙子，不管是在有人居住的地方还是在无人区。还有些人认为，这个数目并不是无穷大的，但同时也觉得没办法将比地球上沙子的数目还大的数表达出来。很显然，那些持有这种观点的人，如果让他们想象一个和地球一般大小的沙堆，并将其所有的海洋和洞穴都填满沙子，填到和最高的山峰齐平，他们会更加肯定地说，比这些沙子数目还大的数是不可能被表达出来的。但我想说的是，我不仅可以表达出堆得如地球般大小的沙子的数目，甚至还可以表达出填满宇宙那么多沙子的数目。

阿基米德表达大数的方法和现代科学中表达大数的方法非常相似，他从当时希腊算数中所存在的最大的数“万”（myriad）开始，接着他引入一个新的数字“万万”（octade），称其为亿，也叫第二级单位，然后是“亿亿”（千万亿）作为第三级单位，“亿亿亿”作为第四级单位，等等。

写大数似乎是件无关紧要的事情，没必要花几页篇幅来介绍，但在阿基米德的时代，找到写大数的方法，的确是个伟大的发现，也是数学向前迈出的重要一步。

然而要想知道填满宇宙到底要用多少粒沙子，阿基米德首先得知道宇宙究竟有多大。那个年代，人们认为宇宙是一个镶着星星的水晶球，和阿基米德同代的著名天文学家，萨摩斯 的阿利斯塔克（Aristarchus）估算了地球到宇宙边缘的距离，大约有10，000，000，000斯塔德 ，约1，000，000，000英里。

阿基米德先将宇宙的大小与一粒沙子的大小做了对比，然后进行了一系列足以让高中生做噩梦的运算后，得出了以下结论：

很明显，在阿利斯塔克所估算的宇宙球中，能容纳的沙粒的数目不会超过一千万的第八级单位。 ^[1]

这里大家可能会注意到，阿基米德估算的宇宙半径要远小于现代科学家所估算的半径。在我们的太阳系中，十亿英里仅比地球与土星之间的距离稍长一点。在后面我们将看到，现如今在望远镜的帮助下，人们对宇宙的探索已达5，000，000，000，000，000，000，000英里，那么填满整个可见宇宙所需要沙子的数目将会超过：

10 ¹⁰⁰ （即1后面加上100个零）。

显而易见，这个数要远大于宇宙中所有原子的数目，即本章开头提到的3×10 ⁷⁴ 个，这是因为我们的宇宙并非密密麻麻地塞满了原子。事实上，宇宙中平均每立方米中仅有约一个原子。

但为了得到一个足够大的数，我们大可不必把整个宇宙都塞满沙子。实际上，它们常常存在于一些乍一看很简单的问题中，而你事先绝对想不到，其中会出现大于几千的数字。

印度的舍罕王（King Shirham）就在大数上吃了亏。根据一则古老的传说，舍罕王因为宰相西萨·班·达依尔（Sissa Ben Dahir）发明并进贡了国际象棋，想要重赏他。这位聪明的宰相想要的似乎很简单，他跪在国王面前：“陛下，在这个棋盘上的第一格，请赏我一粒麦子，第二格两粒，第三格四粒。陛下啊，就像这样，后面每一格小麦的数目都是前一格的两倍，用小麦把整个棋盘64个格子放满之后，就是全部赏给我的。”

国王感叹道：“爱卿啊，你的要求还真不高。”国王心中暗喜自己不会因为给这个神奇游戏的发明者慷慨赏赐而消耗太多财力。“你一定会如愿以偿的。”随后，他命人拿了一袋小麦放在王座边上。

开始数麦子了，舍罕王往第一个格子里放了一粒麦子，第二格放两粒，第三格放四粒，以此类推，但还没等放到第二十格，这一袋小麦就用完了。舍罕王又命人拿来几袋麦子，但他很快发现，接下来每格里应放麦子的粒数比起前一格陡然增加了，这样下去即使把全印度的小麦拿来，也不够用来兑现他给西萨·班·达依尔的承诺。因为想要放满整个棋盘的话，足足需要18，446，744，073，709，551，615粒小麦！ ^[2]

这个数虽不比宇宙中所有原子的数目，但是也不算小了。假设一蒲式耳小麦有5，000，000粒，那么要满足西萨·班·达依尔的请求，得需要近4万亿蒲式耳小麦。然而全世界小麦平均年产量大概才有2，000，000，000蒲式耳，这就是说，一共需要全世界约两千年的小麦产量才能满足宰相的胃口！

如此一来，舍罕王发现自己已经欠了宰相一大笔钱，他要么今后忍受宰相三天两头来讨债，要么直接砍掉他的脑袋。我猜他应该是选择了第二种方法。

还有一个由大数出演主角的故事也来自印度，其内容和“世界末日”的问题有关。迷恋数学的历史学家鲍尔（W.W.R.Ball）是这样讲述这个故事的：

在贝拿勒斯神庙，有一块象征着世界中心的穹顶，穹顶之下安放着一个黄铜盘子，盘子里插着三根金刚石针，每根有一肘之高（一肘约20英寸），如蜜蜂身体一般粗细。上帝在创世时，在其中一根针上放了六十四个纯金圆盘，最大的贴在黄铜盘子上，其他的依次往上，并越来越小，一直到针的顶端。而这就是梵天塔（Tower of Brahma）。神庙的僧侣夜以继日地将金盘在这三根针之间移来移去，根据梵天不变的法则，僧侣每次只能移动一个金盘，且金盘必须放在某根针上，还要确保大金盘总是在小金盘下面。当六十四个金盘全部从上帝创世时放的那根针上移动到其他针上时，梵天塔、神庙及众生都将化为灰烬，整个世界将在一声霹雳中消失不见。

图3所描绘的就是故事中的内容，只是其中金盘的数量没那么多而已。你也可以用纸板代替金盘，长铁钉代替印度神话中的金刚石针，来制作一个这样的益智玩具。观察金盘在三根针之间的移动方式，我们不难发现其中是有规律可循的，即每个金盘需要移动的次数都是上一个的二倍。第一个金盘需要移动一次，而下面金盘需要移动的次数呈几何倍数增长，这样一来，当移完第64个金盘时，移动的次数就和西萨·班·达依尔要求的麦子粒数一样多啦！ ^[3]

那么把梵天塔中的64个金盘从一根针全部移到另一根针上需要多久呢？如果那位僧侣移动一个金盘要一秒钟，全年31，558，000秒来算的话，则需他夜以继日，中间不停顿也不休息地干上5800多亿年才能移完。

拿传说中预言的宇宙周期来和现代科学所推算的进行比较还是很有意思的。根据目前宇宙演化的相关理论，恒星、太阳和行星（包括我们的地球），都是在大约30亿年前由不成形的物质构成的。我们也知道现在为恒星，特别是为我们的太阳提供能量的“原子燃料”，还可以维持100亿到150亿年（参见章节：创生之日）。因而，我们的宇宙总生命周期不会超过200亿年，更不可能达到印度传说中所预测的5800亿年啦！当然，那毕竟只是个传说而已。

文学作品中曾提及的最大数，可能就出自大名鼎鼎的“印刷行数问题”。假如我们制造了一台印刷机，这台印刷机可以连续打出一行又一行的字符，且能在每一行自动将字母和符号随机排列，得到与其他行不同的组合。这样的机器包含数个圆盘，每个圆盘的外缘上都刻满了字母和符号。把这些圆盘按汽车上里程表那样的形式装配起来。这样一来，每个圆盘转动一整圈，就会带动下一个圆盘转动一个字符。纸张随着印刷机转动被自动送出，每转一下，一行文字就打印出来了。制造这样的印刷机没有太大难度，这种机器的外观如图4所示。

让我们启动印刷机，并观察这一行行由印刷机源源不断印出的字符吧。在印出的一行行字符中，绝大部分都毫无意义。它们看起来像下面这样：

“aaaaaaaaaaa……”

或者

“boobooboobooboo……”

再或

“zawkporpkossscilm……”

但既然印刷机可以印出所有可能的字母和符号的组合，那么我们就能在这堆没有意义的垃圾中找到一些正常的句子。当然，其中很大一部分也是驴唇不对马嘴的：

“马有六条腿和……”

或是

“我喜欢吃松节油炒苹果……”

但仔细翻翻也能尽数找到莎士比亚（Shakespeare）写过的著作，甚至连他扔进废纸篓里的内容都看得见呢！

事实上，这样一台自动印刷机能印出囊括自人类学会写字以来的所有东西：每一行散文，每一句诗歌，报纸上的每一篇社论和每一则广告，每一本冗长的科学论文，每一个订牛奶的便条……

此外，这台印刷机还能印出未来各个世纪中要印出的所有东西。在印刷机卷轴飞转送出的纸上，我们能看到来自30世纪的诗歌，未来的科学发现，第500届美国国会上的演讲稿和2344年全年行星际交通事故发生的起数，还会有一篇篇未被创作出来的故事和小说，要是出版商的地下室能有这么一台机器，他们只需要在一大堆的垃圾中找到好文进行编辑就好啦——这和他们现在做的工作也差不多。

那么为什么没人这样做呢？

首先，让我们算一算，用印刷机印字母和符号的所有可能组合时，需要多少行才能印完。

英文字母有26个，数字10个（0、1、2……9）和常用符号14个（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、中括号、小括号、大括号），一共50个字符。然后，我们假设印刷机有65个轮盘，对应着每次印刷行中的65个字符位置。印刷时，一行的开头可能是任何一种字符，因此一共有50种可能性，第二个字符位置也会有50种可能性，也就是说一共有50×50=2500种可能性。但是，对于前两个字符的每一种组合，仍有50种字符来供我们选择并放入第三个字符位置，以此类推。所以这样下去每行的全部可能性有：

为了感受这个数字到底有多大，我们可以假设宇宙中每一个原子都是一台印刷机，这样就有3×10 ⁷⁴ 台印刷机在同时工作。我们还可以进一步假设所有的印刷机自宇宙起源起，一刻不停地工作到现在，工作时间长达30亿年（或是10 ¹⁷ 秒），如果打印的速度按原子的震动频率来算，也就是每秒打印10 ¹⁵ 行，那么到现在，这些印刷机已印出了约3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶ 行——这仅仅占了所有可能性的三千分之一左右。

没错，看来在这些自动打印出的材料里挑上几句，确实需要花费相当长的一段时间。

2.无穷大的数该如何计数？

在上一节里，我们讨论了许多相当大的数。但是，尽管这些巨数（比如西萨·班·达依尔要求国王赏赐的麦子粒数）已经大得令人难以置信，然而它们的数值还是有限的，如果时间足够多的话，是可以将其写到最后一位的。

但是，确实还存在一些数值无穷大的数，而且不管我们花费多长时间，也写不出比它们更大的数。这个“所有数字的个数”无疑是无穷大的。同样，一条线上所有几何点的个数也是无穷大的。那么我们对于这样的数，除了能说它们是无穷大的，还能做何解释呢？比如说，有没有这种可能：拿两个无穷大的数做比较，看看哪个更大？

“所有数字的个数与一条线上几何点的个数之间孰大孰小？”这样的问题究竟有没有意义？这种初看起来显得有些荒诞的问题，最初是由著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）想到的，称他为“无穷大数算术”之父可谓实至名归。

如果我们想知道无穷大数之间的大小关系，那么就会有个难题挡在我们面前——我们既没办法描述无穷大数，也没办法将其写出来。此时我们的处境和一个想要弄清楚宝箱里究竟是玻璃珠多，还是铜币多的霍屯督人差不多。你还记得吧，他们最大只能数到3。难道仅因为数不清珠子和铜币的数目，就要他放弃比较吗？当然不是了。如果他的脑袋足够灵光，他就会通过将珠子和铜币挨个比较来得到答案。他可以将一个珠子和一枚铜币放在一起，再将另一个珠子和另一枚铜币放在一起，这样一直放下去……如果珠子用完后，还剩下一些铜币，那么他就会知道铜币比珠子多；而如果铜币用完后，还剩下一些珠子，他就知道珠子比铜币多；假如珠子和铜币同时用完，他就明白珠子和铜币的数量是相同的。

康托尔所提出的比较两个无穷大数的方法，与上述方法如出一辙：如果我们能将两组无穷大数列中的每个数一一配对，且在配对之后，两组数列中都没有多余的数字，那么这两个无穷大数就是相等的。如果无法将每个数一一配对，即某一数列中有多余的数字，那么我们称这组无穷大数比另一组更大，或者说更强。

这显然是比较无穷大数最合理的，实际上也是唯一可行的方法，但在我们真正要将此方法付诸实践时，还得做好大吃一惊的准备。举个例子，偶数和奇数都是无穷多的，你会自然而然地觉得，有多少偶数就会有多少奇数，这也与上述法则一致，因为这两种数字可以做到一一配对：

在这个表中，每个奇数都有一个偶数与之对应，反之亦然。因此，偶数和奇数的个数是相等的。仿佛一切都顺理成章。

但是，不要着急，所有数字的个数（包括奇数和偶数）与偶数的个数，你觉得哪个大呢？你肯定会说，当然是所有数字的个数大了，因为所有数字即包括偶数和奇数。但这只是你的印象而已，为了得到准确的答案，你得用上述法则来比较两个无穷大数。然而，如果你应用了这个法则，你会惊讶地发现，原来你的印象是错误的。事实上，下面就是所有数字和偶数的一一对应表：

根据比较无穷大数的法则，我们不得不承认，偶数的个数和所有数字的个数是相等的。当然，这个结果看起来相当怪诞，因为偶数仅代表所有数字中的一部分。但是，别忘了我们是在和无穷大数打交道，必须要做好应对其不同寻常的性质的准备。

事实上，在无穷大的世界里，部分可能与全部相等！这一点以德国著名科学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）生平的一则故事来阐述是最好不过的了。据说他在一场关于无穷大数的讲座上，这样描述无穷大数自相矛盾的性质：

“我们来设想一家旅馆，这家旅馆有若干个房间，并且所有的房间都有人住。这时又来了一位住客，他也想要一间房，旅馆老板只能说：‘不好意思，已经没有空房了。’现在我们再设想另外一家旅馆，这家旅馆也有无数个房间，并且所有房间也都有人住。此时也来了一个新住客，想要开一间房。

“老板应道：‘当然可以！’接着，老板将一号房间中的住客移至二号房间，二号房间的住客移至三号房间，三号房间的住客再移至四号房间，以此类推……最后，经过这一番转移，一号房间就空了出来，新住客也就可以入住了。

“我们还来继续设想一家旅馆，这家旅馆同样也有无数个房间，且都住满了人，这时又来了无数个新住客，都想要开一间房。

“老板说：‘没有问题，先生们，请稍等一会。’

“接着，他将一号中的住客移至二号，二号的住客移至四号，三号的住客移至六号，如此等等。

“这样一来，所有的奇数号房间就都空出来了，这些无数个新住客就可以轻松入住啦。”

然而，这个讲座举行时正值战争时期，所以即使是在华盛顿，希尔伯特讲的这个故事也没那么容易为人所理解。但这个故事确实说明了一点，即在与无穷大数打交道时，我们将遇到一些与我们所熟悉的普通算术截然不同的性质。

按照康托尔的比较两个无穷大数的法则，我们还能证明所有普通分数（如 或 ）和所有整数的个数是相等的。事实上，我们可以按以下规则将所有分数排成一列：先写第一个分数，这个分数的分子和分母之和为2，这样的分数只有一个： ；再写出分子分母之和为3的分数： 和 ；接着写分子分母之和为4的分数： ， ， 。以此类推，按照这个写法，最终我们将得到一个无穷多的分数列，它包含了所有我们能想到的分数（见图5）。接下来，在这个分数列上方写下整数列，这样就可以得到无穷分数与无穷整数的一一对应关系。因此可知，它们的数量是相等的！

你可能会说：“好吧，这些的确都挺精彩的，但这难道不意味着所有无穷大数都是相等的吗？如果是这样的话，那比较他们的大小又有什么用呢？”

不，事情并不是这样的，我们可以轻易地找到比所有整数和所有分数构成的无穷大数要大的无穷数。

事实上，如果我们重新审视本章之前提出的问题（一条线上点的数目和所有整数的个数做比较），我们会发现这两种无穷大数是不同的。一条线上点的个数要远大于整数或分数的个数。想要证明这句话，我们可以试着建立线段上的点（取1英寸长）与整数列之间一一对应的关系。

线段上每一个点，都由其到线段终点的距离来区分，这个距离可以写成无穷小数，比如0.7350624780056……或0.382503756 32…… 这样我们要比较的就是所有整数的个数和可能存在的无穷小数的个数。那么问题来了，上述的无穷小数和普通分数（如 或 ）有什么区别呢？

你一定还记得在算术中，每一个普通分数都能化为无穷循环小数。比如 。 前面我们既然已经证明了所有普通分数和所有整数的个数是相等的，那么，所有循环小数和所有整数的个数肯定也是相等的。但是循环小数并不能完全代表一条线上所有的点，而且多数情况下，无穷分数化成小数后都是不循环的。很明显，在这种情况下，想要建立起一一对应的关系是不可能的。

假如有人声称已经建立起了这样的对应关系，那么其对应关系也要如这样：

当然，想一一写出无穷多的数字和无穷多的小数是不可能的，上述的对应关系只是意味着，这张表的作者是按某种法则（类似我们之前排列普通分数时用的法则）制作这个表的。这个法则保证了表中每一个可能存在的小数，或早或晚都会出现。

然而，我们可以轻易证明这种对应关系是站不住脚的。因为，我们随时都能写出这张表里不存在的无穷小数。那么要怎么写呢？很简单！只需在第一个小数位上写与表中第一个小数第一位不同的数，第二个小数位上写与第二个小数第二位不同的数，以此类推。那么写出的数应该是这样：

并且无论如何，你在表中都是找不到这个数字的。如果制作这张表的作者告诉你，你写的这个小数就在表的第137行（或者其他任意一行），你可以马上回应：“不，这两个小数不相同，因为我写的这个小数的第一百三十七位与表中小数的第一百三十七位不一样。”

由此说明，一条线上的点与整数之间是无法建立一一对应关系的，这也表明了： 代表一条线上所有点的无穷大数要大于（或强于）代表所有整数或分数数目的无穷大数。

我们一直在讨论一条线段（1英寸长）上的点，但根据“无穷大数算术”的规则，我们可以轻易证明无论这条线段有多长，这个结论都是成立的。 事实上，无论这条线段是一英寸长还是一英尺长，就算是一英里长，它上面点的数目也都是一样的。 为了证明这个结论，请看图6，图中比较了AB和AC这两条不同长度线段上点的数目。为了建立这两条线段上点之间一一对应的关系，我们可以过AB上的点作BC的平行线，并与AB相交，产生许多组交点如D和D'，E和E'，F和F'，等等。AB上的每个点在AC上都有个点与之对应，反之亦然。因此，根据无穷数的法则可知，这两个代表点数的无穷大数是相等的。

通过对无穷大数的分析，还可以得到一个更为惊人的结论： 平面上的所有点的数目和一条线上所有点的数目也是相等的。 要证明这一点，我们可以画一个线段AB（1英寸长）上的点和正方形CDEF（边长一英寸）内的点（见图7）。

假设，已知一点的具体位置（如距A点0.75120386……英寸）。我们可以将小数按偶数分位和奇数分位挑出，并重新组成两个不同的数。我们可以得到：

0.7108……

和：

0.5236……

然后在正方形中，分别按水平和垂直两个方向量出上述距离，这样就能得到一个点，我们称这个点为线段上原始点的“偶点”。反之亦然，如果正方形中有一个点，其位置为下面两个数：

0.4835……

和

0.9907……

那么，通过组合这两个数，我们就能得到其在线段上相应的“偶点”的位置：

0.49893057……

很明显，这个过程建立了两组点一一对应的关系。线段上的每个点在正方形中都有与之对应的点，同样，正方形中的每个点在线段上也都有与之对应的点，并且没有落下一个点。因此，根据康托尔的标准，正方形内代表点数的无穷大数与线段上代表点数的无穷大数是相等的。

用类似的方法我们也能轻易证明，正方体内代表点数的无穷大数与其在正方形里或在线段上代表点数的无穷大数是相等的。为此我们只需要将原始小数的分位分成三部分 ^[4] ，然后利用这三个小数去确定正方体中“偶点”的位置。并且，正如两条不同长度的线段那样，正方形或正方体内的点数，无论其尺寸大小，都是相同的。

然而，尽管所有几何点的数目比所有整数和分数的数目大，但这个数目并不是数学家们已知的最大数。事实上，人们已经发现， 各种各样的曲线，包括那种形状最不寻常的曲线，其种类要大于所有几何点的数目，因此要称其为第三级无穷大数列。

根据“无穷大数算术”之父格奥尔格·康托尔的说法，无穷大数是由希伯来字母ℵ（阿列夫）来表示的，字母右下角的小数字表示无穷大数的级数。那么，现在数列（包括无穷数列）就表示为：

1，2，3，4，5……ℵ ₀ ，ℵ ₁ ，ℵ ₂ ，ℵ ₃ ……

然后我们就能像说“世界上有七大洲”或“一副扑克牌有52张 ”那样脱口而出“线上的点有ℵ ₁ 个”，或“一共有ℵ ₂ 种曲线”了。

在结束关于无穷大数的讨论时，我们要指出，数的级数只需几个就可以涵盖我们能想象到的所有无穷大数。我们知道ℵ ₀ 代表所有整数和分数的数目，ℵ ₁ 代表所有几何点的个数，ℵ ₂ 代表所有曲线的种类，但迄今为止，还没人能说出需要用ℵ ₃ 来表示的无穷大数。看样子，前三级无穷大数足以计数我们所能想到的一切数字了。而且，我们发现现在的处境与我们的老朋友霍屯督人完全相反，他们的孩子的确很多，但却连3都数不过！

[1] 用我们现在的表示方法，这个数是：

[2] 这位机智的宰相想要的小麦总数也可以用下面的形式来表示：
1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +……+2 ⁶² +2 ⁶³
在算术中，如果一列数中的每个数与前一个数的比值都相同（在本例中其比值为2），那么这个数列就是等比级数。这个级数的所有项之和，可以通过这个固定比值（本例中为2）的级数项数次幂（本例中为64），减去级数的第一项（本例中为1），再用其结果除以上述比值减1所得数字。其形式可以写为：

写成具体的数就是：
18，446，744，073，709，551，615。

[3] 假设只有七个金盘，那么移动它们所需要的次数为：
1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +……+2 ⁶ ，或
2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127
如果你的移动金盘的速度够快且没有失误，那么大概要花费一小时才能完成任务。
移完64片所需的次数为：
2 ⁶⁴ -1=18，446，744，073，709，551，615
和西萨·班·达依尔要求的麦子粒数一样多。

[4] 例如我们从数字：
0.735106822548312……
等分出：
0.71853……
0.30241……
0.56282…… xFDpueb9PkGVr6DYhjg8KI6rndHQ5CieHu/b4NC8Dswj+qqpsJowlEEdQbcPBQxi